《现代地理学中的数学方法》第3章-12相关分析方法回归分析方法

1、第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析,地理系统由各个要素组成，各要素之间存在着相互联系、相互影响和相互制约，为了定量地研究各要素之间的数量关系，常用相关分析法和回归分析法来确定它们之间的关系和性质，并概括成数学模型，进而作出地理预测。,第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析,1地理要素间的相关分析 一、地理相关的意义 所谓相关，是指两个或两个以上的变量间相互关系是否密切。相关分析仅限于测定两个或两个以上的变量间相关程度和性质。而地理相关则是指应用相关分析法来研究各地理要素间的相互关系和联系强度。 在地理系统中，各要素间存在着各种不同的关系。 确定性的关系，即函数关系，这在地理系统中比

2、较少见，因为很多地理要素的变化具有随机性的缘故； 相关关系，即要素间既存在较密切的关系，但又不能由一个要素的值精确地求出另一个要素的值 各要素之间完全没任何关系。如图51所示：,第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析,从图中可以看出，若设x、y为两种地理要素。第一种情况，若y严格随x变化而变化，如(a)所示，所有观测点均落在直线或曲线上，则称为完全相关或函数关系；第二种情况，若观测点落在直线或曲线两旁，如(b)所示，则称为统计相关；第三种情况，若观测点分布散乱，则两种地理要素完全无关，相互独立。,第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析,二、地理相关程度的度量方法 计量地理学中用不同的指

3、标来度量不同类型的地理相关的程度。 （一）简单直线相关程度的度量 一般情况下，当两个地理要素间为直线相关时，需要分析其相关程度和相关方向。所谓相关程度指两者关系的密切程度，而相关方向可分为正相关与负相关。前者指两个要素间呈同方向变化，而后者相反。这两者可用一个共同的指标度量，就是相关系数。 1. 一般常用的相关系数(r)计算公式 其中，,第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析,上式计算出的相关系数，具有下列三点性质： （1）相关系数的分布范围，介于1与+1之间； （2）当相关系数为正值时，表示两个要素之间为正相关，相关系数为负值时，表示两个要素之间为负相关； （3）相关系数的绝对值越大，表

4、示两个要素间相关程度越密切。 例1：北京市多年各月平均气温与5cm深的平均地温，数据如表51所示。依据相关系数的计算公式可得：0.9995，由此可见，北京市的各月平均气温与5cm的平均地温呈正相关，而且相关极为密切。,第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析,2. 顺序（等级）相关系数（rs）计算公式 顺序相关不但适用于数量资料的相关分析，而且适用于质的资料。表示两个要素顺序间直线相关程度和方向的系数，称为顺序相关系数。当使用两个要素间的数值计算相关系数不方便时，可用顺序相关系数的计算公式来求得。 例2：现仍以北京市各月平均气温与5cm平均地温为例，列成表52说明其计算过程。首先将表中两个要

5、素的观测值按大小顺序排列起来，最大值排为1号，依次类推。将两个要素的顺序号相减，即为d，将其平方求和并带入上面公式，即可得到两者的顺序相关系数rs。,第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析,第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析,（二）简单非线性相关程度的度量 表示简单非线性相关程度的统计量，通常用相关指数Ryx来度量。相关指数的性质如下： （1）相关指数的分布范围介于0到1之间； （2）相关指数的数值越大，两个要素间的曲线相关程度越密切。 （3）相关指数必大于或至少等于用同一批资料所求得的相关系数的绝对值。,第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析,（三）多要素相关与相关矩阵 对于

6、多个地理要素，则可计算出各要素两两之间的相关系数，并构成相关矩阵。 例3：现给出世界上自然植被的生产量与水热资源的原始地理数据（表53），利用相关系数公式得到其相关矩阵，形式如下所示：,第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析,三、相关系数的显著性检验 为了判定我们所计算出来的相关系数是否有意义，通常还要进一步对相关系数作显著性检验。 为了使用上方面，前人已经制出了相关系数检验表（附录二）。其中n表示所使用资料的个数（自由度f为n-2），为信度。 对计算出的相关系数进行显著性检验证明要素间相关程度是显著的之后，就可以对其进行进一步的回归分析了。,第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析 2

7、地理要素间的回归分析,一、地理回归分析的意义和作用 地理系统各要素之间的相互关系，可通过大量的观测、试验或实验取得一定的地理数据，然后用数理统计的方法，寻找出隐藏在随机性后面的统计规律，而用回归方程来表达。 地理回归分析主要是研究地理要素之间联系的数学表达式，有自变量与因变量之分，从而可由自变量的取值来预测、延长或插补和控制因变量的取值，所以它有地理预测的性质。 地理回归分析的主要内容包括： 1. 由一组地理数据确定这些要素间的定量数学表达式，即回归模型； 2. 利用回归模型，根据自变量的值来预测或控制因变量的取值。,第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析,二、一元地理回归模型的建立 一元

8、地理回归是要解决两个要素间的定量关系。由于两个要素之间的数量关系类型的差别，一元地理回归包括线性回归模型和非线性回归模型分述如下： （一）一元线性地理回归模型的建立 假设有两个要素（变量）x和y。x为自变量，y为因变量。x可以是降水量、蒸发量、土壤中的有机质含量等；y可以是河流径流量、土壤含水量等。假定一元线性模型结构为：yi =A+ Bxi+i 式中，A、B为待定参数，i=1,2,.,n，而（xi，yi）为n组观测数据，i为随机变量。参数A、B一般总是未知的，需根据观测值采用最小二乘法来估计。,第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析,设a和b分别为参数A和B的最小二乘估计值，于是便得到了

9、一元线性回归模型为 上式代表x和y之间关系的最佳拟和直线，通常称为回归直线。它满足y的实际观测值与回归值之间的误差平方和最小。这就是最小二乘法。 1. 参数a和b的最小二乘估计 根据最小二乘原理，可得a、b的计算公式如下：,第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析,2. 一元线性地理回归模型的具体建立方法与步骤 建立一元线性地理回归模型，就是用已有的地理数据来确定a和b的值。现仍以北京市各月平均气温x与5cm平均地温y为例，建立一元线性地理回归模型的过程如下： （1）将表中的各项数据代入相应的计算公式，得到a、b的数值。 （2）当参数a与b求出后，便可得出一元线性地理回归模型如下：,第五章

10、地理系统要素间的相关分析与回归分析,3. 一元线性地理回归模型的效果检验 当一元线性地理回归模型求出来以后，它的效果如何，它所揭示的地理规律性强不强，用它来进行地理预测精度如何？所有这些问题都需要进一步作出分析。 （1）回归模型估计的误差 由线性回归模型所得到的y的估计值往往与实测值y不完全一致，它们之间的误差称为估计误差，以标准差的形式表示为 在实际地理问题中，只要比较S与允许的偏差即可。,第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析,（2）回归模型的显著性检验 观测值yi与其平均值y的差异可用离差平方和来表示，记为S总。它又可以进行如下的分解： 上式右侧的第一项是所有观测点yi与回归值的残差

11、平方和，表示除了x对y的线性影响以外的一切因素对y的变异影响，故称为剩余平方和，记作Q；第二项反映了在y的总偏差中，由x与y的线性关系引起的y的变化分布，故称为回归平方和，记作U。故有：S总U+Q。,第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析,一个回归效果的好坏取决于U在总离差平方和中的比例或者U与Q的比值。若取前者则有： 从U与Q比值的大小来考虑，可利用如下的F检验方法。 根据前人的研究，统计量FU/(Q/(n-2)符合第一自由度为1，第二自由度为n-2的F分布，根据前面学习的F检验方法，即可对回归模型的显著性进行检验。,第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析,（二）一元非线性地理回归模

12、型的建立 在许多实际地理问题中，有时两个要素之间的关系并不是线性关系，而是某种非线性关系，这时我们选择适当的类型曲线比配直线更符合地理实际情况。例如：我国武夷山南坡地形高度与年降水量之间的关系，玉米产量与耗水量之间的关系等等。 对于这一类地理问题，首先需要选配曲线，确定曲线的类型，然后再化曲线回归模型为直线回归模型处理。,第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析,1. 选配曲线的基本方法根据理论分析、过去的经验或观测数据的分布趋势与特点，来确定两个要素之间的曲线类型及其函数形式，从而求非线性地理回归模型的过程及其方法，叫做曲线选配。 一般是先通过变量变化，把非线性函数关系化为线性关系，再采用

13、线性回归的方法确定参数。当曲线的函数类型确定后，下一步就是求函数中的参数a和b。确定参数的办法仍然是最小二乘法。,第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析,2. 地理上常见的非线性回归模型的建立方法 在地理问题上，较常见的曲线类型有：幂函数型、指数函数型、对数函数型等。下面说明不同类型的非线性地理回归模型的建立方法与步骤。 （1）幂函数型两个地理要素之间的幂函数表达式为y=axb 对上式两边取常用对数或自然对数，得 lny = lna + blnx 令Y=lny，A=lna，X=lnx，则上式为 Y=A+bX 这样就将曲线模型转化成线性模型了。,第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析,例

14、如：长白山北麓熔岩台地地貌形态的变化，见表56，即呈幂函数曲线型。设x表示各地点距白头山天池火口壁的距离（km），y为熔岩台地各地点的海拔高度（m）。幂函数回归模型和拟和图如图54所示。,第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析,（2）指数函数型 两个地理要素之间的指数函数表达式为 y=aebx或y=ae-bx，y=abx 然后对上式两边取常用对数或自然对数，则得 lny=lna+(lnb)x 令Y=lny，Alna，B=lnb则上式为 YABx 这样指数函数模型就转化成线性模型了。,第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析,例如：长白山北麓地形高度对年降水量的影响，即按指数规律递增，见表

15、57和图55所示。由图中模型可知，长白山北坡的年降水量是按指数规律增加的，其相关指数达0.9992。,第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析,（3）对数函数型 两个地理要素之间的对数函数关系表达式为 y=a+blnx 令Xlnx，上式可直接转化为直线方程如下： Y=a+bX 例如：当土壤湿度为最大田间持水量的5060，雨强为1.02.0 mm/min时，淋溶和退化黑钙土区的地形坡度对径流系数的影响，即符合对数规律。见表58和图56。径流系数随地形坡度的增加按对数律递增，相关指数达0.9986。当地形坡度为零度时，该区域径流系数为0.45；当地形坡度平均每增加1度时，该区径流系数平均增加0.

16、08。,第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析,图表说明如下：,第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析,3. 一元非线性回归模型的效果检验 在选配曲线的回归过程中，首先遇到的问题就是曲线类型的选择。因为曲线类型选择恰当，不仅对揭示出要素间的内在规律具有重要意义，而且对于减少剩余误差、提高回归模型的效果更具有实际意义。否则，其效果往往不能令人满意，甚至会歪曲要素间的内在规律性。 那么，怎样衡量曲线回归模型的好坏呢？在衡量一元线性回归模型的效果时，我们采用了相关系数的平方等于回归平方和与总平方和之比，即 或用剩余平方和来表示，则为 在选配曲线的过程中，要求所配曲线与地理数据拟和较好，可利用

17、上面右式定义的量来衡量所配曲线效果的好坏，记作R2，称为相关指数。,对于指数曲线 ，令 , 可以将其转化为直线形式： ， 其中， ； 对于对数曲线 ，令 ， ，可以将其转化为直线形式： ； 对于幂函数曲线 ，令 ， ，可以将其转化为直线形式： 其中， ；,小结：非线性关系线性化的几种情况,对于双曲线 ，令 ，转化为直线形式： ； 对于S型曲线 ，可 转化为直线形式： ； 对于幂乘积 ，只要令 ，就可以将其转化为线性形式 其中， ；,对于对数函数和 只要令 ，就可以将其化为线性形式 例:表5.2.1给出了某地区林地景观斑块面积（area）与周长（perimeter）的数据。下面我们建立林地景观斑

18、块面积A与周长P之间的非线性回归模型 。,表5.2.1 某地区各个林地景观斑块面积（m2）与周长（m）,解:（1）作变量替换，令： ， ，将表3.2.1中的原始数据进行对数变换，变换后得到的各新变量对应的观测数据如表3.2.2所示。,表3.2.2 经对数变换后的数据,（2） 以x为横坐标、y为纵坐标，在平面直角坐标系中作出散点图。很明显，y与x呈线性关系。,图3.2.2 林地景观斑块面积（A）与周长（P） 之间的双对数关系,（3）根据所得表中的数据，运用建立线性回归模型的方法，建立y与x之间的线性回归模型，得到 对应于（5.2.19）式，x与y的相关系数高 达 =0.966 5。 （4）将（5

19、.2.19）还原成双对数曲线，即,（5.2.19）,（5.2.20）,第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析,相关指数越大，表明选配的回归曲线效果越好，剩余标准差越小，其回归模型的预测精度就越高。现以表58中数据为例，计算出剩余平方和与总平方和如表59所示。其相关指数为 R2=1-0.0001/0.0298=1-0.0034=0.997 剩余标准差为 由此可见，地形坡度对径流系数影响的模型拟和效果很好，而且剩余标准差也很小，因此模型的预测精度也很高。,第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析,三、多元地理回归模型的建立 一个地理系统的基本特点之一，是它具有多要素性，而且各要素之间相互联系

20、、相互影响。当研究某一个要素y与其他要素x1,x2,x3,.,xn之间的定量关系时，就需要用多元回归分析方法。这里同样也有线性和非线性之分。下面分别介绍线性与非线性多元回归模型的建立方法。 （一）多要素线性地理回归模型的建立 1. 多要素线性地理回归模型的建立方法 一般设其数学结构模型为 y=0+1x 1+2x 2+3x 3+.+kx k+ 采用最小二乘法，得到回归模型为 y=b0+b1x1+b2x2+.+bkxk（bk为偏回归系数）,第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析,偏回归系数的意义表明：当其他要素都固定时，该自变量每变化一个单位而使y平均改变的数值。偏回归系数的确定同样是依据最小

21、二乘法原理，即使 达到最小，式中为观测数据的序号，将上式对b0,b1,.,bk求偏倒数，并令其都等于零，即,第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析,经展开整理后得,第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析,以上方程组称为正规方程组，由其系数构成得矩阵记作AXX，即 上述方程组可写成Ab=B的形式，其中B=XY。解这个方程组即可得到各个变量的偏回归系数。 将求出的偏回归系数和常数项代入多元线性数学模型中，即可得到k元线性地理回归模型。,第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析,例如：某一国家某一经济区内木材生产指数y（以1955年为100）受该区森林蓄积量指数x1，木材价格指数x2和运输

22、距离指数x3的影响，如表510所示。 可利用Doolittle法或利用Excel等软件工具计算出其多元线性回归模型的偏回归系数及常数项。,第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析,2. 多元线性回归模型的显著性检验 在多元线性回归问题中，同一元线性回归一样也需要对回归模型进行显著性检验。如果经过检验是显著的，则说明建立的回归模型是有用的，否则就没有什么实际意义。 在多元线性回归分析中，同样也存在回归平方和U与剩余平方和Q，两者的自由度分别k和n-k-1，于是剩余标准差为Ssqrt(Q/(n-k-1)。 同样可对整个回归模型进行显著性检验，通常采用F检验法。F值为回归方差和剩余方差之比，即 根

23、据检验的结果，在F值的右上角可标注星号。 例如：前面例子中的检验结果就表明多元线性关系具有高度显著性。,第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析,（二）多要素非线性地理回归模型的建立 在地理系统中，除部分问题是属线性关系外，还有大部分问题属于非线性关系。下面扼要地介绍两种多元非线性地理回归模型的建立方法。 1.多项式回归模型的建立方法 在地理系统中，有些曲线不能化为直线处理，如二次多项式就不能化为线性模型。一般的处理方法是将它化为二元线性回归模型，然后按照多元线性回归分析方法处理。这种方法可以处理大部分一元非线性回归模型，因为任何函数形式都可以在较小区间内用多项式逐步逼近。 当多项式回归的自

24、变量取两次幂时，便是二次多项式，即抛物线。其数学模型为y=b0+b1x+b2x2，令x1=x,x2=x2，则模型变为y=b0+b1x1+b2x2。可用二元线性回归的方法确定模型参数。,第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析,例如，依据黑龙江省的实测资料（表514），土温与地积温系数k之间的关系，便可用多项式回归化成线性回归来处理。 将表514中的数据点绘成散点图57可知，这个问题可用抛物线来近似。用Excel等软件及手动计算均可得到具体的二次多项式模型。,第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析,若多项式回归的自变量为三次幂时，则为三次多项式，其数学表达式为 y=b0+b1x+b2x2+

25、b3x3 例如，日本19311957年粮食生产指数，即可用三次多项式回归来拟合。日本粮食生产指数模型和拟合情况，见图59所示。,第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析,2.幂函数乘积模型的建立方法 这是一种用途广泛，计算方便，物理意义清楚，要素间关系明确的数学模型。这种方法的基本思路是把某一要素y与其他要素xi之间的函数关系写成幂函数的连乘积形式，即 y=k*x1a*x2b*x3c*x4d. 式中，k、a、b、c、d为待定地理参数。建立幂函数乘积模型的模型，也就是确定参数的过程。教材讲了一种办法，也可直接将幂函数乘积模型变换为多元线性回归模型显然更为简便。 可对模型两侧同时取自然对数，对变

26、换后的多元线性回归模型利用前面讲过的方法，确定各个参数，然后再根据变换关系将其重新转换为幂函数乘积模型。,第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析,例如：前苏联19651974年钢产量（y）与焦炭产量（r1）、生铁产量（r2）和发电量（r3）之间的关系，便可用幂函数乘积模型来表达。原始数据如表516所示。 按照书上的计算办法，可得到前苏联钢产量与焦炭产量、生铁产量和发电量之间关系可用下式来表达： y=1.637x10.0037x20.9779x30.0018 其拟合效果良好，影响钢产量最大因素是生铁产量，其次为焦炭产量。,3 趋势面分析方法,本节主要内容：,趋势面分析的一般原理 趋势面模型的

27、适度检验 趋势面分析应用实例,一、趋势面分析的一般原理,趋势面分析，是利用数学曲面模拟地理系统要素在空间上的分布及变化趋势的一种数学方法。 它实质上是通过回归分析原理，运用最小二乘法拟合一个二维非线性函数，模拟地理要素在空间上的分布规律，展示地理要素在地域空间上的变化趋势。 趋势面分析方法常常被用来模拟资源、环境、人口及经济要素在空间上的分布规律，它是在空间分析方面具有重要的应用价值,趋势面是一种抽象的数学曲面，它抽象并过滤掉了一些局域随机因素的影响，使地理要素的空间分布规律明显化。 因此，通常把实际的地理曲面分解为趋势面和剩余面两部分，前者反映地理要素的宏观分布规律，属于确定性因素作用的结果

28、；而后者则对应于微观局域，是随机因素影响的结果。 趋势面分析的一个基本要求，就是所选择的趋势面模型应该是剩余值最小，而趋势值最大，这样拟合度精度才能达到足够的准确性。空间趋势面分析，正是从地理要素分布的实际数据中分解出趋势值和剩余值，从而揭示地理要素空间分布的趋势与规律。 地理要素的空间分布曲面，大多都是非线性的，寻找这些非线性曲面的数学方程式比较困难，通常可采取用多项式的形式进行拟合。,（一）建立趋势面模型,设某地理要素的实际观测数据为 ， 趋势值拟合值为 ，则有 式中：i即为剩余值（残差值）。 显然，当（xi，yi）在空间上变动时，（5.3.1）式就刻画了地理要素的实际分布曲面、趋势面和剩

29、余面之间的互动关系。,（5.3.1）,趋势面分析的核心：从实际观测值出发推算趋势面，一般采用回归分析方法，使得残差平方和趋于最小，即：,这就是在最小二乘法意义下的趋势曲面拟合。,用来计算趋势面的数学方程式有多项式函数和傅立叶级数，其中最为常用的是多项式函数形式。因为任何一个函数都可以在一个适当的范围内用多项式来逼近，而且调整多项式的次数，可使所求的回归方程适合实际问题的需要。,多项式趋势面的形式 ： 一次趋势面模型： 二次趋势面模型： 三次趋势面模型：,（5.3.2）,（5.3. 3）,（5.3.4）,（二） 估计趋势面模型的参数,实质：根据观测值zi，xi，yi（i=1,2,n）确定多项式的

30、系数a0，a1，ap，使残差平方和最小。 过程： 将多项式回归（非线性模型）模型转化为多元线性回归模型。 令 则,求Q对a0，a1，ap的偏导数，并令其等于0，得正规方程组：(式中 为个p+I个未知量）,其残差平方和为,（5.3.5）,（5.3.6）,用矩阵形式表示,则（5.3.6）式变为,（5.3.7）, 对于二元二次多项式有 其正规方程组为,由式（5.3. 7）求解，可得：,（5.3. 8）,二、 趋势面模型的适度检验,趋势面拟合适度的R2检验 趋势面拟合适度的显著性F检验 趋势面适度的逐次检验,趋势面分析拟合程度与回归模型的效果直接相关，因此，对趋势面分析进行适度性检验是一个关系到趋势面

31、能否在实际研究中加以应用的关键问题，也是趋势面分析中不可缺少的重要环节。 这可以通过以下检验来完成：,（一）趋势面拟合适度的R2检验,趋势面与实际面的拟合度系数R2是测定回归模型拟合优度的重要指标。 一般用变量z的总离差平方和中回归平方和所占的比重表示回归模型的拟合优度。 总离差平方和等于回归平方和与剩余平方和之和。即,越大（或 越小）就表示因变量与自变量的关系越密切，回归的规律性越强、效果越好。 记 越大，趋势面的拟合度就越高。,为剩余平方和，它表示随机因素对的离差的影响， 为回归平方和，它表示个自变量对因变量的离差的总影响。,（5.3. 9）,（二）趋势面拟合适度的显著性F检验趋势,趋势面适度的F检验，是对趋势面回归模型整体的显著性检验。 方法：是利用变量z的总离差平方和中剩余平方和与回归平方和的比值，确定变量z与自变量x、y之间的回归关系是否显著。即 结果分析：在显著性水平下，查F分布表得F，若计算的F值大于临界值F，则认为趋势面方程显著；反之则不显著。,（5.3.10）,（三）趋势面适度的逐次检验,方法： (1)求出较高次多项式方程的回归平方和与较低次多项式方程的回归平方和之差， (2)将此差除以回归平方和的自由度之差，得出