2.3.2事件的独立性

1、一般地 , 若 P ( B ) 0 ,则事件 B 已发生的条件下 A 发生的条件概率是,( P ( B ) 0 ),利用条件概率 ,我们有,知识回顾 :,P ( A B ) - - - A 与 B 同时发生的概率 ;,P ( B ) - - - B 发生的概率 ;,P ( A | B ) - - - 事件 B 已发生的条件下 A 发生的条件概率., 问题 1 投掷一枚质地均匀的硬币两次 ,在第一次出现正面向上的条件下,第二次出现正面向上的概率是多少 ?,思考 : 第一次出现正面向上对第二次出现正面向上的概率有怎样的影响 ?, 第一次出现正面向上,第二次出现正面向上的概率为, 第一次出现正面向下

2、,第二次出现正面向上的概率为,记 B = “第一次正面向上”, A = “第二次正面向上”,回顾反思,P ( A | B ) = P ( A ) 说明了什么 ?,事件 B 的发生与否不影响事件 A 发生的概率 .,一般地 ,若事件 A , B 满足 P ( A | B ) = P ( A ) , 则称事件 A , B 独立., 若事件 B 的发生与否不影响事件 A 发生的概率 ,则称事件 A , B 是互相独立事件 . ,当 A , B 独立时 , 若 P ( A ) 0 , 因为,即 B , A 也独立,A , B 相互独立,A , B 独立 B , A 独立,反之,若,且 P ( B )

3、0 ,即 A , B 相互独立 .,若认为任何事件与必然事件独立,任何事件与不可能事件独立, 那么,A , B 独立的充要条件为 P ( A B ) = P( A ) P( B ) .,P ( A | B ) = P ( A ) P ( A B ) = P( A ) P( B ),一般地 ,若事件 A , B 满足 P ( A | B ) = P ( A ) , 则称事件 A , B 独立.,回顾小结 :,P ( A | B ) = P ( A ) P ( B | A ) = P ( B ),( A 与 B 独立是相互的 . ),若认为任何事件与必然事件独立,任何事件与不可能事件独立, 那么,

4、A , B 独立的充要条件为 P ( A B ) = P( A ) P( B ) .,P ( A | B ) = P ( A ) P ( A B ) = P( A ) P( B ),一般地 ,若 A 1 , A 2 , , A n 两两相互独立 , A 1 A 2 A n 表示 A 1 , A 2 , , A n 这 n 个事件同时发生,则,P ( A 1 A 2 A n ) = P ( A 1 ) P ( A 2 ) P( A n ) .,n 个相互独立事件同时发生的概率等于各个事件发生的概率的乘积 .,A 与 B 相互独立 P ( A B ) = P( A ) P( B ),证,= P (

5、 A ) P ( A ) P ( B ),= P ( A ) 1 P ( B ) ,条件分析 :,例 2 如图,用 X , Y , Z 三类不同的元件连接成系统 N .当元件 X , Y , Z 都正常工作时,系统 N 正常工作.已知元件 X , Y , Z 正常工作的概率依次为 0 . 80 , 0 . 90 , 0 . 90 ,求系统 N 正常工作的概率P.,解 将元件 X , Y , Z 正常工作分别记为事件 A , B , C , 则系统 N 正常工作为事件 A B C .,因为事件 A , B , C 两两相互独立,所以事件 A B 与 C 相互独立,P ( A B C ) = P

6、( A B ) C ,= P ( A B ) P ( C ),= P ( A ) P ( B ) P ( C ),= 0 . 80 0 . 90 0 . 90,= 0 . 648 .,即系统 N 正常工作的概率为0 . 648 .,变如图,用 X , Y , Z 三类不同的元件连接成系统 N .当元件 X , Y , Z 都正常工作时,系统 N 正常工作.已知元件 X , Y , Z 正常工作的概率依次为 0 . 80, 0 . 90 , 0 . 90 ,求系统 N 正常工作的概率 P.,解 将元件 X , Y , Z 正常工作分别记为事件 A , B , C , 则系统 N 正常工作为事件

7、A ( B + C ) .,因为事件 A , B , C 两两相互独立,所以事件 A 与 B + C 相互独立,P A ( B + C ) = P ( A ) P ( B + C ),= P ( A ) P ( B ) +P ( C ) ,?,B , C 不互斥,= 0 . 8 ( 0 .1 0 .9 + 0 .9 0 .1 + 0 .9 0 .9 ),= 0 . 8 0 .99 = 0 . 792 .,例 3 加工某一零件共需两道工序,若第一二道工序的不合格率分别为 3和 5,假定各道工序是互不影响的,问:加工出来的零件是不合格品的概率是多少?,解 设 A 1 , A 2 分别表示事件第一二

8、道工序出现不合格品, A 表示事件“加工出来的零件是不合格品”.,= 0 . 03 + 0 . 97 0 . 05,= 0 . 0785 .,思考:如果 A , B 相互独立,1 P(A)P(B)表示什么?,= 1 P (A) 1 P (B) ,0 . 4 P (B) = 0 . 6 1 P (B) ,P ( B ) = 0 . 6 .,0 . 6,5 . 甲、乙、丙三台机器是否需要维修相互之间没有影响.在一小时内甲、乙、丙三台机器需要维修的概率分别是 0 . 1 , 0 . 2 , 0 . 3 ,则一小时 有机器需要维修的概率是 _ .,记 “甲、乙、丙三台机器需要维修 ”分别为 A , B

9、 , C , “一小时内没有机器需要维修”为事件 N .,= 1 0 . 9 0 . 8 0 . 7 = 0 . 496 .,6 . 甲乙两射击运动员分别对一目标射击 1 次, 甲射中的概率为 0 . 8 ,乙射中的概率为 0 . 9 ,求下列事件 A , B , C , D 的概率.,A = “ 两人都射中”, B = “ 两人恰有 1 人射中”, C = “ 两人中至少有 1 人射中”, D = “ 两人中至多有 1 人射中” .,解 记 “ 甲射击一次,击中目标”为事件 M , “ 乙射击一次,击中目标”为事件 N .,P (A) = P (MN),= 0 . 72 ,= 0 . 26 ,= 0 . 98 ,= 0 . 28 ,= 1 P ( A ) .,回顾反思 ?,5 . 已知电路中有 4 个开关,每个开关独立工作,且闭合的概率都是 1 / 2 ,求灯亮的概率 .,解 记“开关 A , B , C , D 闭合”分别为事件 A , B , C , D , “灯亮”为事件 N .,回顾反思 ?,6 . 某条街道上有 4 个安置了红绿灯的路口,各路口出现什么颜色的灯互相独立, 红绿两种颜色的灯显示的时间之比为 1 : 2 .今有一汽车沿该条街道行驶,若以 X 表示该汽车首次遇到红灯之前已通过路口的次数,求