2019版高考数学一轮复习第九章导数及其应用9.1导数的概念及几何意义导数的运算讲义

1、9.1导数的概念及几何意义、导数的运算命题探究(1)由PO1=2知O1O=4PO1=8.因为A1B1=AB=6,所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积V锥=A1PO1=622=24(m3);正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积V柱=AB2O1O=628=288(m3).所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312(m3).(2)设A1B1=a(m),PO1=h(m),则0h6,O1O=4h(m).连结O1B1.因为在RtPO1B1中,O1+P=P,所以+h2=36,即a2=2(36-h2).于是仓库的容积V=V柱+V锥=a24h+a2h=a2h=(36h-h3),0h6,从而V=(3

2、6-3h2)=26(12-h2).令V=0,得h=2或h=-2(舍).当0h0,V是单调增函数;当2h6时,V0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为.答案(1,1)5.(2014江苏,11,5分)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+(a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是.答案-3教师用书专用(69)6.(2013广东理,10,5分)若曲线y=kx+ln x在点(1,k)处的切线平行于x轴,则k=.答案-17.(2013重庆理,17,13分)设f(x)=a(x-5)2+6ln x,其中aR,曲线y=f(x)在点(1, f(1)

3、处的切线与y轴相交于点(0,6).(1)确定a的值;(2)求函数f(x)的单调区间与极值.解析(1)因f(x)=a(x-5)2+6ln x,故f (x)=2a(x-5)+.令x=1,得f(1)=16a, f (1)=6-8a,所以曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线方程为y-16a=(6-8a)(x-1),由点(0,6)在切线上可得6-16a=8a-6,故a=.(2)由(1)知, f(x)=(x-5)2+6ln x(x0), f (x)=x-5+=.令f (x)=0,解得x1=2,x2=3.当0x3时, f (x)0,故f(x)在(0,2),(3,+)上为增函数;当2x3时, f (x

4、)2;(3)设实数k使得f(x)k对x(0,1)恒成立,求k的最大值.解析(1)因为f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),所以f (x)=+, f (0)=2.又因为f(0)=0,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y=2x.(2)证明:令g(x)=f(x)-2,则g(x)=f (x)-2(1+x2)=.因为g(x)0(0xg(0)=0,x(0,1),即当x(0,1)时, f(x)2.(3)由(2)知,当k2时, f(x)k对x(0,1)恒成立.当k2时,令h(x)=f(x)-k,则h(x)=f (x)-k(1+x2)=.所以当0x时,h(x)0,因此h(x)在区间上单调递

5、减.当0x时,h(x)h(0)=0,即f(x)2时, f(x)k并非对x(0,1)恒成立.综上可知,k的最大值为2.9.(2013北京理,18,13分)设L为曲线C:y=在点(1,0)处的切线.(1)求L的方程;(2)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线L的下方.解析(1)设f(x)=,则f (x)=.所以f (1)=1.所以L的方程为y=x-1.(2)证明:令g(x)=x-1-f(x),则除切点之外,曲线C在直线L的下方等价于g(x)0(x0,x1).g(x)满足g(1)=0,且g(x)=1-f (x)=.当0x1时,x2-10,ln x0,所以g(x)1时,x2-10,ln x0,所以

6、g(x)0,故g(x)单调递增.所以,g(x)g(1)=0(x0,x1).所以除切点之外,曲线C在直线L的下方.考点二导数的运算1.(2016天津,10,5分)已知函数f(x)=(2x+1)ex, f (x)为f(x)的导函数,则f (0)的值为.答案32.(2014福建,20,14分)已知函数f(x)=ex-ax(a为常数)的图象与y轴交于点A,曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为-1.(1)求a的值及函数f(x)的极值;(2)证明:当x0时,x2ex;(3)证明:对任意给定的正数c,总存在x0,使得当x(x0,+)时,恒有x2cex.解析(1)由f(x)=ex-ax,得f (x)=ex-a

7、.又f (0)=1-a=-1,得a=2.所以f(x)=ex-2x,f (x)=ex-2.令f (x)=0,得x=ln 2.当xln 2时, f (x)ln 2时, f (x)0,f(x)单调递增.所以当x=ln 2时,f(x)取得极小值,且极小值为f(ln 2)=eln 2-2ln 2=2-ln 4,f(x)无极大值.(2)证明:令g(x)=ex-x2,则g(x)=ex-2x.由(1)得g(x)=f(x)f(ln 2)0,故g(x)在R上单调递增,又g(0)=10,因此,当x0时,g(x)g(0)0,即x20时,x20时,x2cex.取x0=0,当x(x0,+)时,恒有x2cex.若0c1,要

8、使不等式x2kx2成立.而要使exkx2成立,则只要xln(kx2),只要x2ln x+ln k成立.令h(x)=x-2ln x-ln k,则h(x)=1-=,所以当x2时,h(x)0,h(x)在(2,+)内单调递增.取x0=16k16,所以h(x)在(x0,+)内单调递增,又h(x0)=16k-2ln(16k)-ln k=8(k-ln 2)+3(k-ln k)+5k,易知kln k,kln 2,5k0,所以h(x0)0.即存在x0=,当x(x0,+)时,恒有x2cex.综上,对任意给定的正数c,总存在x0,当x(x0,+)时,恒有x20时,exx2,所以ex=,当xx0时,ex=x2,因此,

9、对任意给定的正数c,总存在x0,当x(x0,+)时,恒有x2cex.证法三:首先证明当x(0,+)时,恒有x30时,x2ex,从而h(x)0,h(x)在(0,+)内单调递减,所以h(x)h(0)=-10,即x3x0时,有x2x3ex.因此,对任意给定的正数c,总存在x0,当x(x0,+)时,恒有x20),因而f(1)=1, f (1)=-1,所以曲线y=f(x)在点A(1, f(1)处的切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.(2)由f (x)=1-=,x0知:当a0时, f (x)0,函数f(x)为(0,+)上的增函数,函数f(x)无极值;当a0时,由f (x)=0,解得x=a.又

10、当x(0,a)时, f (x)0,从而函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-aln a,无极大值.综上,当a0时,函数f(x)无极值;当a0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-aln a,无极大值.三年模拟A组20162018年模拟基础题组考点一导数的概念及几何意义1.(2018江苏常熟期中调研)已知曲线f(x)=ax3+ln x在(1,f(1)处的切线的斜率为2,则实数a的值是.答案2.(2018江苏东台安丰高级中学月考)在平面直角坐标系xOy中,直线l与函数f(x)=2x2+a2(x0)和g(x)=2x3+a2(x0)的图象均相切(其中a为常数),切点分别为A(x1

11、,y1)和B(x2,y2),则x1+x2的值为.答案3.(2018江苏扬州中学月考)若曲线y=kx+ln x在点(1,k)处的切线平行于x轴,则k=.答案-14.(2018江苏淮安宿迁高三第一学期期中)已知函数f(x)=x3.设曲线y=f(x)在点P(x1,f(x1)处的切线与该曲线交于另一点Q(x2,f(x2),记f (x)为函数f(x)的导数,则的值为.答案5.(2018江苏常熟高三期中)已知函数f(x)=若直线y=ax与y=f(x)的图象交于三个不同的点A(m,f(m),B(n,f(n),C(t,f(t)(其中mn0)上一点P(x0,y0)处的切线分别与x轴,y轴交于点A、B,O是坐标原

12、点,若OAB的面积为,则x0=.答案C组20162018年模拟方法题组方法1求函数的导数的方法1.求下列函数的导数:(1)y=x2sin x;(2)y=;(3)y=.解析(1)y=(x2)sin x+x2(sin x)=2xsin x+x2cos x.(2)y=.(3)y=.方法2利用导函数求曲线的切线方程2.已知函数f(x)=,g(x)=aln x,aR.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求该切线方程.解析f (x)=,g(x)=(x0),设两曲线交点的横坐标为x,则由已知得解得a=,x=e2,两条曲线交点的坐标为(e2,e),切线的斜率k=f (e2)=,切

13、线的方程为y-e=(x-e2),即x-2ey+e2=0.D组20162018年模拟突破题组(2016江苏扬州中学质检,19)对于函数f(x),g(x),如果它们的图象有公共点P,且在点P处的切线相同,则称函数f(x)和g(x)在点P处相切,称点P为这两个函数的切点.设函数f(x)=ax2-bx(a0),g(x)=ln x.(1)当a=-1,b=0时, 判断函数f(x)和g(x)是否相切,并说明理由; (2)已知a=b,a0,且函数f(x)和g(x)相切,求切点P的坐标.解析(1)当a=-1,b=0时,函数f(x)和g(x)不相切.理由如下:由条件知f(x)=-x2,由g(x)=ln x,得x0,因为f (x)=-2x,g(x)=,所以当x0时,f (x)=-2x0,所以对于任意的x0,f (x)g(x).故当a=-1,b=0时,函数f(x)和g(x)不相切.(2)若a=b,则f (x)=2ax-a,由题意得g(x)=,设切点坐标为(s,t),其中s0,由题意,得as2-as=ln s,2as-a=,由得a=,代入得=l