1_1行列式定义性质与计算

1、2009-2010第二学期,线性代数,任课教师：张 凤,部 门：信息学院,办公室：文理大楼 714 室,E-mail：,下页,第1章 行列式,一、行列式的概念 二、行列式的性质与计算 三、克拉默（克莱姆）法则,下页,1.1 二三阶行列式,考虑用消元法解二元一次方程组,(a11a22- a12a21) x2= a11b2- b1a21,(a11a22- a12a21) x1= b1a22- a12b2,第1节 行列式的概念,用a22和a12分别乘以两个方程的两端，然后两个方程相减，消去x2得,同理，消去x1得,下页,二阶行列式,为便于叙述和记忆， 引入符号,D =,D1 =,称D为二阶行列式.,

2、按照二阶行列式定义可得,D2 =,于是，当D0时，方程组的解为,下页,j = 1，2，3,类似引入符号,其中D1, D2, D3分别为将D的第1、2、3列换为常数项后得到的行列式.,三阶行列式,求解三元方程组,称D为三阶行列式.,下页,25431 是一个5级排列.,如，,3421 是4级排例；,例1写出所有的3级全排列.,解：所有的3级排列为：,321 .,312，,231，,213，,132，,123，,1.2 排列,n 个自然数1,2,n 按一定的次序排成的一个无重复数字的有序 数组称为一个 n 级排列，记为i1i2in.显然，n 级排列共有n!个.其 中，排列12n称为自然排列.,下页,

3、3 4 2 1,逆序数的计算方法(向前看法),从而得 (3421)=5.,逆序及逆序数,定义1 在一个n级排列i1i2 in中，若一个较大的数排在一个较小数 的前面，则称这两个数构成一个逆序.一个排列中逆序的总数，称为 这个排列的逆序数，记为(i1i2 in).,下页,奇排列与偶排列,逆序及逆序数,定义1 在一个级排列i1i2 in中，若一个较大的数排在一个较小数 的前面，则称这两个数构成一个逆序.一个排列中逆序的总数，称为 这个排列的逆序数，记为(i1i2 in).,逆序数是奇数的排列，称为奇排列. 逆序数是偶数或0的排列，称为偶排列.,如 3421是奇排列，,1234是偶排列，,因为(34

4、21)=5.,因为(1234)=0.,下页,定义3 符号,称为n阶行列式，,它表示代数和,其中和式中的排列 j1 j2 jn要取遍所有n级排列.,元素ai j,列标,行标,1.3 n 阶行列式,下页,n 阶行列式定义,(3) n 阶行列式共有n!项.,n 个元素的乘积.,(1) 在行列式中,项,是取自不同行不同列的,行列式有时简记为| a ij |.一阶行列式|a|就是a.,=,说明：,下页,(2) 项,a14a23a31a44,a14a23a31a42,a14a23a31a42,例如，四阶行列式,(-1)(4312) a14a23a31a42为行列式中的一项.,表示的代数和中有4!=24项.

5、,a14a23a31a42取自不同行不同列,的列标排列为4312,所以它不是行列式中的一项.,中有两个取自第四列的元素，,下页,(为奇排列)，,D =,行列式计算,解：根据行列式定义,例1计算2 阶行列式D =,注：3阶行列式的计算类似，略.,下页,解：为使取自不同行不同列的元素的乘积不为零，,D = (-1)(1 2 n)a11a22a33 ann,第一行只能取a11，,第三行只能取a33，,第二行只能取a22，,第 n 行只能取ann., ，,这样不为零的乘积项只有,a11a22a33 ann，,所以,= a11a22a33 ann.,下页,解：为使取自不同行不同列的元素的乘积不为零，,D

6、 = (-1)(n n-1 21) b1b2b3 bn,第一行只能取b1，,第n-1行只能,第二行只能取b2，,第 n 行只能取bn ., ，,这样不为零的乘积项只有,b1b2b3 bn，,所以,取bn-1，,下页,下三角形行列式的值：,上三角形行列式的值：,对角形行列式的值：,结论：,下页,将行列式D的行与列互换后得到的行列式称为D的转置行列式，记为 DT (Transpose)或D .即如果,2.1 行列式的性质,第2节 行列式的性质与计算,显然，( DT )T=D .,下页,行列式的转置,性质3 用数k乘以行列式的某一行(列)，等于用数k乘以此行列式.即,性质1 行列式与它的转置行列式相

7、等，即D =DT.,推论1 如果行列式的某一行(列)的元素为零，则D0.,性质2 互换行列式的两行(列)，行列式的值变号.,推论 如果行列式D中有两行(列)的元素相同，则D=0.,推论2 如果D中有两行(列)成比例，则D=0.,下页,性质4 若行列式中的某一行(列)的元素都是两数之和，则此行列 式可以写成两个行列式之和.即,性质5 将行列式的某一行(列)的所有元素同乘以数k后加到另一行 (列)对应位置的元素上，行列式的值不变.即,下页,行列式的计算,要点：利用性质将其化为上三角行列式，再进行计算.,为表述方便，引入下列记号(行用r，列用c)：,2)以数k乘以行列式的第i行，用kri表示；,3)以数k乘以行列式的第i行加到第j行，用rj+kri表示.,下页,例1. 计算行列式,解：,= -85.,下页,例2. 计算行列式,解：,下页,例3. 计算行列式,解： 将各行都加到第一行，从第一行提取（x+（n-1）a）得,下页,解：,例4. 计算行列式,下页,结束,作业： 20页 1 (1) (2) 21页 3 (1) 4 (1),返回,第一个问题,线性代数是研究什么的？线性代数是专 门研究如何求解线性方程的数学分支。是线性规划的必备知识。 其理论与方法的目的性非常明确，而且非常容易学会。 第二个问题,线