231抛物线及其标准方程.ppt

1、导入新课,观察与分析,在我们生活中存在各式各样的抛物线,这些抛物线有怎样的几何特征呢？它的标准方程又是什么呢？这就是我们接下来要学习的内容,教学目标,知识与能力：,使学生掌握抛物线的定义.,抛物线的标准方程及其推导过程.,提高学生概括、转化等方面的能力,过程与方法：,情感态度与价值观：,培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美.,培养学生观察，实验，探究与交流的数学活动能力.,注重数形结合，掌握解析法研究几何问题的一般方法.,注重探索能力的培养.,教学重难点,重点：,难点：,抛物线定义的理解及标准方程的推导.,标准方程的推导.,你会画抛物线吗？一起来看看吧！,我们可以发现，点P随着C的运动过

2、程中，始终有|PF|=|PC|，即定点P与定点F和定直线l的距离相等,如图2.4-1.,我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线（parabola）.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.,即 =1,则P的轨迹是抛物线.,想一想：,设焦点到准线的距离为常数P(P0),如何建立坐标系,求出抛物线的标准方程呢？,如图2.4-2，取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，线段KF的中垂线为y轴.,设KF=p（p0）,因为抛物线的顶点是KF的中点，所以焦点F的坐标为（ ，0），准线方程为x=- .,设动点M的坐标为（x，y）， 点M到直线l的距离为d，由抛

3、物线的定义，抛物线就是点的集合,P=M|MF|=d.,因为|MF|= ,d=|x+ |,所以,=|x+ |.,将上式两边平方并化简，得 y2=2px（p0）.,从上述可知，抛物线上任意一点的坐标都满足方程y2=2px（p0） ；以方程y2=2px（p0）的解为坐标的点都在抛物线上，我们把方程y2=2px（p0）叫做抛物线的标准方程.此抛物线的焦点坐标为( ,0),准线方程为x= -,其中，p是抛物线的焦点到准线的距离，所以p的值永远大于0.,方程 y2 = 2px（p0）表示的抛物线，其焦点位于x轴的正半轴上，其准线交于x轴的负半轴即右焦点F（ ，0），左准线l：x =- 如图2.4-3所示.

4、,但是，对于一条抛物线，它在坐标平面内的位置可以不同，所以建立的坐标系也不同，所得抛物线的方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式.,想一想：,抛物线的标准方程还有哪些形式？其它形式的抛物线的焦点与准线呢？,让我们一起看看下面的表格吧!,你能说明二次函数y=ax2（a0）的图像为什么是抛物线吗？它的焦点坐标、准线方程又是怎样的呢？,分析：我们可以把y=ax2写成标准形式x2= y，这个方程表示的就是抛物线，它的焦点坐标为（0， ），准线方程为y=- .,（1）已知抛物线的标准方程是y2=20 x，求它的焦点坐标和准线方程.,解：（1）因为p=10，所以抛物线的焦点坐标是（5，0），准线方程

5、x=-5；,（2）已知抛物线的方程式x2 +8y =0，求它的焦点坐标和准线方程.,（2）将方程x2+8y=0化成标准方程为x2=-8y，所以p=-4，所以抛物线的焦点坐标为（0，-2），准线方程y=2.,已知抛物线的焦点是F（-2，0），求它的标准方程.,解：因为抛物线的焦点在x轴的负半轴上，且 =2，p=4，所以，所求抛物线的标准方程为y2=-8x .,课堂小结,把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线（parabola）.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.,1.抛物线：,2.四种形式的抛物线：,高考链接,1. (2008四川文) 已知双曲

6、线C: 的左右焦点分别为F1,F2，P为C的右支上一点，且|PF2|=|F1F2|，则PF1F2的面积等于( ),（）24（）36（）48（）96,C,继续解答,解：双曲线 中，a=3，b=4，c=5,F1（-5，0），F2（5，0）,|PF2|=|F1F2|,|PF1|=2a+|PF2|=6+10=16,作PF1边上的高AF2，则AF1=8,PF1F2的面积为,AF2= =6,|PF1|PF2|= 166=48故选C.,2. (2008湖北文)已知双曲线C: (a0,b0)的两个焦点为F:(-2,0),F:(2,0),点P(3, )的曲线C上. （）求双曲线C的方程； （）记O为坐标原点，过

7、点Q (0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若OEF的面积为 ,求直线l的方程.,继续解答,解： ()依题意，由a2+b2=4，,得双曲线方程为 （0a24）,将点（3， ）代入上式，得,解得a2=18（舍去）或a22，,故所求双曲线方程为,()依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，,得(1k2)x24kx6=0.,直线I与双曲线C相交于不同的两点E、F,继续解答,k( )(1, ).,设E(x1,y1),F(x2,y2)，,则由式得x1+x2=,于是|EF|=,继续解答,=,而原点O到直线l的距离d ,SOEF=,继续解答,若SOEF ，即,解得k=

8、,满足.故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y= x+2和y=- x+2.,（3）(2008四川理) 已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且 ，则AFK的面积为( ),A. 4 B. 8 C. 16 D.32,B,解：抛物线 C：y2=8x的焦点F（2，0），准线为x=-2, K（-2，0）,设A(x0，y0)，过点A向准线作垂线AB，则B（-2，y0）,又AF=AB=x0-（-2）=x0+2,继续解答,由BK2=AK2-AB2得y02=（x0+2）2，,即8x0=（x0+2）2，,解得 A（2，4）,AFK的面积为,故选B,随堂练习,1. 填空题,（1）动点

9、P到直线x+4=0的距离减它M(2,0)的距离之差等于2，则P的轨迹是_,其方程为_.,抛物线,y2=8x,（2）两定点A（-2，-1）,B（2，-1）动点P在抛物线y=x2上移动.则 重心G的轨迹方程为_.,2. 选择题：,D,（2）抛物线y=x2上有A、B、C三点横坐标依次为-1, 2 , 3在y轴一点D纵坐标为6，则四边形ABCD为（ ） A.正方形 B. 菱形 C. 平行四边形 D. 任意四边形,C,3. 解答题,（1）A（4，1）为抛物线y2=6x内一点过A作直线l交抛物线于P、Q，A恰为PQ中点求l的方程.,解：设A（x1，y1），B（x2，y2）在直线l上,(y1-y2)(y1+

10、y2)=6(x1-x2),直线l的方程为：y-1=3(x-4),即：3x-y-11=0.,继续解答,（2）抛物线y=- 与过点M（0，-1）的直线l相交与A,B两点，O为原点.若OA何OB的斜率之和为1，求直线l的方程.,解：显然直线l垂直于x轴不符合题意，故设所求的直线方程为y=kx-1.,代入抛物线方程化简，得 x2+2kx-2=0.,由根的判别式=4k2+8=4(k2+2)0，于是有kR.,设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2,y2),则,（3）求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程.,解：1）设抛物线的标准方程为x2 =2py，把A（-3，2）代入，得p=,2）设抛物线的标准方程为y2 = -2px，把A（-3，2）代入， 得p=,抛物线的标准方程为x2 = y或y2 = x .,继续解答,因为y1=kx1-1，y2=kx2-1，,代入，得2k-（ ）=1. ,又因为x1+x2=-2k，x1x2=-2，代入的k=1.,所以直线l的方程为y=x-1.,习题解答,1. （1）y2=12x； （2）y2=x； （3）y2=4x，y2=-4x，x2=4y，x2=-4y.,2. （1） 焦点坐标F（5