上海高三数学复习-函数复习

1、函数复习函数复习 1 1、概念：、概念： （一一对应，图像识别）（一一对应，图像识别） 2 2、定义域（复合函数等）、定义域（复合函数等） 3 3、函数的和，积（注意定义域求法）、函数的和，积（注意定义域求法） ， 什么是相等的函数？什么是相等的函数？ 4 4、奇偶性、奇偶性 5 5、对称性、对称性 6 6、单调性、单调性 7 7、值域（最值）、值域（最值） 8 8、周期性、周期性 9 9、反函数、反函数 1010、特殊函数：二次函数、幂函数、指、特殊函数：二次函数、幂函数、指 数函数、对数函数、耐克函数数函数、对数函数、耐克函数 1111、图像、图像 1 / 35 例例 1 1、判断下列各组

2、函数是否表示同一、判断下列各组函数是否表示同一 函数函数? ? 1、f (x) x ,g(x) x x 233 1,(x 0) 2、f (x) ,g(x) x 1,(x 0) x,(x 0) 23、f (x) ,g(x) x x,(x 0) 4、f (x) xx 1,g(x) x x 5、f (x) x 2x 1,g(t) t 2t 1 6、f (x) 2log 3 x,g(x) log 3 x 2 / 35 2 22 2 例例 2 2、求定义域：、求定义域： 1、y 3x 2x 3 4x 2x x2 2、f (x) lg(2x 1) 3x x2 3、y x 1 1 4、y sin x 25

3、x 5、f (x) 1 x25x 6 2 0 (x 1) x x 6、已知y lg (a 1)x (a 1)x 1 的定义域为R，求实数a的范围 2 22 7、f (x)定义域为 3,8，求f (x 1)的定义域 0,1，8、已知函数y f (2x 1)的定义域为 求函数y f (2x 1)的定义域 9、已知f (x)定义域为 0,4， 求y f (x 3) f (x )的定义域 2 3 / 35 例例 3 3、求解析式：、求解析式： 1 1、已知、已知 11 2f (1) 2 1,求f (x), f (x )的表达式 xx x1x2 f (x) , g(x) 2 2、已已知知 x2 x1 ，

4、求求 f(x)(x)f(x)(x)的表达式的表达式 2 23 3、 f(x)f(x) , ,若若f(0)=0,f(0)=0,且且f(1)(x)1,f(1)(x)1,求求f(x)f(x) 的表达式的表达式 4 4、已知、已知 f(x)f(x)是偶函数，是偶函数，g(x)g(x)是奇函数，是奇函数， 1 f(x)(x)=f(x)(x)= x1 , , 求求 f(x)(x)f(x)(x)的表达的表达 式式 5 5、已知、已知 f(x)+2f()=32,f(x)+2f()=32, 求求 f(x)f(x)的解析的解析 式式 6 6、已知函数、已知函数 x1,(x 0) 1 x f (x) , g(x)

5、1 x 1 x,(x 0) ， 求函数求函数 f(x)f(x)与与 g(x)g(x)的积的解析式的积的解析式 7 7、已知、已知 n nN N，且，且 求求 f(5)f(5)的值的值 4 / 35 n3,n 10 f (n) ， f f (n5) ,n 10 x 21, x 0 y 8 8、已知函数、已知函数，求使函数，求使函数 2x, x 0 值为值为 1010 的的 x x 的值的值 例例 4 4、求值域或最值、求值域或最值 1 1、直接法、直接法( (配方等配方等) ) y x x2 2 2 1 y x x1, x 1, 2 y x3 2 2、反函数法、反函数法 5 x 5x1 f (x

6、) ,(3 x 1) 4x2 cos x1 f (x) cos x1 3 3、单调性、单调性 f (x) 2x1, x 1,2 5 / 35 y 12x 5x, x 4,1 1 y 2x, x 1,3 x 4 4、换元法、换元法 y x 12x 5 y cos x2sin x, x, 3 6 2 5 5、 “”法“”法 2x 2x3 f (x) 2x x1 6 6、基本不等式、基本不等式 2 y x 5 x 4 2 2 1 1 y x, x ,4 x4 6 / 35 4x 8x13 y ,(x 1) 6(x1) 7 7、图像法、图像法 2 x1 f (x) x1 5x1 f (x) ,(3 x

7、 1) 4x2 y x1 x3 8 8、其他、其他 2 22 22222已知已知R R 且满足且满足 3x3x +2y+2y =9x,=9x,求求的最值的最值 函数奇偶性：函数奇偶性： 7 / 35 1 1、定义域关于原点对称、定义域关于原点对称 2 2、偶：、偶：f()(x)f()(x)或或 f()(x)=0f()(x)=0，图像关于，图像关于y y 轴对称轴对称 奇：奇：f()(x)f()(x)或或 f()(x)=0f()(x)=0，图像关于，图像关于 原点对称原点对称 3 3、在、在 R R 上的奇函数有上的奇函数有 f(0)=0f(0)=0 4 4、奇函数的反函数也是奇函数、奇函数的反

8、函数也是奇函数 5 5、在、在 R R 上任意上任意 f(x)f(x)都可以唯一表示成都可以唯一表示成 一个奇函数与一个偶函数之和一个奇函数与一个偶函数之和 6 6、奇函数在原点对称区间上单调性相、奇函数在原点对称区间上单调性相 同，偶函数相反同，偶函数相反 7 7、在公共定义域内：、在公共定义域内： 奇奇+ +奇奇= =奇奇 奇奇奇奇= =偶偶 偶偶+ +偶偶= =偶偶 偶偶偶偶= =偶偶 偶奇偶奇= =奇奇 例例 1 1、判断下列函数的奇偶性、判断下列函数的奇偶性 8 / 35 f (x) x 2 f (x) 2x3 2x3 f (x) 1 x x1 f (x) x 1 1 x f (x)

9、 lg(xx21) 22 x(1 x),x 0 f (x) x(1 x),x 0 4 x 2 f (x) x3 3 f (x) 2 arccos x 11 f (x) x( 2x1 2 ) 例例 2 2、已知函数、已知函数 f(x)f(x)是是 R R 上的奇函数，上的奇函数， 2 2且当且当 x0 x0 时，时， f(x)f(x) 1,1,求求 f(x)f(x)在在 R R 上的表上的表 达式达式 例例 3 3、 已知奇函数已知奇函数 f(x)f(x)定义域为定义域为-3,3-3,3， 且且 在在 -3,0-3,0 上上 单单 调调 递递 增增 ， 求求 满满 足足 9 / 35 f(2m-

10、1)(mf(2m-1)(m -2)0-2)0 的实数的取值范围。的实数的取值范围。 例例 4 4、函数函数 f(x)f(x)的定义域为的定义域为 00，满足满足 对于任意对于任意 x x 1212 D D，有，有 f(xf(x 1 1x x2 2)(x )(x 1 1)(x )(x 2 2) ) (1)(1)求求 f(1)f(1)的值的值 (2)(2)判断判断 f(x)f(x)奇偶性并证明奇偶性并证明 (3)f(4)=1(31)(26)(3)f(4)=1(31)(26)3,3,且且f(x)f(x)在在 （0 0） 上是单调递增，求上是单调递增，求 x x 的取值范围的取值范围 函数的单调性与最

11、值函数的单调性与最值 1 1、判断单调性的方法、判断单调性的方法 10 / 35 2 2 2 2、单调性的证明（定义法）、单调性的证明（定义法） 3 3、复合函数的单调性、复合函数的单调性 例例 1 1、下列函数式单调函数吗？写出单、下列函数式单调函数吗？写出单 调区间：调区间： 1 1、 y x 2 2、 y x 3 3、 y x2 3 4 y x 4 4、 x 4 5 5、y x x , x2,) 4 6 6、 y x x , x(0,) 41 7 7、 y x x , x 3 ,3 4 8 8、 y x x 11 / 35 4 y x 9 9、 x ，可加条件，可加条件 a y x 10

12、10、 x 1 x y 1111、 1 x ，变式，变式 1212、 y log 2 1313、 2 1x 1x y x 2x3,x(2,2 2y x 4x3，变式，变式1414、 1515、 1616、 y 1 ，变式，变式 x 4x3 2 (x23x2) y log 1 2 ，变式，变式 1 y 1717、 3 2x2x ，变式，变式 12 / 35 1818、y x1 2 x 1919、 y log 1 ,y log 1 22 xx 2020、 y x 2x 2 2121、 y x 3x2 2222、 y 3 ，变式，变式 例例 2 2、f(x)f(x) -2-2 +1+1 在（在（-

13、-，1 1）上单调递）上单调递 减，求实数减，求实数 a a 的取值。的取值。 例例 3 3、已知函数、已知函数 -48-48 在区间在区间4,164,16上单上单 调递减，求实数调递减，求实数 k k 的取值范围。的取值范围。 例例 4 4、判断、判断 ax f (x) 2 (a 0), x 1 2 2 2 22 2 2 2 x 在区间（在区间（-1,1-1,1）上的单调性。）上的单调性。 例例 5 5、若函数、若函数 f(x)f(x)是定义在是定义在 R R 上的偶函上的偶函 数，在（数，在（ - -，00上是单调递减的，且上是单调递减的，且 13 / 35 f(2)=0,f(2)=0,则

14、求使则求使f(x)0f(x)0(x)=a0(x)= aex 是是R R上的偶函数，上的偶函数， 求求 a a 的值并证明：的值并证明：f(x)f(x)在（在（0 0，+ +）上）上 是单调递增的。是单调递增的。 例例 8 8、 x22xa f (x) , x(0,2，其中常数 ，其中常数 x a0a0 1 1、当、当 4 4 时，证明时，证明 f(x)f(x)在（在（0,20,2上是减上是减 函数。函数。 2 2、求函数、求函数 f(x)f(x)最小值。最小值。 3 3、若对任意若对任意 x x11)(x)0)(x)0 恒成立，恒成立，求求 实数实数 a a 的范围。的范围。 例例 9 9、已

15、知、已知 f(x)f(x)是定义在（是定义在（-1,1-1,1）上的）上的 奇函数，当且仅当奇函数，当且仅当 0x10x1 时，时，f(x)0f(x)0， y ) ，且对任意（且对任意（-1,1-1,1）都有）都有 f (x) f (y) f (1 x xy 试证明：试证明：f(x)f(x)在（在（-1,1-1,1）上单调递减。）上单调递减。 14 / 35 例例 1010、值域，最值问题：、值域，最值问题： 1 1、 y 1 x x2 1 2 2、 y 2x24x 5 2 2x2 x11 y , x 3 3、 2x12 4 4、 y x 1 x 22求y (x3) 16 (x5) 4最小值5

16、 5、 2 2sin x 6 6、 y 2cos x 1 x y ( ) 7 7、 5 8 8、 9 9、 y log 1 2 (x23x2),x3,1) y 32x 2 x 15 / 35 1010、f(x)f(x) +21+21 在在-3,2-3,2上的为上的为 4 4，求实，求实 数数 a a 的值。的值。 1111、f(x)f(x) +21+21 在在0,10,1有最大值有最大值 2 2，求，求 a a 的值。的值。 1212、f(x)f(x) -23-23 在在00上最大值为上最大值为 3 3，最小，最小 值为值为 2 2，求实数，求实数 a a 取值范围。取值范围。 1313、f(

17、x)f(x) +(2a-1)1+(2a-1)1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 ,2上有最大值上有最大值在在 2 3 3，求实数，求实数 a a 的值。的值。 1414、已知、已知 f(x)f(x) -42a6 (a-42a6 (aR)R) （1 1）若函数值域为）若函数值域为00） ，求，求 a a 的值的值 （2 2）若函数值域为非负数，求）若函数值域为非负数，求 g(a)=2g(a)=2 3 3的值域的值域 函数的周期性、对称性与函数图象变换函数的周期性、对称性与函数图象变换 一、函数的周期性一、函数的周期性 1 1、f()(x)f()(x) 2 2、最小正周期、最小正周期 16 /

18、 35 2 2 3 3、若若 f()()f()()b,b,则则 f(x)f(x)为周期函数，为周期函数，其其 中一个周期中一个周期 ab 二、函数的对称性二、函数的对称性 1 1、f()()f()()或或 f(x)(2a),f(x)(2a),则则(x)(x)关于直线对关于直线对 称称 a b 2 2、f()()f()()，则函数则函数(x)(x)关于直线关于直线 2 对称对称 3 3、(x)(x)关于点（）对称，则关于点（）对称，则 f()()=2bf()()=2b 或或 f(2a)(x)=2bf(2a)(x)=2b 4 4、若若 a b c f()(),f()(),函数函数(x)(x)关于点

19、关于点( 2 , 2 )对称对称 三、函数图象的平移三、函数图象的平移 上加下减，左加下减上加下减，左加下减 四、对称变换四、对称变换 1 1、f(x)():f(x)():关于关于 y y 轴对称轴对称 2 2、f(x)(x):f(x)(x):关于关于 x x 轴对称轴对称 3 3、f(x)():f(x)():关于原点对称关于原点对称 17 / 35 4 4、f(x)f(x) (x):(x):关于轴对称关于轴对称 五、翻转变化五、翻转变化 1 1、f(x)f(x)右翻左：右翻左： f x 2 2、f(x)f(x)下翻上：下翻上： f (x) 六、伸缩变化六、伸缩变化 1 1、横向、横向 2 2

20、、纵向、纵向 例题：例题： 1 1、对于定义在、对于定义在 R R 上的函数上的函数 f(x),f(x),有下述有下述 命题：命题： 1 1）若）若 f(x)f(x)是奇函数，则是奇函数，则 f(1)f(1)的图像关的图像关 于点于点 A A（1,01,0）对称；）对称；2 2）若函数）若函数 f(1)f(1)的的 图像关于直线图像关于直线 1 1 对称，对称， 则则 f(x)f(x)为偶函数；为偶函数； 3 3）若）若x xR R，有，有f(1)f(1) f(x)f(x)，则，则2 2 是是 f(x)f(x) 的一个周期；的一个周期；4 4）函数）函数 f(1)f(1)与与 f(1)f(1)

21、的图的图 像关于直线像关于直线 1 1 对称，其中正确的命题是对称，其中正确的命题是 ,0 对对2 2、已知定义在、已知定义在 R R 上的函数关于点上的函数关于点 3 4 18 / 35 1 1 称，称， 且满足且满足 3 x， ，f(x)=f(x)= f f(-1)=1(0)2,f(-1)=1(0)2, 2 求求 f(1)(2)+f(1)(2)+(2015)(2015)的值。的值。 2x 3 3、讨论方程、讨论方程2x 3 k解得个数解得个数 4 4、 若不等式若不等式 2x1 x1 a 恒成立，恒成立， 求求 a a 的范围的范围 5 5、若、若 0a1-1,0a10(a0 且且 a a

22、 1)1)的图像关于直线对称，的图像关于直线对称， 又将又将(x)(x) 图像向右平移图像向右平移 1 1 个单位长度所得到个单位长度所得到 图像的解析式图像的解析式(x),(x),且且(x)(x)在在33) )上上 总有总有 f(x)1,f(x)1, 求：求： （1 1）f(x)f(x)解析式解析式 (2)(2)实数实数 a a 的取值范围的取值范围 6 6、 已知函数已知函数 2m1mx f (x) log a ,a 0,a 1是是 x1 奇函数，定义域为区间奇函数，定义域为区间 D D（1 1）求实数）求实数 m m 值，并求出值，并求出D D（2 2）若底数）若底数a1,a1,试判断函

23、试判断函 数数(x)(x)在定义域在定义域 D D 内的单调性（内的单调性（3 3）若）若 x x 25 / 35 )()(是底数是底数) )时，函数值组成的集合时，函数值组成的集合 为为11),),求实数的值求实数的值 指数方程和对数方程指数方程和对数方程 一、指数方程一、指数方程 1 1、定义：定义：指数里含有未知数的方程叫做指数里含有未知数的方程叫做 指数方程。指数方程。 2 2、常见指数方程的类型与解法：、常见指数方程的类型与解法： （1 1）形如）形如 化对数式化对数式 f(x)f(x) （2 2）形如）形如(x)(x) (x)(x) (x)(x) 化化 f(x)(x)f(x)(x)

24、 （3 3）形如）形如(x)(x) (x)(x) 化化 f(x) g(x) f(x) g(x)来解来解 （4 4）形如）形如 f()=0f()=0 换元法解方程换元法解方程 二、对数方程二、对数方程 26 / 35 1 1、定义：定义：在对数符号后面含有未知数的在对数符号后面含有未知数的 方程叫做对数方程。方程叫做对数方程。 2 2、常见对、常见对 数方程的类型与解法：数方程的类型与解法： （1 1）形如）形如(x)(x) 化指数式化指数式 f(x)f(x) （2 2）形如）形如(x)(x)(x)(x) 化化 f(x)(x)f(x)(x)且且 f(x)0(x)0f(x)0(x)0 （3 3）形

25、如）形如 f()f() 换元法解方程换元法解方程 （4 4）对数式的底数中含有未知数的方）对数式的底数中含有未知数的方 程，程， 可根据具体情况利用对数定义可根据具体情况利用对数定义 或换底公式等，或换底公式等， 把原方程化成比较把原方程化成比较 简单的形式再求解。简单的形式再求解。 例题：解方程例题：解方程 1 1、3 3 -3-3 8080 2 2、3*16362*813*16362*81 3 3、5 x1 x x 2 22 2 3x21 27 / 35 4 4、 (2)(2) (1)(1) 4 42 2 -1-1 22log (9x )log 5 5、 x3 x 4 6 6、3lgx2 3lgx4 0 7 7、设关于、设关于 x x 的方程的方程 4242 0(b0(bR),R),若方程若方程 有实数解，求实数有实数解，求实数 b b 的取值范围的取值范围 8 8、若、若 x x 1 1 满足满足 2525 2 2 满足满足 2 25, 5, 求求 x x 1212 的值的值 9 9、解方程、解方程:345:345x x 1 1 28 / 35 三角比复习三角比复习 弧度制及任意角的三弧度制及任意角的三 角比角比 知识点：知识点： 1 1、任意角、任意角 （1 1）角的概念）角的概念 （2 2）角的分类）角的分类 按旋转方向分：按旋转方向分： 正