高三寒假复习讲义第8章 第3讲 直线、平面平行的判定与性质

1、高三寒假复习讲义第3讲直线、平面平行的判定与性质1直线与平面平行的判定定理自然语言：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行简称：线线平行，则线面平行图形语言：如图所示符号语言：a，b，且aba.2直线与平面平行的性质定理自然语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行简称：线面平行，则线线平行图形语言：如图所示符号语言：a，a，bab.3平面与平面平行的判定定理自然语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行简称：线面平行，则面面平行图形语言：如图所示符号语言：a，b，abP，a，b.4平面与平面平行的性质定理自然语言

2、：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行简称：面面平行，则线线平行图形语言：如图所示符号语言：，a，bab.注意点对直线与平面，平面与平面平行的判定与性质定理的理解(1)直线与平面平行的判定定理和性质定理中的三个条件缺一不可；线面平行的性质定理可以作为线线平行的判定方法(2)平面与平面平行的性质定理实际上给出了判定两条直线平行的一种方法，注意一定是第三个平面与两平行平面相交，其交线平行(3)要证面面平行需证线面平行，要证线面平行需证线线平行，因此“面面平行”问题最终可转化为“线线平行”问题. 1思维辨析(1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行()(2

3、)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面()(3)若直线a与平面内无数条直线平行，则a.()(4)空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，则EF平面BCD.()(5)若，直线a，则a.()答案(1)(2)(3)(4)(5)2对于平面和共面的直线m，n，下列命题是真命题的是()A若m，n与所成的角相等，则mnB若m，n，则mnC若m，mn，则nD若m，n，则mn答案D解析若m，n与所成的角相等，则m与n平行或相交或异面，应排除A；若m，n，则m与n平行或相交，应排除B；若m，mn，则n或n，应排除C.3已知不重合的直线a，b和平面，若a，b，则ab；若a，b，则

4、ab；若ab，b，则a；若ab，a，则b或b，上面命题中正确的是_(填序号)答案解析若a，b，则a，b平行或异面；若a，b，则a，b平行、相交、异面都有可能；若ab，b，a或a.考法综述线线、线面、面面平行的判定与性质是考查重点，特别是三种平行关系的相互转化，多以解答题形式进行证明命题法证明或判断线线平行、线面平行、面面平行典例(1)如图，几何体EABCD是四棱锥，ABD为正三角形，CBCD，ECBD.求证：BEDE；若BCD120，M为线段AE的中点，求证：DM平面BEC.(2)如图所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O底面ABCD，ABAA1.证明

5、：平面A1BD平面CD1B1；求三棱柱ABDA1B1D1的体积解(1)证明：如图1，取BD的中点O，连接CO，EO.由于CBCD，所以COBD，又ECBD，ECCOC，CO，EC平面EOC，所以BD平面EOC，因此BDEO，又O为BD的中点，所以BEDE.证法一：如图2，取AB的中点N，连接DM，DN，MN，因为M是AE的中点，所以MNBE.又MN平面BEC，BE平面BEC，MN平面BEC.又因为ABD为正三角形，所以BDN30，又CBCD，BCD120，因此CBD30，所以DNBC.又DN平面BEC，BC平面BEC，所以DN平面BEC.又MNDNN，故平面DMN平面BEC，又DM平面DMN，

6、所以DM平面BEC.证法二：如图3，延长AD，BC交于点F，连接EF.因为CBCD，BCD120，所以CBD30.因为ABD为正三角形，所以BAD60，ABC90，因此AFB30.所以ABAF.又ABAD，所以D为线段AF的中点，连接DM，由点M是线段AE的中点，因此DMEF.又DM平面BEC，EF平面BEC，所以DM平面BEC.(2)证明：由题设知，BB1綊DD1，四边形BB1D1D是平行四边形，BDB1D1.又BD平面CD1B1，BD平面CD1B1.A1D1綊B1C1綊BC，四边形A1BCD1是平行四边形，A1BD1C.又A1B平面CD1B1，A1B 平面CD1B1.又BDA1BB，平面A

7、1BD平面CD1B1.A1O平面ABCD，A1O是三棱柱ABDA1B1D1的高又AOAC1，AA1，A1O1.又SABD1，VABDA1B1D1SABDA1O1.【解题法】线面平行、面面平行问题的思路及三种平行关系的相互转化(1)证明线面平行问题的思路(一)作(找)出所证线面平行中的平面内的一条直线证明线线平行根据线面平行的判定定理证明线面平行(2)证明线面平行问题的思路(二)在多面体中作出要证线面平行中的线所在的平面利用线面平行的判定定理证明所作平面内的两条相交直线分别与所证平面平行证明所作平面与所证平面平行转化为线面平行(3)空间平行关系之间的转化1.已知m，n是两条不同直线，是两个不同平

8、面，则下列命题正确的是()A若，垂直于同一平面，则与平行B若m，n平行于同一平面，则m与n平行C若，不平行，则在内不存在与平行的直线D若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面答案D解析A中，垂直于同一个平面的两个平面可能相交也可能平行，故A错误；B中，平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，故B错误；C中，若两个平面相交，则一个平面内与交线平行的直线一定和另一个平面平行，故C错误；D中，若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，所以若两条直线不平行，则它们不可能垂直于同一个平面，故D正确2如图，三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，ABC，点D，E在线段AC上，且ADDEEC

9、2，PDPC4，点F在线段AB上，且EFBC.(1)证明：AB平面PFE；(2)若四棱锥PDFBC的体积为7，求线段BC的长解(1)证明：如图，由DEEC，PDPC知，E为等腰PDC中DC边的中点，故PEAC.又平面PAC平面ABC，平面PAC平面ABCAC，PE平面PAC，所以PE平面ABC，从而PEAB.因ABC，EFBC，故ABEF.从而AB与平面PFE内两条相交直线PE，EF都垂直，所以AB平面PFE.(2)设BCx，则在RtABC中，AB，从而SABCABBCx.由EFBC知，得AFEABC，故2，即SAFESABC.由ADAE，得SAFDSAFESABCSABCx，从而四边形DFB

10、C的面积为SDFBCSABCSAFDx x x .由(1)知，PE平面ABC，所以PE为四棱锥PDFBC的高在RtPEC中，PE2.体积VPDFBCSDFBCPEx27， 故得x436x22430，解得x29或x227，由于x0，可得x3或x3.所以，BC3或BC3.3如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ACBC，BCCC1.设AB1的中点为D，B1CBC1E.求证：(1)DE平面AA1C1C；(2)BC1AB1.证明(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DEAC.又因为DE平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，所以DE平面AA1C1C.(2)因为棱柱ABCA1B1

11、C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC.因为AC平面ABC，所以ACCC1.又因为ACBC，CC1平面BCC1B1，BC平面BCC1B1，BCCC1C，所以AC平面BCC1B1.又因为BC1平面BCC1B1，所以BC1AC.因为BCCC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1B1C.因为AC，B1C平面B1AC，ACB1CC，所以BC1平面B1AC.又因为AB1平面B1AC，所以BC1AB1.4一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论；(3)证明：直线D

12、F平面BEG.解(1)点F，G，H的位置如图所示(2)平面BEG平面ACH，证明如下：因为ABCDEFGH为正方体，所以BCFG，BCFG，又FGEH，FGEH，所以BCEH，BCEH，于是四边形BCHE为平行四边形，所以BECH.又CH平面ACH，BE平面ACH，所以BE平面ACH.同理BG平面ACH.又BEBGB，所以平面BEG平面ACH.(3)证明：连接FH.因为ABCDEFGH为正方体，所以DH平面EFGH.因为EG平面EFGH，所以DHEG.又EGFH，DHFHH，所以EG平面BFHD.又DF平面BFHD，所以DFEG.同理DFBG.又EGBGG，所以DF平面BEG.5如图，三棱台D

13、EFABC中，AB2DE，G，H分别为AC，BC的中点(1)求证：BD平面FGH；(2)若CFBC，ABBC，求证：平面BCD平面EGH.证明(1)证法一：连接DG，CD，设CDGFM，连接MH.在三棱台DEFABC中，AB2DE，G为AC的中点，可得DFGC，DFGC，所以四边形DFCG为平行四边形，则M为CD的中点，又H为BC的中点，所以HMBD.又HM平面FGH，BD平面FGH，所以BD平面FGH.证法二：在三棱台DEFABC中，由BC2EF，H为BC的中点，可得BHEF，BHEF，所以四边形HBEF为平行四边形，可得BEHF.在ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GHAB.又

14、GHHFH，所以平面FGH平面ABED.因为BD平面ABED，所以BD平面FGH.(2)连接HE，GE.因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GHAB，由ABBC，得GHBC.又H为BC的中点，所以EFHC，EFHC，因此四边形EFCH是平行四边形，所以CFHE.又CFBC，所以HEBC.又HE，GH平面EGH，HEGHH，所以BC平面EGH.又BC平面BCD，所以平面BCD平面EGH.6. 如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO平面BB1C1C.(1)证明：B1CAB；(2)若ACAB1，CBB160，BC1，求三棱柱ABCA1B1C1的高解(1)

15、证明：连接BC1，则O为B1C与BC1的交点因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1CBC1.又AO平面BB1C1C，所以B1CAO，AOBC10，故B1C平面ABO.由于AB平面ABO，故B1CAB.(2)作ODBC，垂足为D，连接AD.作OHAD，垂足为H.由于BCAO，BCOD，故BC平面AOD，所以OHBC.又OHAD，所以OH平面ABC.因为CBB160，所以CBB1为等边三角形，又BC1，可得OD.由于ACAB1，所以OAB1C.由OHADODOA，且AD，得OH.又O为B1C的中点，所以点B1到平面ABC的距离为，故三棱柱ABCA1B1C1的高为.7如图，四棱锥PABCD中，AP平面

16、PCD，ADBC，ABBCAD，E，F分别为线段AD，PC的中点(1)求证：AP平面BEF；(2)求证：BE平面PAC.证明(1)设ACBEO，连接OF，EC.由于E为AD的中点，ABBCAD，ADBC，所以AEBC，AEABBC，因此四边形ABCE为菱形，所以O为AC的中点又F为PC的中点，因此在PAC中，可得APOF.又OF平面BEF，AP平面BEF，所以AP平面BEF.(2)由题意知EDBC，EDBC，所以四边形BCDE为平行四边形，因此BECD.又AP平面PCD，所以APCD，因此APBE.因为四边形ABCE为菱形，所以BEAC.又APACA，AP，AC平面PAC，所以BE平面PAC.

17、8如图，在三棱锥PABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点已知PAAC，PA6，BC8，DF5.求证：(1)直线PA平面DEF；(2)平面BDE平面ABC.证明(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DEPA.又因为PA平面DEF，DE平面DEF，所以直线PA平面DEF.(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA6，BC8，所以DEPA，DEPA3，EFBC4.又因为DF5，故DF2DE2EF2，所以DEF90，即DEEF.又PAAC，DEPA，所以DEAC.因为ACEFE，AC平面ABC，EF平面ABC，所以DE平面ABC.又DE平面BDE，所以平面BDE平面A

18、BC.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为DD1，DB的中点(1)求证：EF平面ABC1D1；(2)求证：EFB1C.错解错因分析本题易出现的错误是推理论证不严谨，在使用线面关系的判定定理和性质定理时，忽视定理的使用条件从而推理条件不充分，导致错误正解(1)连接BD1，如图，在DD1B中，E，F分别为D1D，DB的中点，则EF平面ABC1D1.(2)EFB1C.心得体会 时间：45分钟基础组1.武邑中学预测已知m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列为真命题的是()Amn，mnB，m，nmnCm，mnnDm，n，m，n答案A解析选项A中，如图，nm，mn一定成立，

19、选项A正确选项B中，如图，m，n，m与n互为异面直线，选项B不正确. 选项C中，如图，m，mn，n，选项C不正确选项D中，如图，m，n，m，n，但与相交，选项D不正确2衡水二中模拟直线m，n均不在平面，内，给出下列命题：若mn，n，则m；若m，则m；若mn，n，则m；若m，则m.其中正确命题的个数是()A1 B2C3 D4答案D解析对命题，根据线面平行的判定定理知，m；对命题，如果直线m与平面相交，则必与平面相交，而这与矛盾，故m；对命题，在平面内取一点A，设过A，m的平面与平面相交于直线b.因为n，所以nb，又mn，所以mb，则m；对命题，设l，在内作m，因为m，所以mm，从而m.故四个命题

20、都正确3枣强中学期末已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题中错误的是()A若m，m，则B若，则C若m，n，mn，则D若m，n是异面直线，m，m，n，n，则答案C解析由线面垂直的性质可知A正确；由两个平面平行的性质可知B正确；由异面直线的性质易知D也是正确的；对于选项C，可以相交、可以平行，故C错误，选C.4衡水二中仿真平面平面，点A，C，B，D，则直线AC直线BD的充要条件是()AABCD BADCBCAB与CD相交 DA，B，C，D四点共面答案D解析充分性：A，B，C，D四点共面，由平面与平面平行的性质知ACBD.必要性显然成立5枣强中学期中如图，在正四棱柱A1C中，E，F，

21、G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件_时，就有MN平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)答案M位于线段FH上解析连接HN，FH，FN，则FHDD1，HNBD，平面FHN平面B1BDD1，只要MFH，则MN平面FHN，MN平面B1BDD1.(答案不唯一)6冀州中学期末给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面、的三个命题：若l与m为异面直线，l，m， 则；若，l，m，则lm；若l，m，n，l，则mn.其中真命题为_答案解析中当与不平行时，也能存在符合题意的l、m.中l与m也可

22、能异面中lm，同理ln，则mn，正确7衡水中学预测如图所示，四棱锥PABCD的底面是一个直角梯形，ABCD，BAAD，CD2AB，PA底面ABCD.若E为PC的中点，则BE与平面PAD的位置关系是_答案平行解析取PD的中点F，连接EF，AF.在PCD中，EFCD，且EFCD.ABCD，且CD2AB，EFAB，且EFAB，四边形ABEF为平行四边形，EBAF.又EB平面PAD，AF平面PAD，BE平面PAD.8枣强中学热身如图，四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA底面ABCD，且PA2，E是侧棱PA上的中点(1)求证：PC平面BDE；(2)求四棱锥PABCD的体积解(1)证明：连接

23、AC交BD于点O，连接OE，如图：四边形ABCD是正方形，O是AC的中点又E是PA的中点，PCOE.PC平面BDE，OE平面BDE，PC平面BDE.(2)PA平面ABCD，VPABCDS正方形ABCDPA122，四棱锥PABCD的体积为.9衡水中学猜题已知三棱柱ABCABC中，平面BCCB底面ABC，BBAC，底面ABC是边长为2的等边三角形，AA3，E，F分别在棱AA，CC上，且AECF2.(1)求证：BB底面ABC；(2)在棱AB上找一点M，使得CM平面BEF，并给出证明证明(1)如图，取BC中点O，连接AO，因为三角形ABC是等边三角形，所以AOBC，又平面BCCB底面ABC，AO平面A

24、BC，平面BCCB平面ABCBC，所以AO平面BCCB，又BB平面BCCB，所以AOBB.又BBAC，AOACA，AO平面ABC，AC平面ABC，所以BB底面ABC.(2)如图，显然M不是A，B，棱AB上若存在一点M，使得CM平面BEF，过M作MNAA交BE于N，连接FN，MC，所以MNCF，即CM和FN共面，所以CMFN，所以四边形CMNF为平行四边形，所以MN2，所以MN是梯形ABBE的中位线，M为AB的中点10衡水中学一轮检测如图所示，在棱长均为4的三棱柱ABCA1B1C1中，D，D1分别是BC和B1C1的中点(1)求证：A1D1平面AB1D；(2)若平面ABC平面BCC1B1，B1BC

25、60，求三棱锥B1ABC的体积解(1)证明：如图所示，连接DD1，在三棱柱ABCA1B1C1中，因为D，D1分别是BC与B1C1的中点，所以B1D1BD，且B1D1BD.所以四边形B1BDD1为平行四边形，所以BB1DD1，且BB1DD1.又因为AA1BB1，AA1BB1，所以AA1DD1，AA1DD1，所以四边形AA1D1D为平行四边形，所以A1D1AD.又A1D1平面AB1D，AD平面AB1D，故A1D1平面AB1D.(2)在ABC中，因为ABAC，D为BC的中点，所以ADBC.因为平面ABC平面B1C1CB，交线为BC，AD平面ABC，所以AD平面B1C1CB，即AD是三棱锥AB1BC的

26、高在ABC中，因为ABACBC4，得AD2.在B1BC中，B1BBC4，B1BC60，所以B1BC的面积SB1BC444，所以三棱锥B1ABC的体积即三棱锥AB1BC的体积，VSB1BCAD428.11冀州中学模拟如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证：(1)直线EG平面BDD1B1；(2)平面EFG平面BDD1B1.证明(1)如图，连接SB，E、G分别是BC、SC的中点，EGSB.又SB平面BDD1B1，EG平面BDD1B1，直线EG平面BDD1B1.(2)连接SD，F、G分别是DC、SC的中点，FGSD.又SD平面BDD1

27、B1，FG平面BDD1B1，FG平面BDD1B1，又EG平面EFG，FG平面EFG，EGFGG，平面EFG平面BDD1B1.12衡水二中周测如图所示的多面体中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，ED平面ABCD，BAD，AD2.(1)求证：平面FCB平面AED；(2)若二面角AEFC为直二面角，求直线BC与平面AEF所成的角的正弦值解(1)证明：在矩形BDEF中，FBED，FB平面AED，ED平面AED，FB平面AED，同理BC平面AED，又FBBCB，平面FBC平面EDA.(2)取EF的中点M.连接AM，CM.连接AC交BD于点N.由于ED平面ABCD，EDFB，EDAD，EDDC，FBBC，FBAB.又ABCD是菱形，BDEF是矩形，ADE，EDC，ABF，BCF是全等三