电路课件 第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析.ppt

1、第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析,零输入响应 零状态响应 全响应,重点掌握,状态方程,稳态分量 暂态分量 三要素法,K未动作前,i = 0 , uC = 0,i = 0 , uC= Us,(一) 什么是动态电路,7-1 动态电路的方程及其初始条件,稳态分析,K接通电源后很长时间,一、动态电路概述,将由电路结构或参数引起的电路的变化,称为换路。(如:电源突然引入,无源元件的引入或断开及信号的突然注入等),含有动态元件的电路称为动态电路,初始状态,过渡状态,新稳态,?,含有动态元件的电路，当电路状态发生改变时需要经历一个变化过程才能达到新的稳态。,上述变化过程习惯上称为电路的过渡过程。,b.

2、动态电路与电阻电路的比较：,动态电路换路后产生过渡过程 ，描述电路的方程，由于含动态元件为微分方程。,a. 动态电路：,(二) 过渡过程产生的原因(条件),1. 电路内部含有储能元件 L 、M、 C (内因),能量的储存和释放都需要一定的时间来完成,2. 电路结构、状态发生变化(外因),支路接入或断开; 参数变化,电阻电路换路后状态改变瞬间完成，描述电路的方程为代数方程。,(三) 稳态分析和动态分析的区别:,稳态,换路发生很长时间后重新达到稳态,换路刚发生后的整个变化过程,微分方程的特解,动态,微分方程的一般解(通解),恒定或周期性激励,任意激励,(四) 一阶电路:,一阶电阻电容(RC) 电路

3、或一阶电阻电感(RL)电路，仅含一个动态元件（或经等效简化后含有一个动态元件），称为一阶动态电路。 换路后，描述电路的方程是一阶微分方程。,经典法,时域分析法,复频域分析法,时域分析法,拉普拉斯变换法,状态变量法,(五) 动态电路的分析方法,激励 u(t),响应 i(t),(一) t = 0+与t = 0-的概念,换路在 t=0时刻进行,0- 换路前一瞬间,0+ 换路后一瞬间,二、电路的初始条件(初始值),初始条件(初始值)：为 t = 0+时u ，i 及其各阶导数的值,0-,0+,(二) 换路定律（开闭定则）,q =C uC,t = 0+时刻,q (0+) = q (0-),uC (0+)

4、= uC (0-),电荷守恒,换路瞬间，若电容电流保持为有限值， 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。,1.电容初始电压,当i()为有限值时,结论:,当u为有限值时,L (0+)= L (0-),iL(0+)= iL(0-),磁链守恒,结论 ：换路瞬间，若电感电压保持为有限值， 则 电感电流（磁链）换路前后保持不变。,2.电感的初始电流,t = 0+时刻,换路定律小结：,换路定律成立的条件,注意：,换路瞬间，若电感电压保持为有限值，,换路瞬间，若电容电流保持为有限值，,书上例71(自学),则电容电压（电荷）换路前后保持不变。,则电感电流（磁链）换路前后保持不变。,注意：uC(0+)、 iL(0

5、+)称为独立的初始条件，其余的电 压、电流初始值称为非独立的初始条件。,非独立的初始条件通过独立初始条件求得,动态电路因换路产生暂态过程。暂态过程产生的物理实质是电路的动态元件为储能元件，它所储存的能量在换路时是不能突变的。,按电磁场理论，电容中储存的是电场能 ，电感中储存的是磁场能 。即一个定值电容，它所储存的能量直接与它的电压相联系；一个定值电感，它所储存的能量直接与它的电流相联系。,例如：设电容端电压为零，它处于零能态。当电路接通达 到稳定之后，电容的端电压若为uc，则处于 的能态。假设它的端电压由零突变至uc，则相应的电场能由零突变至Wc，那末它需要功率为无限大的电源来供电，这显然是不

6、可能的。也就是说当电路从一种稳定状态换路到另一种稳定状态时，必然需要一个过程，这就是暂态过程。,uC(0+) uC(0-),iL(0+) iL(0-),理解换路定则：,求初始值的步骤：,1. 由换路前电路（一般为稳定状态）求 uC(0-) 和 iL(0-),2. 由换路定律得 uC(0+) 和 iL(0+),3. 画0+等值电路,4. 由0+电路求所需各变量的0+值 如： uL(0+) 、 iC(0+)和uR(0+)、 iR(0+),(b)电容的uC(0+) 用电压源替代；电感的iL(0+)用电 流源替代（取0+时刻值，方向同原假定的电容 电压、电感电流方向）,(a)画换路后的电路,(2) 由

7、换路定律,uC (0+) = uC (0)=8V,0+等效电路,(1) 由0电路求 uC(0)或iL(0),uC(0)=8V,(3) 画0+等效电路求iC(0+),例1,求 iC(0+),电容开路,电容用电压源替代,+ -,10V,i,iC,+ uC -,S,10k,40k,(t=0),(三)电路初始值的确定：,iL(0+)= iL(0) =2A,例 2,t = 0时闭合开关S , 求 uL(0+),先求,应由换路定律：,电感用电流源替代,解,电感短路,例3,求S闭合瞬间流过它的电流值及uL(0+) 、iC(0+),解,（1）确定0值,（2）给出0等效电路,7-2 一阶电路的零输入响应,换路后

8、无外加激励，仅由储能元件初始储能作用于电路产生的响应。,一 、RC电路的零输入响应：,已知uC (0-)=U0,解:,uR= Ri,特征根,设,RCp+1=0,得特征方程,则,一阶齐次微分方程,零输入响应：,代入初始值 uC (0+)=uC(0-)=U0,得A=U0,(a)电压、电流以同一指数规律衰减，衰减快慢取决于RC乘积；,1. 变量变化规律,几点讨论：,(b)终了值都是零是零输入响应的特点,连续函数,跃变,电压初值一定：,R 大（ C不变） i=u/R 放电电流小,放电时间长,C 大（R不变） w=0.5Cu2 储能大,时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短, = R C,令 =R

9、C , 称为一阶电路的时间常数, = R C,2. 响应衰减的快慢与RC有关；,U0 0.368 U0 0.135 U0 0.05 U0 0.007 U0,工程上认为 , 经过 3 - 5 , 过渡过程结束。, ：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。,次切距的长度 BC,在时间坐标轴上次切距(BC)的长度等于时间常数，说明曲线上任意一点，如果以该点的斜率为固定变化律，经过时间为零值。,U0 U0 e -1 U0 e -2 U0 e -3 U0 e -5,3. 能量关系：,设uC(0+)=U0,电容放出能量 ：,电阻吸收（消耗）能量,结论：电阻吸收的能量等于电容的原始储能。,例,已知图示

10、电路中电容原本充有24V电压，求S闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。,解,这是一个求一阶RC零输入响应问题，有：,分流得：,二、RL电路的零输入响应,据对偶原理 ，t0时：, = R C,=GL =L/R,在开关动作之前，电压和电流已恒定不变。,确切理解零输入！,2. 令 = L/R , 称为一阶RL电路时间常数,3. I0一定:L一定, R越大, 耗能大, 小,衰减快; R一定, L越大, 储能大, 大,衰减慢,L大R小, 大放电慢,几点讨论：,1. RL零输入响应按指数规律衰减,终了值为0,连续函数,跃变,关于时间常数 的讨论、能量关系与RC电路的零输入响应为对偶关系,iL (

11、0+) = iL(0) = 1 A,例1,t=0时 , 打开开关S，求uv,电压表量程：50V,解,换路后，属RL零输入响应问题,预防措施：换路时，即切断iL时，必须考虑磁场能量的释放，可将电压表两端短路或如图。,例2,t=0时 , 开关S由12，求电感电压和电流及开关两端电压u12,解,例2,t=0时 , 开关S由12，求电感电压和电流及开关两端电压u12,小结：,4.一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性,一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的 响应, 都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。,2. 衰减快慢取决于时间常数 RC电路 = RC , RL电路 = L/R R相当

12、于从动态元件两端视入一端口电路的等效电阻。,3. 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。,时间常数 的简便计算：（参考习题75）, = L / R等 = L / (R1/ R2 ),例2, = R等C,式中R等为从动态元件看进去的一端口电路的等效电阻 。,零状态响应：储能元件初始能量为零的电路在外施激励作用 下产生的响应。,列方程：,7-3 一阶电路的零状态响应,一阶线性非齐次常微分方程,解的形式为：,一、 RC电路的零状态响应,1. 解的情况:,uC (0-)=0,齐次方程的通解,非齐次方程的特解,与输入激励的变化规律相同，周期性激励时强制分量为电路的稳态解，此时强制分量称为稳态分量,变化规

13、律由电路参数和结构决定,全解：,uC (0+)=A+US= 0, A= - US,由起始条件 uC (0+)=0 定积分常数 A,齐次方程 的通解,：特解（强制分量，稳态分量）,：通解（自由分量，暂态分量）,强制分量(稳态),自由分量(暂态),uc,i,uc按指数规律增加， ic(i) 按指数规律衰减。,2. RC电路的零状态响应曲线,连续函数 (电容充电),跃变,3. 能量关系:,结论：电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。,电容储存能量：,电源提供能量：,电阻消耗能量：,例,t=0时 , 开关K闭合，已知 uC(0)=0，求（1）电容电压和电流，（2）uC80V时

14、的充电时间t,解,(1) 这是一个RC电路零状态响应问题，有：,（2）设经过t1秒，uC80V,二. RL电路的零状态响应:,iL(0-)=0,求: 电感电流iL(t),已知,解：列方程,结果：,电感电流换路时不能突变,电感电流换路时可以突变,求RL电路的零状态响应若据对偶原理：(t0),iL,K(t=0),US,L,例1,t=0时 ,开关K打开，求t0后iL、uL的变化规律 。,解,这是一个RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：,iL,K,+,uL,2H,R,80,10A,200,300,选讲!,例2,t=0时 ,开关K打开，求t0后iL、uL的及电流源的端电压。,解,这是一个RL电路零状

15、态响应问题，先化简电路，有：,iL,K,+,uL,2H,10,2A,10,5,+,u,选讲!,三、电源为正弦激励的零状态响应,系数比较法：,等式左边=,全解：,强制分量(稳态),自由分量(暂态),uR( t ) 、uL( t )可求！,自由分量指数函数前的系数与正弦电压的接入相位角u有关，即与开关的闭合时刻有关。,讨论：,（1）当开关闭合时，若：,合闸后，电路直接进入稳态，不产生过渡过程。,（2）当开关闭合时，若：,电路到达稳态要经历一个过渡过程。,强制分量（稳态分量） 自由分量（暂态分量）,（3）当开关闭合时，如正好赶上： 过渡过程中将出现过电流。此时:,波形为：,最大电流出现在合闸后半个周

16、期时 t = T/2,可见：电路的过渡过程与开关动作的时刻有关，即u （接入相位角）不同，电流的波形也就不同。,在电力系统设计时，计算电器设备承受的最大电磁力时，应计及最严重的情况，因为电磁力正比于电流瞬时值的平方，若对这种情况估计不足，可能造成电器设备的损害。,过渡过程虽有弊端，但更有其可利用的一面，虽然时间很短，比如只有几秒钟，甚至几微妙或纳秒，但在某些情况下，其影响却是不可忽视的，而且在近代电工和电子技术中还常常要利用过渡过程的特性来解决某些技术问题。例如电子式时间继电器的延时就是由电容充放电的快慢程度决定的，要计算延时的长短，首先必须掌握充放电时电压与电流的变化规律。又如在电子技术中还

17、常常利用过渡过程来改善或变换信号的波形。,全响应= 零状态响应 + 零输入响应,零状态响应,零输入响应,全响应：非零初始状态的电路受到激励时电路中产生的响应,强制分量(稳态解),自由分量(暂态解),7.4 一阶电路的全响应,uC、 iL 全响应曲线：,若为RL电路，则同理可得：,分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题,用0-的稳态电路求解,用t的稳态电路求解,综合考虑：,三要素公式,解,例1,解,这是一个RC电路全响应问题，有：,稳态分量：,t=0时 ,开关K闭合，求t0后的iC、uC及电流源两端的电压。,全响应：,iC,例3,t=0时 ,开关闭合，求t0后的iL、i1、i2,解,三要素

18、为：,应用三要素公式,对稍复杂些的一阶电路，特别是含有受控源的电路，其求解可采用将换路后电路中储能元件以外的部分，应用戴维宁或诺顿定理进行等效变换，然后求得储能元件上的电压和电流的方法。若还需求其它支路的电压、电流，则可以按照变换前的原电路进行。,解：,再求电感两端戴维宁等效电路,开关打到2点电路,例4,已知：t=0时开关由12，求换路后的uC(t) 。,2A,4,1,0.1F,+,uC,+,4,i1,2i1,8V,+,1,2,解,三要素为：,换路后的 uC()=uoc,求Req：,例5,已知：t=0时开关闭合，求换路后的电流i(t) 。,解,三要素为：,7-7 一阶电路的阶跃响应,1.定义,

19、2. 单位阶跃函数的延迟,一、单位阶跃函数,3. 由单位阶跃函数可组成复杂的信号,例 1,在t=0时为01之间的任意值,在(0- ,0+)时域内发生了单位阶跃,例 2,例3 起始任意一个f(t),设：f(t)对所有t 都有意义，则,t = 0合闸 u(t) = E,t = 0合闸 i(t) = Is,又例：,电路对单位阶跃输入的零状态响应称为电路的阶跃响应。,阶跃响应：,方法：1.求出直流激励下的零状态响应； 2.当电路加入( t)时，相当于在t=0时接通1A的电流源或1V电压源，因此单位阶跃响应和直流激励响应相同。,二、单位阶跃响应：,单位阶跃响应S(t)：实质就是在单位阶跃输入下的零 状态

20、响应。,若电路的恒定激励为 ， 则电路的阶跃响应为,小结：,自学书上P169例7-11,1. 单位脉冲函数 p(t)的定义：,7-8 一阶电路的冲激响应,面积（强度）：,单位冲激函数 (t) 以看作是单位脉冲函数 p(t)的极限,令：,一、冲激函数及其性质,2. 单位冲激函数 (t)定义:,t,(t),1,0,3. 单位冲激函数的延迟 ( t-t0),幅度趋于面积仍为1,强度为K的冲激函数和延迟冲激函数,t0时为零，t=0时为奇异的。,4. (t)函数性质 (1) (t)与(t)的关系,同理有：,(2) 筛分性质,t 0-,t 0+,因为t0时， (t)=0，所以f(t) (t)= f(0)

21、(t),函数f(t) 乘(t)后的积分将t=0时的函数值f(0)取出 函数f(t) 乘(t-t0)后的积分将t=t0 时的函数值f(t0)取出,例5,二、一阶电路的冲激响应,1. RC电路冲激响应,t,(t),1,0,uC可不可能是冲激函数?,(1)为零状态响应,证明:设,KCL方程不成立 uC不会是冲激函数。,定义：即一阶电路对单位冲激函数的零状态响应,即:在(t)作用下,有一单位电荷转移到电容上,使uC发生了跃变,(2) t0+后(t)=0，冲击电流源相当于开路； 所以可视为 uC(0+)=1/C 的零输入响应。,2. RL电路冲激响应（略讲）,=Li=1，产生单位磁通链,(1)零状态响应

22、,(2)零输入响应,uL,3. 阶跃响应与冲激响应的关系,对于任一线性时不变电路,本节研究分析高阶动态电路的系统化方法建立状态方程的一般形式（即状态方程的矩阵形式）,7.10 * 状态方程,状态变量的方程,若含几个动态元件，则一般描述电路性状的方程为高阶微分方程，方程的建立和初始条件的确定都不容易；将其拆分成几个一阶微分方程的方程组后，可方便用计算机辅助分析。,7.10 * 状态方程,状态变量：它是网络的一组独立的动态变量 （由动态电路的分析可知，uc和iL就是电路的动态变量 ） ，它们在任何时刻的值，组成了在该时刻的状态。,状态方程：对状态变量列出的一阶微分方程。,电路理论中引用状态变量作为分析电路动态过程的独立变量。,状态方程 = 状态变量方程,可作为状态变量的：电容电压 uc(或电荷qc) 电感电流 iL(或磁链 ),以二阶电路为例：,状态方程的一般形式(矩阵形式),一、状态方程：对状态变量列出的一阶微分方程为状态方程,这是一组以uc和iL为变量的一阶微分方程， 提供了用来确定积分常数的初始值，因此该方程就是描写电路动态过程的状态方程。,用矩阵形式描述为：,令,令,称为状态方程的标准形式(向量微分方程),状态向量,输入向量,一般情况下电路具有n个状态变量,m个独