导数概念及基本函数的导数ppt课件.ppt

1、导数的概念 及基本函数的导数,1,一、复习目标,了解导数概念的某些实际背景(瞬时速度, 加速度, 光滑曲线切线的斜率等), 掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义, 理解导数的概念, 熟记常见函数的导数公式 c, xm(m 为有理数), sinx, cosx, ex, ax, lnx, logax 的导数, 并能熟练应用它们求有关导数.,二、重点解析,导数概念比较抽象, 其定义、方法一般不太熟悉, 因此对导数概念的理解是学习中的一个难点. 本节要重点掌握根据导数定义求简单函数的导数的方法. 一方面, 根据导数定义求导可进一步理解导数的概念, 另一方面, 许多法则都是由导数定义导出的.,导

2、函数(导数)是一个特殊的函数, 它的引出和定义始终贯穿着函数思想, 首先定义函数 y=f(x) 在点 x0 处可导, 且在 x0 处有唯一的导数 f(x0), 然后定义函数 y=f(x) 在开区间 (a, b) 内可导,2,因而对于开区间 (a, b) 内每一个确定的值, 都对应着一个确定的导数 f(x0). 据函数定义, 在开区间 (a, b) 内就构成了一个新函数, 即导数.,三、知识要点,1.导数的概念,f(x0) 或 y | x=x0, 即:,3,求函数 y=f(x) 在点 x0 处的导数的步骤:,(1)求函数的增量: y=f(x0+x)-f(x0);,如果函数 f(x) 在开区间 (

3、a, b) 内每一点都可导, 就说 f(x) 在开区间 (a, b) 内可导. 这时, 对于开区间 (a, b) 内每一个确定的值 x0, 都对应着一个确定的导数 f(x0), 这样就在开区间 (a, b) 内构成一个新的函数, 我们把这一新函数叫做 f(x) 在开区间 (a, b)内的导函数, 记作 f(x) 或 y(需指明自变量 x 时记作 yx), 即:,4,函数 y=f(x) 在点 x0 处的导数 f(x0), 就是曲线y=f(x) 在点 P(x0, f(x0) 处的切线的斜率 k, 即: k=tan=f(x0). 相应的切线方程为 y-y0=f(x0)(x-x0).,2.导数的意义,

4、(1)几何意义:,(2)物理意义:,函数 S=s(t) 在点 t0 处的导数 s(t0), 就是当物体的运动方程为 S=s(t) 时, 物体运动在时刻 t0 时的瞬时速度 v, 即: v=s(t0). 设 v=v(t) 是速度函数, 则 v(t0)表示物体在时刻 t=t0 时的加速度.,导函数也简称导数. 当 x0(a, b) 时, 函数 f(x) 在点 x0 处的导数 f(x0) 等于函数 f(x) 在开区间 (a, b)内的导数 f(x) 在点 x0 处的函数值.,如果函数 y=f(x) 在点 x0 处可导, 那么函数 y=f(x) 在点 x0 处连续, 但要注意连续不一定可导.,5,3.

5、几种常见函数的导数,(1)c=0(c 为常数), (xn)=nxn-1(nQ);,(2)(sinx)=cosx, (cosx)=-sinx;,(4)(ex)=ex, (ax)=axlna.,典型例题 1,解: (1)要使 f(x) 在 x=0 处连续, 则需,故当 b=1 时, 可使 f(x) 在 x=0 处连续.,6,故当 b-1=0 且 a=1 即 a=b=1 时, f(x) 在 x=0 处可导.,综上所述, 当 b=1, aR 时, f(x) 在 x=0 处连续, 当 a=b=1 时, f(x) 在 x=0 处可导.,(2)由(1)知, f(0)=1, 又 f(0)=1,故曲线 y=f(

6、x) 在点 P(0, f(0) 处的切线方程为,y-1=x-0,即 x-y+1=0.,7,典型例题 2,若 f(x) 在 R 上可导, (1)求 f(-x) 在 x=a 处的导数与 f(x) 在 x=-a 处的导数的关系; (2)证明: 若 f(x) 为偶函数, 则 f(x) 为奇函数.,(1)解: 设f(-x)=g(x), 则,=-f(-a).,f(-x) 在 x=a 处的导数与 f(x) 在 x=-a 处的导数互为相反数.,(2)证: f(x) 为偶函数,f(x) 为奇函数.,=-f(x),注: 本题亦可利用复合函数的求导法则解决.,8,典型例题 3,已知曲线 C: y=x3-3x2+2x

7、, 直线 l: y=kx, 且直线 l 与曲线 C 相切于点 (x0, y0)(x00), 求直线 l 的方程及切点坐标.,点 (x0, y0) 在曲线 C 上, y0=x03-3x02+2x0.,又 y=3x2-6x+2,在点 (x0, y0) 处曲线 C 的切线斜率 k=y|x=x0.,x02-3x0+2=3x02-6x0+2.,整理得 2x02-3x0=0.,注 有关曲线的切线问题, 可考虑利用导数的几何意义. 曲线 C 在某一定点处的切线是唯一的, 因此斜率也是唯一的(若存在的话), 采用斜率相等这一重要关系, 往往都可解决这类问题.,9,典型例题 4,它在 P 处的切线斜率 k1=-

8、2,10,课后练习 1,=1, f(x) 在 x=1 处不可导.,注 判定分段函数在“分界点处”的导数是否存在, 要验证其左、右极限是否存在且相等, 如果存在且相等, 那么这点的导数存在, 否则不存在.,11,课后练习 2,若函数 f(x)=|x|, (1)试判断 f(x) 在 x=0 处是否可导; (2)当 x0时, 求 f(x) 的导数.,解: (1)y=f(0+x)-f(0)=|x|,故函数 f(x)=|x| 在点 x=0 处不可导.,(2)当 x0 时, 可使 x+x0.,=1.,同理可得, 当 x0 时, f(x)=-1.,注 函数在一点连续, 但不一定可导; 函数在一点可导, 直观

9、反映是函数的图象在这一点是平滑的.,12,课后练习 3,一质点作直线运动, 它所经过的路程 S(单位: m)和时间 t(单位: s)的关系是 S=3t2+t+1. (1)求 2, 2.01 这段时间内质点的平均速度; (2)当 t=2 时的瞬时速度.,解: (1)S=32.012+2.01+1-(322+2+1),=0.1303.,=13.03(m/s).,(2)S=3(t+t)2+(t+t)+1-(3t2+t+1),=3t2+(1+6t)t,=3t+1+6t.,=6t+1.,v | t=2=13.,即当 t=2 时, 质点运动的瞬时速度为 13m/s.,注 (2)亦可直接对函数求导后解决.,

10、13,课后练习 4,如果曲线 y=x3+x-10 的某一切线与直线 y=4x+3 平行, 求切点坐标与切线方程.,解: 切线与直线 y=4x+3 平行,切线斜率为 4.,又切线在 x0 处斜率为 y | x=x0,3x02+1=4.,x0=1.,当 x0=1 时, y0=-8;,当 x0=-1 时, y0=-12.,切点坐标为 (1, -8) 或 (-1, -12).,切线方程为 y=4x-12 或 y=4x-8.,=(x3+x-10) | x=x0,=3x02+1.,14,课后练习 5,已知曲线 S: y=x3-6x2-x+6. (1)求 S 上斜率最小的切线方程; (2)证明: S 关于切点对称.,(1)解: 由已知 y=3x2-12x-1,当 x=2 时, y 最小, 最小值为 -13.,S 上斜率最小的切线的斜率为 -13, 切点为 (2, -12).,切线方程为 y+12=-13(x-2),即 13x+y-14=0.,(2)证: 设 (x0, y0)S, (x, y) 是 (x0, y0) 关于 (2, -12) 的对称点,则 x0=4-x,