教学模型--数学建模.ppt

1、2020年7月26日星期日,1|248| 结 束,数学模型,主讲教师：纪 跃,2005年3月1日 2005年7月1日,数学建模（电子教案）,2020年7月26日星期日,2|248| 结 束,本课程将讨论40个模型,水池入门,洗衣节水,量纲分析,赛跑拟合,铅球训练,科学减肥,疾病传播,广告商计,人口增长,最优路径,层次分析,聚类分析,战争模型,线性规划,优化设计,引力概述,总统选举,指标分配,数字签名,调查隐私,油画赝品,过河问题,血管分支,全息分形,香烟过滤,市场价格,淋病扩散,红绿灯亮,多项选择,食谱搭配,算术重力,随机交配,政治势力,频率响应,中学模型,血吸虫病,潜艇追踪,人口年龄,猎手猎

2、物,冻土传热,2020年7月26日星期日,3|248| 结 束,1）目的,初步掌握应用数学知识以及 应用计算机手段解决 实际问题的能力。,2020年7月26日星期日,4|248| 结 束,自然科学,数学科学,社会科学,2）背景,数学+计算机=数学应用,2020年7月26日星期日,5|248| 结 束,自然科学： 爱因斯坦的质能公式E=mc2 社会科学： 马克思的社会再生产公式 简单再生产（v+m）=c 扩大再生产（v+m）c,3）典型模型,2020年7月26日星期日,6|248| 结 束,a.科学发展依赖数学 b.生活处处使用数学 c.实验数学的新手段,4）高新技术的根本表现,2020年7月2

3、6日星期日,7|248| 结 束,a)模型:按比例、形态、属性 及其变化规律制成的仿制品; b)数学模型:用数学符号和规则描述事物的 特征及运动规律的语言符号仿制品; c)“建模”：建立数学模型的活动， Mathematical Model、Modeling； d）功能：解释现象预测未来指导实践； e）特征：抽象、普适、计算机可实现； f）要求：可靠允许误差但不能太大 适用易于数学处理和计算。,5)数学模型,2020年7月26日星期日,8|248| 结 束,模型准备,模型应用,分析检验,模型求解,模型建立,模型假设,反馈,6）建模的步骤,2020年7月26日星期日,9|248| 结 束,了解背

4、景 明确目的 搜集数据 深入细致调查 虚心求教 。,建模的步骤之1模型准备,2020年7月26日星期日,10|248| 结 束,作必要的化简 抓住主要因素 摈弃次要因素 均匀化 线性化 。,建模的步骤之2模型假设,2020年7月26日星期日,11|248| 结 束,刻画各个变量间的关系 建立相应的数学结构 综合利用公式、表格、图形等,建模的步骤之3模型建立,2020年7月26日星期日,12|248| 结 束,综合运用数学知识 辅助使用计算机技术 琢磨计算技巧和算法 如：解方程、图解、 逻辑推理、证明。,建模的步骤之4模型求解,2020年7月26日星期日,13|248| 结 束,分析灵敏度、稳定

5、性、依赖关系、预测、决策、控制 检验“翻译”回实际问题，用实际现象、数据等检验其合理性、适用性等，进行误差分析； 反馈符合实际，进入“模型应用”；不符合实际，转至“模型假设”重新修补假设进入再循环。,建模的步骤之5模型分析检验（反馈）,2020年7月26日星期日,14|248| 结 束,模型不是万能的，所得结论只具有相对的通用性和精确性，实践是检验模型优劣的唯一标准； 对模型的认识永无止境，旧问题解决了，新问题产生了。,建模的步骤之6模型应用,2020年7月26日星期日,15|248| 结 束,“合理简化”原则合理简化模型使之：不丢失真实性，满足应用要求，适应现有计算能力，适应实际问题的检验和

6、参数估计； “优选参数”原则优选模型参数值使得模型的计算值与实际情况最接近； “模型检验”原则遗漏了重要的变量，含有无关或关系不大的变量，某些“假设”有错，数学表达式有误，反映系统精确度不够。,7）建模的原则,2020年7月26日星期日,16|248| 结 束,8）建模的能力准备,无统一的模式和方法，逻辑与非逻辑的统一； “分析综合” 和“抽象概括” ； “机理分析”定结构，“系统辨识”选参数； “双向翻译”、“运用知识” 、“联想 集约” 、“直觉洞察” 、“人机互动” 。,2020年7月26日星期日,17|248| 结 束,9)数学建模网络资源,国内： 国际：,2020年7月26日星期日,

7、18|248| 结 束,10)二十世纪的五个伟大科学模型及实践,生物DNA螺旋模型,宇宙大爆炸模型,夸克粒子模型,地球板块模型,2020年7月26日星期日,19|248| 结 束,数学王国鸟瞰,2020年7月26日星期日,20|248| 结 束,一个水池子，只开进水管，24小时 可以灌满水池；只开排水管，48小时 可以排尽水池；现在在空池子里， 同时打开进水管和排水管， 问需要多长时间可以灌满水池？,第一讲 水池入门,姜昆相声着急中的算术题,2020年7月26日星期日,21|248| 结 束,模型一（小学生模型） 假设：进、排水速度是匀速；水池总水量为1； 建模：,求解：计算（4824）（48

8、24）= 48（小时） 检验：进、排水都匀速吗？数据能变化吗？,2020年7月26日星期日,22|248| 结 束,假设：进、排水速度都是匀速v+、v-； 水池总水 量 为V；同时打开进、排水管 需要时间 T 灌 满水池；单独进、排水 时间分别 是t+、 t- （ v+ t+ v- t- V ）,求 解：,模型二（中学生模型）,2020年7月26日星期日,23|248| 结 束,检验（模型二）：在进、排水都是匀速的前提下，模型一可以推广至一般情况，进而可以预测进、排水时间的不同对灌满水池的影响。,2020年7月26日星期日,24|248| 结 束,小学生模型,中学生模型,f(x),x,x=1,

9、x=2,y=1,O,2020年7月26日星期日,25|248| 结 束,假设：进水速度是匀速v+，排水速度不是匀速v-；水池总水 量为V；同时打开进、排水管需要时间 T 灌满水池；单独进、排水时间分别 是t+、 t- ；特别假设水受重力作用从池底排出。,模型三（大学生模型）,2020年7月26日星期日,26|248| 结 束,2020年7月26日星期日,27|248| 结 束,分析： 单独进水：设水池截面A，高度H，则有t+AH v+ 单独排水：设水池底部出口截面，在时刻时的 水池水位高度，在时刻dt时的水池水位高度 dh；设水的粘滞系数；在dt时间内： 池中水的增量排水管排出的水量,2020

10、年7月26日星期日,28|248| 结 束,即有,2020年7月26日星期日,29|248| 结 束,2020年7月26日星期日,30|248| 结 束,检验：当t24、t-=48代入时，竟有 T= ！（出现分母为0！） 模型二与模型三差距很大， 但后者更符合实际。,在什么情况下两模型 可看成是“近似的”？,2020年7月26日星期日,31|248| 结 束,仿模型二，设x=t-/t+，则有,2020年7月26日星期日,32|248| 结 束,f（x）曲线与g（x）曲线,f（x）,g（x）,y=1,x=1,x=2,小学生模型,中学生模型,大学生模型,x,O,y,2020年7月26日星期日,33|248| 结 束,相对误差,误差分析,2020年7月26日星期日,34|248| 结