半导体物理习题课

1、3.1 在硅中，导带极小值附近的电子能量可以写成:,式中m2m1 (1)分别画出能量E随着kx和kz变化的示意图; (2)画出k空间等能面的示意图(要求分别画出等能面与kx-ky平面以及kx-kz平面的交线).,解： (1)分别令ky、kz和kx、ky为常数不变，则Ekx与Ekz的关系如下图抛物线所示：,因为m2m1,所以Ekz的抛物线开口更大。,(2)设E(k)为固定值E0， 分别令kz=0, ky=0则得到以下和两个式子：,由以上两个式子，可得等能面与kx-ky平面以及kx-kz平面的交线如下图所示：,0,kx,ky,半径为 的圆,kz,kx,长轴位于kz,短轴位于kx的椭圆，因为m2m1

2、,3.2设晶格常数为a的一维晶体，导带极小值附近的能量EC(k)为：,价带极大值附近的能量Ev(k)为：,式中m为电子质量， ，a=3.14。试求： (1)禁带宽度； (2)导带底电子的有效质量； (3)价带顶空穴的有效质量。,解： (1)禁带宽度Eg=导带极小值ECmin-价带极大值EVmax,因此要先求出ECmin、EVmax,令：,得到：,所以有：,令：,得到：,所以有：,于是：,(2)按照电子有效质量的定义：,又：,所以，导带底电子的有效质量为：,(3)按照空穴有效质量的定义：,3.3 证明：能量为 的电子，在磁场 中的回旋频率为 .,证明: 电子的有效质量为：,设电子垂直于磁场 的速

3、度为 ，回旋频率为 ，半径为r，则电子的 线加速度为：,所以有：,3.7在一维情况下,(1)利用周期性条件证明：表示独立状态的k值数目等于晶体的晶 胞数；(2)设电子的能量为 ,并考虑到电子的自旋可以有两种不同的取向. 试证明在单位长度的晶体中单位能量间隔的状态数为:,解：,(1)周期性边界条件： 以晶体的边长为周期，设晶体边长为L，晶格周期为a，电子波函数为,根据布洛赫定理： ，且,根据边界条件： ，即：,设晶体的原胞数为N个：则L=Na,所以有：,，,，,其中n为整数,独立的k值可限制在一个布里渊区中，因此：,即：,，,因此n的取值只能有N个，即独立的k值为N个.,(2)我们知道一个倒原胞

4、体积内有N个独立状态,考虑自旋,应为2N个独立状态，因此一维空间中单位长度上的状态数为：,，,又知：,因此在能量E E+dE范围，长度为dk内的状态数为：,所以有：,因此单位长度晶体中，单位能量间隔的状态数为：,3.9 设硅晶体中电子的纵向有效质量为ml，横向有效质量为mt, (1)如果外加电场沿100方向，试分别写出在100和001方向能谷中电子的加速度； (2)如果外加电场沿110方向，试求出100方向能谷中电子的加速度与电场之间的夹角。,解：,100,y 010,z 001,(1)在100能谷中,x,所以有：,即，加速度大小为 ，方向为 方向；,同理在001能谷中，,所以有：,即，加速度

5、大小为 ，方向为 方向.,(2)当电场为110方向时，设：,即，,则100能谷中各电子：,所以有：,于是：,又：,因为硅中,ml=0.98m、mt=0.19m, 所以经计算得=146 .,4.2 T = 40K 时该掺杂半导体处于杂质弱电离区，因此有：,已知：,电离能：,4.3 室温下硼杂质处于饱和电离区，而且 , 本征激发可以忽略。,空穴浓度：,电子浓度：,（1）,（2）,4.4 室温下认为锗中施主已经饱和电离，但是,所以，本征激发不可以忽略！,所以，求关于空穴浓度 的一元二次方程，取有意义解即可。,空穴浓度：,电子浓度：,4.6 工作温度的上限要确保，高温导致的本征激发载流子仍然占少数，,

6、这要求：,(1) 硅中掺入 的砷原子，,符合条件，保证本征载流子占少数。,(2) 锗中掺入 的锑原子，,不符合条件，本征载流子已经多于施主提供的载流子。,4.7 施、受主杂质均饱和电离，,施主首先补偿受主，补偿后提供的电子浓度为：,本征硅在室温下本征载流子浓度为：,空穴浓度：,电子浓度：,4.9 室温下费米能级和施主能级重合，我们可以判断其为N型半导体；室温下，一般认为本征激发产生的载流子不占主导，因此：,电中性条件：,已电离施主：,因此：,电离施主：,中性施主：,电离受主：,中性受主：,5.1 电子的平均动能为3kT/2，若有效质量为0.2m，试求室温时电子热运动的方均根速度。设电子的迁移率

7、为1000cm2/Vs，算出102V/cm电场下的漂移速度，并把它与上面的结果作比较。,(2) 电子的漂移速度：,解：(1) 电子的平均动能的表达式：,可见，当电场为100 V/cm时，,5.2 300K时，Ge的本征电阻率为47cm，如电子和空穴迁移率分别为3900cm2/Vs和1900cm2/Vs ，试求本征Ge的载流子浓度。,解：本征条件下,电阻率,本征载流子浓度,5.3 设Si的电子和空穴迁移率分别为1350cm2/Vs和480cm2/Vs 。试计算本征Si的室温电导率，当掺入亿分之一(10-8)的As以后，如果杂质全部电离，电导率应是多少？它比本Si的电导率增大了多少倍？,解：(1)

8、,本征Si的载流子浓度为：,(2) Si的晶格常数 a=5.43，晶胞的体积为a3。 每个晶胞中的原子数为,原子密度为：,硅中掺入As起施主作用，施主浓度为：,若杂质全部电离，则有：,电导率,可见掺杂可以极大地改变半导体材料的导电性能。,5.4 在室温下为了把电阻率为0.02cm的N型锗片变成： (1) 电阻率为0.01 cm的N型锗片； (2) 电阻率为0.02 cm的P型锗片，各需要掺入何种类型的杂质，其浓度是多少？ 提示：可用图5.7(b)查出电阻率与杂质浓度的对应关系。,解：(1)从图5.7可知电阻率与掺杂浓度的对应关系，对于N-Ge而言：,因此，若要使N-Ge的电阻率由r1变到r2，

9、需要再掺入施主杂质，浓度为：,(2)图5.7对于P-Ge而言，当r3=0.02cm，受主浓度为,因此，若要使r1=0.02cm N-Ge变为r2=0.02cm 的P-Ge，需要掺入受主杂质，其浓度为：,5.5 由于在一般的半导体中电子和空穴的迁移率不同，所以在电子和空穴数目恰好相等的本征半导体中不显示最高的电阻率。在这种情况下，最高的电阻率是本征半导体电阻率的多少倍？若mnmp，最高电阻率的半导体是N型还是P型？,解：电阻率为,f(n)有极小值，即电阻率r有极大值,本征半导体的电阻率为,若mnmp(大多数半导体)， 则有nni，即nnip。因此，这种半导体为P型半导体才可能得到最高电阻率。,5

10、.6 一个InAs样品，室温时的空穴浓度为电子浓度的9倍，试计算Hall系数，并指出样品的导电类型。在此问题中能否根据Hall系数的正负来判断导电类型？设室温时b=mn/mp=100，ni=1.11016cm-3(取Hall因子r=1)。,解：(1)由两种载流子Hall系数的公式可知：,由题意可知,(2)样品的导电类型为P型，因为pn。,(3)此问题中不能根据Hall系数的正负来判断导电类型，因为P型样品的Hall系数的符号是随温度变化而变化的。,5.7 对于P型样品，设T=T0时，霍尔系数R(T0)=0,电导率s(T0)=s0，试证明：,证明：由霍尔系数公式可知， 若R(T0)=0，则必有：

11、p=nb2。,由电中性条件p=Na+n及p=nb2 可得：Na=n(b2-1),b=mn/mp,b,5.8 某半导体样品中电子迁移率为1200cm2/Vs，空穴迁移率为400cm2/Vs，若测得霍尔系数为零，问这时流过样品的电流中空穴电流占的百分比是多少？,解：,由题意可知,霍尔系数,总电流密度,空穴电流密度占百分比为,7.1 用光照射N型半导体样品(小注入)。假设光被均匀地吸收，电子-空穴对的产生率为G，空穴的寿命为t。光照开始时，即t=0，Dp=0，试求出： 光照开始后任意时刻t的过剩空穴浓度Dp(t); 在光照下，达到稳定态时的过剩空穴浓度。,解： (1)非平衡少子(空穴)的连续性方程：

12、,(无漂移与扩散运动，且产生均匀),( t = 0，Dp(t) = 0 ),(2)达到稳定时，过剩空穴浓度将不再随时间变化，即：,7.2 施主浓度Nd=1015 cm-3的N型硅，由于光的照射产生了非平衡载流子Dn=Dp=1014 cm-3。试计算这种情况下准费米能级的位置，并与原来的费米能级作比较。,解：室温下，假设施主全部电离,即：Efn 在导带底之下约0.26 eV处，Efn与Ef 之差非常小，约为2.5 meV。,即：Efp 在价带顶之上约0.3 eV处，Efp与Ef 之差非常大，约为0.52 eV。,7.3 计算下列两种情况下的介电弛豫时间： 本征硅； 掺有1015 cm-3施主杂质

13、的硅(硅的相对介电常数为12)。,解：(1)由介电弛豫时间公式可知:,(本征硅),(N型掺杂半导体),(假设室温下施主杂质饱和电离),7.4 一个N型硅样品，mp=430cm2/Vs，空穴寿命为5ms，在它的一个平面形表面有稳定的空穴注入，过剩空穴浓度Dp=1013cm-3，试计算: 从这个表面扩散进入半导体内部的空穴电流密度; 在离表面多远处过剩空穴浓度等于1012cm-3？,解：(1)由稳态连续性方程可知：,Dp(0)为表面处过剩空穴浓度,表面向体内扩散引起的空穴电流密度为：,由爱因斯坦关系知：,(2) 设x=x0处，Dp(x0)=1012 cm-3,7.6 一个均匀的P型样品，左半部被光

14、照射，电子-空穴的产生率为G(G是与位置无关的常数)，试求出在整个样品中稳定电子浓度分别n(x),并画出曲线。设样品的长度很长和满足小注入条件。,解：两个区域内的稳态连续性方程分别为:,x=0处，载流子浓度及电流密度连续：,7.7 如图所示，一个很长的N型半导体样品，其中心附近长度为2a的范围内被光照射，假定光均匀地穿透样品，电子-空穴对的产生率为G(G为常数)。试求出小注入情况下样品中稳态少子分布。,解：三个区域内的稳态连续性方程分别为:,x=a处，载流子浓度及空穴流密度连续：,7.8 光照射如图所示的N型样品，假设光被均匀地吸收，电子-空穴对的产生率为G(小注入)。试在下述两种情况下求出稳

15、态的过剩空穴浓度分布 (1) 不考虑表面复合; (2) 在x=0的表面的表面复合速率为S。,解：(1)若无表面复合，则无扩散，稳态时：,为常量，空穴均匀分布。,(2)若x=0处有表面复合，将引起载流子的扩散，此时，稳态连续性方程为：,假设样品无穷大，则必有B=0,在x=0处，表面复合率=扩散流密度,7.9 估计上题(7.8题)中x=0的表面附近的电场；计算单位时间内，对应单位表面积离开表面三个扩散长度的体积内复合的空穴数。,解：(1)设表面附近的电场为E,在表面处电流密度为零。设电场沿x正向，则有：,电子流密度,空穴流密度,(x=0处),一般DpDn，因此电场方向由体内指向表面,(2)三个扩散

16、长度体积内复合的空穴数,7.10 已知半导体样品的复合中心能级和本征费米能级分别为Et和Ei，本征载流子浓度为ni，设tn=tp=t0是与样品中掺杂浓度无关的常数，试利用肖克莱-瑞德公式求出： (1)当非平衡载流子寿命取极大值时，电子浓度n0=？ (2)寿命的极大值tmax=？,解：(1)肖克莱-瑞德公式为,n0=ni时，t有极大值tmax。,(2) 寿命的极大值,7.11 已知N-Ge中存在能级Et在禁带下半部的复合中心，在饱和电离的温度范围内，实验上发现寿命t的变化规律是： ，试说明激活能DE的物理意义和利用上式确定Et的方法。,解：由肖克莱-瑞德公式，寿命t为,对于N-Ge，其Ef 永远

17、在Ei 之上，饱和电离时，n0为常数，并且,但要满足：,DE是指复合中心能级Et与价带顶Ev的能量间隙。亦即把空穴从复合中心激发到价带所需的最小能量(或者将电子从价带激发到复合中心能级所需要的最小能量)。如果我们测量lnt和1/T的关系曲线，则为一直线，其斜率为-DE/k。由此可确定DE，以Et的位置。,要满足：,因此，所在温度范围，不占优,7.13 一高阻N-Si样品，电子浓度n0=2.81012cm-3，另一低阻N-Si样品，电子浓度n0=1016cm-3。T=300K时测出它们的载流子寿命t和t”分别为1000ms和10ms。假设两个样品中起复合中心作用的杂质相同，且复合中心能级Et在禁

18、带上半部，试用肖克莱-瑞德公式求出Et的位置。,解：,对于N型样品，且Et 在Ei 之上，n0，n1p0，p1,即Et 在导带底 之下约0.3 eV处。,7.14 在P-Si中，存在一复合中心，小注入时，被复合中心俘获的电子发射回导带的过程和它与空穴复合的过程具有相同的几率，试估计这种复合中心的能级Et在禁带中的位置，并说明它能否成为有效的复合中心。,解：设复合中心对电子和空穴的俘获系数分别为cn和cp，复合中心向导带发射电子的几率为cn n1，复合中心对空穴的俘获率为cp p，依题意：,假设cn和cp相差不太大，则kT lncn/cp和kT具有相同的数量级，在室温下，硅的禁带宽度远大于kT，

19、所以复合中心能级Et的位置近似满足：,P型硅的费米能级Ef是靠近价带顶的，上式表明复合中心Et的位置是接近导带底的，因此它不是有效的复合中心。,9.1 对于金属-氧化物-半导体场效应晶体管。要利用半导体表面附近形成的强反型层作为电导沟道。以P型半导体为例，强反型层开始出现的条件是：表面处的电子浓度等于体内的空穴浓度。 （1）画出这种情况下的能带图； （2）证明：开始出现强反型层，表面势 为 这里 表示半导体内部本征费米能级 与费米能 级 之差。,解：（1）能带图：,（2）强反型层出现要求：半导体表面处的电子浓度等于体内的多子浓度。,9.2 一个均匀掺杂的P型半导体（图），受主浓度为Na, 相对

20、价电常数为 。 （1）利用耗尽层近似。求出表面空间电荷区中的电势场分布V(x)。 （2）证明：空间电荷面密度Qsp和空间电荷区宽度x0分别为,解:(1) 耗尽近似：认为空间电荷区静电荷为离化的施主或者受主 ，这里静电荷密度为：,由泊松方程：,(2) 表面势,得证,空间电荷的面密度：,9.3 设P型硅中受主浓度Na=1.5X1016 cm-3。试计算开始出现强反型层时的表面势和空间电荷区宽度。（硅的相对介电常数为12）。 解：在P型硅中,(1) 因为强反型，表面电子浓度等于体空穴浓度。,（2）空间电荷区宽度,9.4 对于施主浓度为Nd的N型半导体。试证明：开始出现强反型时，表面空间电荷区中恰好变

21、为本征半导体的位置与空间电荷区边界的距离为,证明:对于N型半导体，在耗尽层近似下（根据泊松方程）：,强反型,得证,9.5 一个P型半导体，在表面存在施主型表面态，他们均匀地分布在导带底和本征费米能级之间，表面态密度为Ns (cm-2eV-1)是常数，在表面态使半导体表面恰好为本征时，求出Ns与受主浓度Na之间的函数关系。,思路,表面恰好为本征半导体,电中性条件,10.1 室温下锗、硅和砷化镓的禁带宽度分别为0.67eV、1.12eV和1.43eV，计算相应的本征吸收长波限。,解：由本征吸收长波限的公式：,10.2 N型CdS正方形晶片，边长1mm，厚0.1mm，其长波吸收限为5100，用强度为1mW/cm2的紫色光（=4096）照射正方形表面，设量子产额=1，光生空穴全部被陷，光生电子寿命tn=10-3s，电子迁移率100cm2/Vs，并假定光照能量全部被晶片吸收