二一般形式的柯西不等式

1、二一般形式的柯西不等式,学习目标 1.理解三维形式的柯西不等式，在此基础上，过渡到柯西不等式的一般形式. 2.会用三维形式及一般形式的柯西不等式证明有关不等式和求函数的最值.,1,预习导学 挑战自我，点点落实,2,课堂讲义 重点难点，个个击破,3,当堂检测 当堂训练，体验成功,4,分层训练 解疑纠偏，训练检测,知识链接 1.在空间向量中，有|，据此如何推导三维的柯西不等式的代数形式. 答案设(a1，a2，a3)，(b1，b2，b3)，则a1b1a2b2a3b3代入向量式得：,当且仅当共线时，即0，或存在一个数k，使得aikbi(i1,2,3)时，等号成立.,2.在一般形式的柯西不等式中，等号成

2、立的条件记为aikbi(i1,2,3，n)，可以吗？ 答案不可以.不仅仅当aikbi(i1,2，n)时，等号成立，当bi0(i1,2，n)时等号也成立.,预习导引,(a1b1,a2b2a3b3)2,b1b2b30或存在一个数k，使得a1,kb1，a2kb2，a3kb3,(a1b1a2b2a3b3,anbn)2,bi0(i1,2,3，n)或存在一个数k，使,得aikbi(i1,2,3，n),要点一利用柯西不等式证明不等式,a，b，c互不相等， 等号不可能成立，从而原不等式成立.,规律方法有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件，但是我们只要改变一下多项式的形态结构，就可以达到利用柯西不等式的目的.

3、,要点二利用三维柯西不等式求函数的最值,规律方法利用柯西不等式，可以方便地解决一些函数的最大值或最小值问题.通过巧拆常数、重新排序、改变结构、添项等技巧，变形为能利用柯西不等式的形式.,33(abc)318.,要点三一般形式柯西不等式的应用,规律方法柯西不等式的应用：柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，但我们在使用柯西不等式解决问题时，往往不能直接应用，需要先对式子的形式进行变化，拼凑出与柯西不等式相似的结构，继而达到使用柯西不等式的目的.在应用柯西不等式求最值时，不但要注意等号成立的条件，而且要善于构造，技巧如下： 巧拆常数； 重新安排某些项的次序； 结构的改

4、变从而达到使用柯西不等式； 添项.,证明根据柯西不等式，有 (a2b2c2d2)(12121212)(abcd)21，,1,2,3,4,1.已知x3y5z6，则x2y2z2的最小值为(),解析x3y5z6，(x2y2z2)(123252),C,1,2,3,4,1,2,3,4,答案C,1,2,3,4,3.已知实数a，b，c，d，e满足abcde8，a2b2c2 d2e216，则e的取值范围为_. 解析4(a2b2c2d2)(1111)(a2b2c2d2)(abcd)2， 即4(16e2)(8e)2，即644e26416ee2.,1,2,3,4,(3x2yz)2,1,2,3,4,课堂小结,2.要求

5、axbyz的最大值，利用柯西不等式(axbyz)2(a2b212)(x2y2z2)的形式，再结合已知条件进行配凑，是常见的变形技巧.对于许多不等式问题，用柯西不等式来解往往是简明的，正确理解柯西不等式，掌握它的结构特点，就能更灵活地应用它.,1,2,3,4,一、基础达标,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案B,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,得11(a1x1a2x2anxn)2， a1x1a2x2anxn1. 所求的最大值为1. 答案A

6、,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,A.最大值9 B.最小值9 C.最大值3 D.最小值3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案B,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,D,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,5.设x，y，zR，若x2y2z24，则x2y2z的最小值为 _时，(x，y，z)_. 解析(x2y2z)2(x2y2z2)12(2)2224936，,6,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,6.已知a，b，cR，且2a2bc8，则(a1)2(b2)2(c 3)2的

7、最小值是_. 解析由柯西不等式得：(441)(a1)2(b2)2(c3)22(a1)2(b2)c32， 9(a1)2(b2)2(c3)2(2a2bc1)2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.已知实数x，y，z满足xyz2，求2x23y2z2的最小值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,二、能力提升,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案C,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,10.设x，y，zR，若(x1)2(y2)2z24，则3

8、xy2z的取值范围是_.又3xy2z取最小值时，x的值为_. 解析(x1)2(y2)2z232(1)2(2)2(3x3y22z)2,414(3xy2z5)2，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,11.已知实数a，b，c，d满足abcd3，a22b23c26d25，试求a的最值. 解由柯西不等式得，有,即2b23c26d2(bcd)2. 由条件可得，5a2(3a)2，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,证明a1an1(a1a2)(a2a3)(anan1)， (a1a2)(a2a3)(anan1),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,n21.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,三、探究与创新,13.已知