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文档简介

1、3.5 二维随机变量函数的分布,上一章我们已讨论了一维随机变量函数的分布，现在进一步讨论两个随机变量的函数的分布问题，然后将其推广到多个随机变量的情形.,已知r.v.( X ,Y )的概率分布, g (x, y) 为已知的二元函数,转化为( X ,Y )的事件,求 Z = g( X ,Y )的概率分布,当( X ,Y )为离散r.v.时, Z 也离散,离散型二维 r.v.的函数,例 设二维r.v.( X,Y )的概率分布为,解 根据( X,Y )的联合分布可得：,X +Y,X Y,-2 -1 0 1 1 2,1 0 -1 0 -2 0,故得,(2)再求Z的密度函数:,二维连续r.v.函数的分布

2、,问题 已知r.v.( X ,Y )的密度函数， 求Z=g (X , Y)的密度函数.,方法 (1) 先求Z 的分布函数：,1. 和的分布：Z = X + Y,设( X ,Y )的联合密度为 f (x,y), 则,x +y= z,或,特别地，若X ,Y 相互独立，则,或,或,称之为函数 f X (z) 与 f Y (z)的卷积,例,解法一（卷积公式法）,解法二 分布函数法,当z 0 时，,当0 z 1 时，,当1 z 2 时，,z-1,当2 z 时，,例,正态随机变量的结论,2. 商的分布： Z = X / Y,例,3. M=max( X,Y )及N=min( X,Y )的分布,设连续型随机变

3、量X , Y 相互独立, X , Y的分布函数分别为 FX (x), FY (y), M = maxX ,Y , N = minX ,Y , 求 M ,N 的分布函数.,推广,设X1 , Xn是n个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为,(i =0,1，, n),M=max(X1,Xn)的分布函数为:,特别，当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有,N=min(X1,Xn)的分布函数是,FM(z)=F(z) n,FN(z)=1-1-F(z) n,若X1,Xn是连续型随机变量，在求得M=max(X1,Xn)和N=min(X1,Xn)的分布函数后，不难求得M和N的密度函数.,注意,解：设X1，X2，X3为3只电子管的寿命， 它们相互独立同分布，,例 设某种电子管的寿命（以天计）近似服从 ，随机地选取3只，求 (1) 其中没有一只寿命超过1210天的概率; (2) 其中没有一只寿命小于1210天的概率.,FM(z)=F(z) n,FN(z)=1-1-F(z) n,另解,独立性,没有一只寿命超过1210天,没有一只寿命小于1210天,教材P74.17,解 (1) 串联的情况,因为有一个损坏时，系统 L就停止工作， 所以 L的寿命为 Z = minX ,Y ,故Z 的分布函数,于是，得Z的密度函数,(2) 并

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