数学物理方程分离变量法_第1页
数学物理方程分离变量法_第2页
数学物理方程分离变量法_第3页
数学物理方程分离变量法_第4页
数学物理方程分离变量法_第5页
已阅读5页，还剩45页未读， 继续免费阅读

下载本文档

版权说明：本文档由用户提供并上传，收益归属内容提供方，若内容存在侵权，请进行举报或认领

文档简介

1、第二章 分离变量法,一、有界弦的自由振动,二、有限长杆上的热传导,三、拉普拉斯方程的定解问题,四、非齐次方程的解法,五、非齐次边界条件的处理,六、关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论,基本思想： （1）求出具有变量分离形式且满足边界条件的解; 特点：偏微分方程化为常微分方程 （2）由叠加原理作出这些解的线性组合； 特点：叠加原理 （3）由其余的定解条件确定叠加系数。,适用范围： 波动问题、热传导问题、稳定场问题等,实根,求方程的通解的步骤为： (1)写出微分方程的特征方程 (2)求出特征根 ， (3)根据特征根的情况按下表写出所给微分方程 的通解。,二阶常系数齐次线性微分方程,求方程的通解的

2、步骤为： (1)写出微分方程的特征方程 (2)求出特征根 ， (3)根据特征根的情况按下表写出所给微分方程 的通解。,二阶常系数齐次线性微分方程,解：步骤1，求出具有变量分离形式且满足边界条件的解。 令,带入方程：,令,带入边界条件,1 求两端固定的弦自由振动的规律,一 有界弦的自由振动,分情况讨论：,1）,2）,3） 令 ， 为非零实数,特征值问题,特征值与特征函数,步骤2，叠加原理做出解的线性组合。,步骤3，其余的定解条件求出系数。,分离变量,求特征值和特征函数,求另一个函数,求通解,确定常数,分离变量法可以求解具有齐次边界条件的齐次偏微分方程。,2 解的性质,x=x0时：,其中：,驻波法

3、,t=t0时：,例1：设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为 ，求弦作微小横向振动时的位移。,解：,弦的振动,振幅放大100倍，红色、蓝色、绿色分别为n=1,2,3时的驻波。,解：,例2求下列定解问题,初始条件,若l=1,a=10时的震动。,上述方程实际是个单簧管振动模型,直径均匀的细管，一端封闭，一端开放,例3 求下列定解问题,解：,令,带入方程：,令,例4 求下列定解问题,解：,二 有限长杆上的热传导,三 拉普拉斯方程的定解问题,1 直角坐标系下的拉普拉斯问题,解：,矩形区域,解：令，,2 圆域内的拉普拉斯问题,圆形区域,第一步：求满足齐次方程、周期边值条件和原点约束条件的变量分离形式的解,把上式代入微分方程可得：,即,从而，我们可得到常微分方程：,与：,周期本征值问题,欧拉方程,再利用定解条件可得：,第二步：求解周期本征值问题和欧拉方程,第三步：利用叠加原理和边界条件求得原定解问题的解,再利用边界条件，有:,例5 求下列定解问题,解：,欧拉方程,令,其它为零,四 非齐次方程的解法,求下列定解问题,方程是非齐次的，是否可以用分离变量法？,非齐次方程的求解思路 用分解原理得出对应的齐次问题 解出齐次

人人文库> 全部分类> 教育资料 > 课件下载

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明，都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等，如果需要附件，请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸，网页内容里面会有图纸预览，若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间，仅对用户上传内容的表现方式做保护处理，对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑，并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容，请与我们联系，我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

最新文档

评论

0/150

提交评论