概率论-9【第七章第二节方差和标准差协方差和相关系数】.ppt

1、7.2 方差一. 定义与性质,方差是衡量随机变量取值波动 程度 的一个数字特征。,？,如何定义？,1.定义 若E(X),E(X2)存在，则称 EX-E(X)2 为r.v. X的方差，记为D(X),或Var(X).,称 为r.v.X的标准差,可见,推论 D(X)=E(X2)-E(X)2.,证明: D(X)=EX-E(X)2,【例1】设随机变量X的概率密度为,1)求D（X）, 2)求,【泊松分布】p(),由于,两边对求导得,或,即,3. 均匀分布U(a, b)：,4.指数分布：,5. 正态分布N(, 2)：,【方差的性质】 (1) D(c)=0 反之，若D（X）=0，则存在常数C，使 PX=C=1

2、, 且C=E(X);,(2) D(aX)=a2D(X), a为常数；,证明:,(3)若 X，Y 独立，则 D(X+Y)=D(X)+D(Y); D(X-Y)=D(X)+D(Y);,证明:,X与Y独立,二.几个重要r.v.的方差,1. 二项分布B(n, p)：,解法二:,设,第i次试验事件A发生,第i次试验事件A不发生,则,【思考1】请给出一个离散型随机变量X和一个连续型随机变量Y，使它们的期望都是2，方差都是1。,【思考2】已知随机变量X1,X2,Xn相互独立，且每个Xi的期望都是0，方差都是1， 令Y= X1+X2+Xn ，求E（Y2）,【矩】 定义1.设X为随机变量，c为任意常数，k为正整数

3、,称量E(X-c)k为X关于c点的k阶矩。 比较重要的有两种情况： (1) c=0, 这时，ak=E(Xk)称为X的k阶原点矩； (2) c=E(X), 这时，bk=EX-E(X)k称为X的k阶中心矩。,定义2：对正整数k与l，称E(XkYl)为X和Y的k+l阶混合矩；若EX-E(X)kY-E(Y)l存在，称它为X和Y的k+l 阶混合中心矩。,【第三节 协方差和相关系数】,【第三节 协方差和相关系数】一.协方差定义与性质,1.协方差定义 若r.v. X的期望E(X)和Y的期望E(Y)存在, 则称 COV(X, Y)=EXE(X)YE(Y). 为X与Y的协方差, 易见 COV(X, Y)=E(X

4、Y)-E(X)E(Y).,Y,X,Y1=0,Y2=1,X1=0,X2=1,1/4,1/4,1/3,1/6,1/2,1/2,7/12,5/12,协方差性质 (1) COV(X, Y)=COV(Y, X); (2) COV(X,X)=D(X); (3) COV(X,c)=0 (4) COV(aX, bY)=abCOV(X, Y), 其中a, b为 常数； (5) COV(X+Y，Z)=COV(X, Z)+COV(Y, Z); (5) COV(Z，X+Y)=COV(X, Z)+COV(Y, Z); (5)COV(X+Y，Z+W)= COV(X, Z)+COV(Y, Z)+COV(X,W)+COV(Y

5、,W);,【相关系数】,1. 定义 若r.v. X，Y的方差和协方差均存在, 且DX0,DY0，则,称为X与Y的相关系数. 注：若记,称为X的标准化，易知EX*=0，DX*=1.且,正相关,负相关,正弱相关,负弱相关,负相关,不相关,若X，Y为连续型随机变量,【例1】若X、Y的E(X)=-2,E(Y)=4, D(X)=4, D(Y)=9,分别在(1) X、Y相互独立，(2) XY=0.5的条件下，求 E(Z)=E(3X2-2XY+Y2-3).,解：(1)因为X、Y相互独立，所以E(XY)= E(X) E(Y)； E(Z)=E(3X2-2XY+Y2-3)= 3 E(X2)-2E(X)E(Y)+

6、E(Y2)-3 =3D(X)+E(X)2-2E(X)E(Y)+D(Y)+E(Y)2-3=62；,(2) E(Z)= 3D(X)+E(X)2-2E(XY)+D(Y)+E(Y)2-3 =24-2Cov(X,Y)+ E(X)E(Y)+25-3 =24-2XY + E(X)E(Y)+25-3=68.,【例2】 设=aX+b,=cY+d,(a,c同号),证明：=XY。 证：,所以 XY=。,二维正态随机变量的分布完全可由X，Y个别的数学期望、方差以及它们的相关系数所确定。 若(X，Y)服从二维正态分布，那么X和Y相互独立的充要条件为=0，而=XY，故知对于二维正态随机变量(X，Y)来说， X与Y不相关与

7、X和Y相互独立是等价的。,【小结】 【结论1】：X与Y相互独立 XY=0 X与Y不相关； 反之，XY=0 不能推出X与Y相互独立。 【结论2】：对任意X与Y，以下结论等价XY=0 Cov(X，Y)=0 E(XY)=E(X)E(Y) D(X+Y)=D(X)+D(Y)。 【结论3】：若(X，Y)N(1, 2 ,12, 22,)，则X与Y相互独立 XY=0 X与Y不相关。,【n维随机变量的协方差矩阵】 (1)二维随机向量的协方差矩阵 二维随机变量(X1,X2)有四个二阶中心矩(设他们存在)，分别记为,写为矩阵的形式：,称为随机变量(X1,X2)的协方差矩阵。,(2)推广 对于n维随机向量(X1,X2

8、,Xn),把向量(X1,X2,Xn)用列向量形式表示并记为X，即X=(X1,X2,Xn)。 定义 设X=(X1,X2,Xn) 为n维随机向量,并记i=E(Xi)，,则称=(1,2,n)为向量X的数字期望或均值，称矩阵,为向量X的协方差矩阵。,【矩、协方差矩阵的性质】 协方差矩阵具有以下性质： (1)协方差矩阵对角线上的元素Cii为Xi的方差即Cii=D(Xi) i=1，2，n； (2)协方差矩阵C为对称矩阵,即Cij=Cji ,i，j=1，2，n； (3)C为非负定矩阵,即对于任意实向量t=(t1，t2，tn),有tCt0；,证：性质(1)，(2)显然，只证(3),解: (1)(X，Y)的概率密度为,关于X的边缘密度为,同理，关于Y的边缘密度为,容易看到，(1/2,1/2)是fX(x), fY(y), f(x,y)的 连续点，但,所以X与Y不相互独立。,所以 D(X)=1/4. 同样方法可得 E(Y)=0,D(Y)=1/4. 于是,Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0 所以 ,即 X与Y不相关。,【关于正态分布】,【例】 设XN（0，1），YN(0，1 ),若X与Y相互独立，求E(|X-Y|)。 解: 令Z=X-Y，问题化为求E(|Z|)，为求E(|Z|),我们先求出Z的分布密度. 由于(