人教版高一数学必修一同步课件：3.1.1方程的根与函数的零点

1、第三章 函数的应用 3.1 函数与方程 3.1.1 方程的根与函数的零点,一、函数的零点 1.定义 若实数x是函数y=f(x)的零点，则需满足条件_. 2.方程的根、函数的图象、函数的零点三者之间的关系 方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有_函数 y=f(x)有_.,f(x)=0,交点,零点,思考：函数y=x2有零点吗? 提示：x=0时，y=0，函数有零点，是0.,二、函数零点的判断 条件:(1)函数y=f(x)在区间_上的图象是连续不断的一 条曲线; (2)_. 结论：函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在_,使 得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.

2、,a,b,f(a)f(b)0,c(a,b),判断：(正确的打“”，错误的打“”) (1)只要方程有实数根，则相对应的函数图象一定与x轴有交点.( ) (2)若函数f(x)在区间2,6上有f(2)f(6)0，则函数在此区间内有零点.( ) (3)设f(x)在区间a,b上是连续的且是单调函数,且f(a)f(b)0,则方程f(x)=0在闭区间a,b内有唯一实数根.( ),提示：(1)正确，方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标，即函数的零点，故此说法正确. (2)错误.不知道该函数在此区间内的图象是否连续. (3)正确. 由函数是连续的且f(a)f(b)0知，f(x)=0在a,b上至少有一实数根

3、,又f(x)在a,b上单调,从而可知必有唯一实数根. 答案：(1) (2) (3),【知识点拨】 1.对函数零点概念的认识 (1)函数的零点的本质是方程f(x)=0的实数根，因此，函数的零点不是点，而是一个实数,当函数的自变量取这个实数时,函数值为零. (2)函数是否有零点是针对对应方程是否有实数根而言的,若方程没有实数根,则函数没有零点,反映在图象上就是函数图象与x轴无交点,如函数y=3, y=x2+1就没有零点.,(3)方程有几个解,则其对应的函数就有几个零点. 如果方程有二重实数根，可以称函数有二重零点.若函数y=f(x)有零点,则零点一定在其定义域内.,2.从三方面正确把握函数零点存在

4、的判断方法 (1)并不是所有的函数都有零点，如函数 (2)一个函数y=f(x)在区间a,b内若具备两个条件： 函数在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线; f(a)f(b)0.则该函数在(a,b)内有零点，反之则不一定成 立. (3)对于任意的一个函数，即使它的图象是连续不断的，当它 通过零点时，函数值也不一定变号，如函数y=x2有零点0，但 显然当它通过零点时函数值没有变号.,类型 一 求函数的零点 【典型例题】 1.函数f(x)=x23x4的零点是( ) A.1，-4 B.4，-1 C.1，3 D.不存在 2.函数f(x)=ax+b有一个零点是2，求函数g(x)=bx2ax的零点.,【解

5、题探究】1.函数的零点的本质是什么？ 2.函数的零点与方程的根有何对应关系? 探究提示： 1.函数的零点的本质是方程f(x)=0的实数根，因此，函数的零点不是点，而是一个实数. 2.函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根.,【解析】1.选B.令x23x4=0，得x=4或x=1. 2.f(x)=ax+b有一个零点是2，得2a+b=0，则g(x)=bx2ax= 2ax2ax，令2ax2ax=0，则g(x)的零点为0和,【拓展提升】函数零点的两种求法 (1)代数法:求方程f(x)=0的实数根. (2)几何法:画出函数y=f(x)的图象,则图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.,【变式训

6、练】判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出. (1)f(x)=x2+2x+4. (2)f(x)=2x-3. 【解析】(1)令x2+2x+4=0，由于=22-414=-120，所以方程x2+2x+4=0无实数根，所以函数f(x)=x2+2x+4不存在零点. (2)令2x-3=0，解得x=log23，所以函数f(x)=2x-3的零点是log23.,类型 二 函数零点个数的判定 【典型例题】 1.若函数f(x)的定义域为(,0)(0,+)，且f(x)为偶函数，又f(x)在(0,+)上是减函数，f(2)=0，则函数f(x)的零点有( ) A.一个 B.两个 C.至少两个 D.无法判断,2.二次函数

7、f(x)=ax2+bx+c中，ac0，则函数的零点个数 是( ) A.1 B.2 C.0 D.无法确定 3.求函数f(x)=ln(x1)+0.01x的零点的个数.,【解题探究】1.偶函数图象有何特征？函数图象与函数零点个数有何关系？ 2.对于二次函数的零点个数的判定，解决此问题的关键点是什么？ 3.题3中能否直接求出函数零点的个数？若不能，可以考虑利用什么来判断零点的个数？,探究提示： 1.偶函数的图象关于y轴对称，函数图象与x轴交点个数与对应方程的根的个数相等，方程的根的个数与相应函数零点个数相等，所以函数图象与x轴交点个数与函数零点个数相等. 2.解决关于二次函数的零点个数的判定问题，关键

8、是利用判别式来判断相应方程的根的个数. 3.不能.根据零点的含义，可以借助函数的图象来判断零点的个数.,【解析】1.选B.依据给出的函数性质，易知f(2)=0，画出函数的大致图象如图： 可知f(x)有两个零点.,2.选B.=b24ac，ac0，方程ax2+bx+c=0有两个根，故函数有两个零点. 3.方法一:因为f(3)=ln2+0.030, f(1.5)=-ln2+0.0150,所以f(3)f(1.5)0, 说明函数f(x)=ln(x1)+0.01x在区间(1.5,3)内有零点.又y=ln(x1)与y=0.01x在(1,+)上都是增函数,所以f(x)在(1,+)上是增函数,所以该函数只有一个

9、零点.,方法二:在同一坐标系内作出h(x)=ln(x1)和g(x)=-0.01x的图象,如图. 由图象知h(x)=ln(x1)和g(x)=-0.01x有且只有一个交点,即f(x)=ln(x1)+0.01x有且只有一个零点.,【互动探究】若题2中二次函数改为“f(x)=cx2+bx+a”，条件“ac0，函数有两个零点. 答案：2,【拓展提升】确定函数零点个数的方法 (1)分解因式法:可转化为一元n次方程根的个数问题，一般采用分解因式法来解决. (2)判别式法:可转化为一元二次方程根的个数问题，通常用判别式法来判断根的个数. (3)图象法:指数函数和对数函数零点个数问题一般用图象法来解决. (4)

10、单调性法:常规方法不易判断时,可利用函数的单调性来判断函数零点的个数.,类型 三 判断函数零点所在区间 【典型例题】 1.已知函数f(x)=x3x1仅有一个正零点，则此零点所在的区间是( ) A.(3,4) B.(2,3) C.(1,2) D.(0,1),2.已知函数f(x)在区间a,b上单调且图象连续，且f(a)f(b)0，则函数f(x)在区间(a,b)上( ) A.至少有三个零点 B.可能有两个零点 C.没有零点 D.必有唯一零点 【解题探究】1.函数零点存在性定理的两个必备条件是什么？常采用怎样的策略来解决函数零点所在区间问题？ 2.函数在区间(a,b)上存在唯一零点应具备什么条件？,探

11、究提示： 1.两个必备条件是：(1)函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线.(2)f(a)f(b)0.确定函数的零点、方程的根所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反. 2.除应具备函数零点存在的两个条件外，还需要函数在此区间上单调.,【解析】1.选C.f(0)=10，f(1)f(2)0，此零点一定在(1,2)内. 2.选D.函数f(x)在区间a,b上单调且图象连续，故其图象与x轴至多有一个交点，又f(a)f(b)0，所以必有一个交点.,【拓展提升】判断函数零点所在区间的三个步骤 (1)代：将区间端点代入函数求出函数的值. (2)判

12、：把所得函数值相乘，并进行符号判断. (3)结：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点.,【变式训练】方程2x+x=0在下列哪个区间内有实数根( ) A.(2,1) B.(0,1) C.(1,2) D.(1,0) 【解析】选D.令f(x)=2x+x，f(1)f(0)=( )10， f(x)=2x+x的零点在区间(1,0)内，故2x+x=0在区间(1,0) 内有实数根.,一元二次方程的区间根问题 【典型例题】 1.已知函数f(x)=(xa)(xb)+1(ab)，且m，n是方程f(x)=0的两个根(mn)，则实数a，b，m，n的大

13、小关系可能 是( ) A.mabn B.amnb C.manb D.ambn 2.方程x23x+a=0的两根均大于1，求实数a的取值范围.,【解析】1.选B.由函数f(x)=(xa)(xb)+1，可得f(a)=f(b)=1.又m，n是方程f(x)=0的两个根，故可画出函数的大致图象如图： 所以应该有amnb.,2.方法一：设x1,x2为方程x2-3x+a=0的两根， 则x1+x2=3,x1x2=a，要使两根都大于1， 需满足： 将x1+x2=3,x1x2=a代入不等式组得：2a,方法二：设f(x)=x2-3x+a, 则其图象开口向上，且与x轴的交点均在点(1，0)右侧， 所以有 解得2a,【拓

14、展提升】解决一元二次方程根的分布问题的方法 (1)首先画出符合题意的草图，转化为函数问题. (2)结合草图考虑三个方面：与0的大小关系；对称轴与所给端点值的关系；端点的函数值与零的关系. (3)写出由题意得到的不等式(组). (4)由得到的不等式(组)去验证图象是否符合题意. 这类问题充分体现了函数与方程的思想，也体现了方程的根就是函数的零点.在写不等式(组)时，要注意条件的完备性.,【易错误区】忽视函数零点的存在性定理的条件致误 【典例】(2012衡阳高一检测)函数f(x)=x+ 的零点的个数 为( ) A.0 B.1 C.2 D.3,【解析】选A.函数f(x)的定义域为x|x0， 当x0时

15、，f(x)0； 当x0时，f(x)0， 但此函数在定义域内的图象不连续， 所以函数没有零点，故选A.,【类题试解】1.函数 的零点的个数 为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】选C.当x0时，令x2+2x3=0，解得x=-3；当x0 时，令2+lnx=0，解得x=e2，所以函数 有2个零点.,2.函数y=log2(x2+1)的零点是_. 【解析】令log2(x2+1)=0,即x2+1=1,x=0. 答案：0,【误区警示】,【防范措施】 明确定理成立的条件 零点存在性定理成立的条件有两个：一是函数在区间a,b 上的图象是连续不断的一条曲线; 二是f(a)f(b)0.这两个 条件缺一不

16、可.如果其中一个条件不成立，那么就不能在区间 a,b上使用该定理，如本例f(x)=x+ 在-1，1上不连 续，故不能在区间-1,1上直接使用零点存在性定理.,1.函数f(x)=2x+m的零点为4，则实数m的值为( ) A.-6 B.8 C. D. 【解析】选B.f(x)=2x+m的零点为4，所以24+m=0，m=8.,2.若函数f(x)=x2+2x+a没有零点，则实数a的取值范围是( ) A.a1 C.a1 D.a1 【解析】选B.函数f(x)=x2+2x+a没有零点，即方程x2+2x+a=0没有实数根，所以=44a1.,3.函数f(x)=x32x2+3x的零点有( ) A.一个 B.两个 C.三个 D.无零点 【解析】选A.令x32x2+3x=x(x22x+3)=0， 方程x2-2x+3=0的=(-2)2-430, x2-2x+3=0没有实数根，故方程x3-2x2+3x=0有实数根x=0，所以f(x)=x32x2+3x只