弹塑性力学部分习题及答案.ppt

1、2020/7/26,1,弹塑性力学部分习题解答,第一部分 静力法内容,2020/7/26,2,题 1-1 将下面各式展开,（1）.,（2）.,（3）.,e 为体积应变,2020/7/26,3,题1-2 证明下面各式成立，,题1-3 利用指标符号推导位移法基本方程,（1）. eijk ai aj = 0,（2）.若 ij = ji , ij = - j i , 则 ij ij = 0,2020/7/26,4,题1-3 利用指标符号推导位移法基本方程,解：位移法基本方程为用位移表示的平衡微分方程,2020/7/26,5,题1-3,而,则,2020/7/26,6,题1-3,注意哑标可换标,2020/

2、7/26,7,题1-3,代入,得,2020/7/26,8,题1-4 等截面柱体在自重作用下，应力解为,x=y=xy=yz=zx=0 , z=gz，试求位移。,2020/7/26,9,题1-5 等截面直杆（无体力作用），杆轴方向为 z 轴,已知直杆的位移解为,其中 k 为待定常数，(xy)为待定函数，试写出应力分量的表达式和位移法方程。,2020/7/26,10,题1-6 半空间体在自重 g 和表面均布压力 q 作用下的位移解为 u = v = 0,试求 x/z (应力比).,2020/7/26,11,题1-7 图示梯形截面墙体完全置于水中，设水的密度为，试写出墙体各边的边界条件。,题1-8 图

3、示薄板两端受均匀拉力作用，试确定边界上 A点和O点的应力值。,2020/7/26,12,题1-9 图示悬臂薄板，已知板内的应力分量为 x=ax、y=a(2x+y-l-h)、xy=-ax, 其中a为常数（设a 0）。其余应力分量为零。求此薄板所受的体力、边界荷载和应变。,解： 1、求体积力,2020/7/26,13,题1-9,2、求边界力,x=ax、y=a(2x+y-l-h)、xy= -ax,在 x=0 边界：,l1= -1 , l2 = 0,x= 0、xy= 0,在 y=l 边界：,l1= 0 , l2 = 1,y=a(2x-h)、xy= -ax,2020/7/26,14,题1-9,2、求边界

4、力,在 x+y=l +h边界：,l1= l2 = cos450,x=ax、y=ax、xy= -ax,3、求应变,x=ax、y=a(2x+y-l-h)、xy= -ax,可得应变表达式。,2020/7/26,15,题1-10 图示矩形薄板，厚度为单位1。已知其位移分量表达式为,式中 E、 为弹性模量和泊松系数。试（1）求应力分量和体积力分量；（2）确定各边界上的面力。,解： 1、求应变,2020/7/26,16,题1-10,2、求应力（平面应力问题）,2020/7/26,17,题1-10,4、求边界力,3、求体积力,左右边界和下边界无面力；上边界面力为均匀拉力 gl 。,2020/7/26,18,

5、题1-11 设有一无限长的薄板，上下两端固定，仅受竖向重力作用。求其位移解答。设： u = 0、 v = v(y),位移解为,2020/7/26,19,其中 V 是势函数，则应力分量亦可用应力函数表示为,题1-12 试证明，如果体力虽然不是常量，但却是有势力，即,2020/7/26,20,题1-13 试分析下列应力函数能解决什么问题？设无体力作用。,解： 1、将 代入 4 =0,满足, 为应力函数。,2、求应力（无体力）,2020/7/26,21,题1-13,3、求边界力,2020/7/26,22,题1-13,在 y= -c 边界：,l1= 0 , l2 = -1,在 y= c 边界：,l1=

6、 0 , l2 = 1,2020/7/26,23,题1-13,在 x = 0 边界：,l1= -1 , l2 = 0,2020/7/26,24,题1-13,在 x = l 边界：,l1= 1 , l2 = 0,2020/7/26,25,题1-13,在 x = l 边界：,l1= 1 , l2 = 0,2020/7/26,26,试（1）列出求解的待定系数的方程式，（2）写出应力分量表达式。,题1-14 图示无限大楔形体受水平的常体积力 q 作用,设应力函数为,解： 1、将 代入 4 =0,满足, 为应力函数。,2020/7/26,27,题1-14,2、求应力（有常体积力）,体积力,2020/7/

7、26,28,题1-14,3、由边界条件确定待定系数,在 y= 0 边界：,l1= 0 , l2 = -1,a = 0、b = 0,2020/7/26,29,题1-14,在 y= xtg 边界：,l1= cos(900+ )= -sin , l2 = cos,2020/7/26,30,题1-14,应力分量表达式,2020/7/26,31,（1）,题1-15 设弹性力学平面问题的体积力为零，且设,试（1）检验该函数是否可以作为应力函数；（2）如果能作为应力函数，求应力分量的表达式。,（2）,2020/7/26,32,试由边界条件确定 C1 和 C2 。,题1-16 圆环匀速（）转动，圆盘密度为 ，

8、且设 ur 表达式为,解： 边界条件为： (r）r=a=0, (r）r=b=0,应力r（平面应力问题）：,2020/7/26,33,由边界条件确定 C1 和 C2 ：,题1-16,应力 ：,2020/7/26,34,题1-17 图示无体力的矩形薄板，薄板内有一个小圆孔（圆孔半径a 很小），且薄板受纯剪切作用，试求孔边最大和最小应力。,2020/7/26,35,题1-18 图示一半径为a 的圆盘（材料为E1,1）, 外套以a r b 的圆环（材料为E2, 2），在 r= b 处作用外压q,设体积力为零,试写出该问题解的表达式以及确定表达式中待定系数的条件,解：圆盘为单连域，圆环为多连域；,轴对称

9、问题，且体积力为零。,2020/7/26,36,题1-18,1、写出圆盘和圆环的应力和位移的表达式：,（1）圆盘（平面应力问题）的应力和位移的表达式：,r=2C1 ，ur= 2C1 r (1-1)/E1,（2）圆环（平面应力问题）的应力和位移的表达式：,r= A2 /r 2+ 2C2 ， = - A2 /r 2+ 2C1 ，,ur= - (1+2)A2 /r + 2C2 r (1-2)/E2,2020/7/26,37,题1-18,边界条件： (r）r=b= -q,连续条件：,2、利用边界条件和连续条件确定待定系数的公式：,r = a 时 ： ur1 = ur2 ， r1 = r2,A2 /b2

10、+ 2C2 = - q (1),2020/7/26,38,题1-18,r = a 时 ： ur1 = ur2 ， r1 = r2,A2 /b2+ 2C2 = - q (1),2C1a (1-1)/E1 =- (1+2)A2 /a + 2C2 a (1-2)/E2 (2),2C1 = A2 /a2+ 2C2 (3),2020/7/26,39,(r, )= r2(Asin2 + B )/2,题1-19 图示半无限平面薄板不计体力。已知在边界上有平行边界的面力q 作用。应力函数取为,试（1）列出求解待定系数 A、B 的方程式，（2）写出应力分量表达式。,2020/7/26,40,(r, )= Aco

11、s2 + Bsin2 + C,题1-20 图示无体力的楔形体，顶端受集中力偶作用，应力函数取为,试（1）列出求解待定系数A、B、C的方程式，（2）写出应力分量表达式。,2020/7/26,41,题2-1 图示结构各杆等截面杆，截面面积为A,结点C承受荷载P作用,材料应力应变关系分别为（1） =E ，(2) =E 1/2 。试计算结构的应变能U 和应变余能Uc。,第二部分 能量法内容,2020/7/26,42,题2-2 分别利用虚位移原理、最小势能原理、虚应力原理和最小余能原理求解图示桁架的内力。已知桁架各杆 EA 相同，材料的弹性关系为 = E 。,解： （1）虚位移原理求解图示桁架的内力,桁

12、架在荷载作用 下，各杆产生内力NAC 、NBC 、NDC和变形，引起C点位移：uc 和 vc （内力、变形和位移是真实的）。,2020/7/26,43,题2-2,虚位移方程,根据几何关系,设桁架有虚位移， C点虚位移 uc 和 vc,2020/7/26,44,题2-2,由于 uc 和 vc 为任意的,因此方程中 uc 和 vc 的系数为零，得,代入虚位移方程，得,2020/7/26,45,题2-2,而,代入上式，解得,2020/7/26,46,题2-2,则,2020/7/26,47,题2-2,（3）虚应力原理求图示桁架的内力,桁架在荷载作用 下，各杆产生内力NAC 、NBC 、NDC和变形，引

13、起C点位移：uc 和 vc （内力、变形和位移是真实的）。,设桁架有虚内力，对应于无荷载情况， NAC 、 NBC 、 NDC,2020/7/26,48,题2-2,应用虚应力方程,即 NAC AC+ NBC BC+ NDC DC=0,而,代入上式，并注意,2020/7/26,49,题2-2, NAC + NBC cos450 =0 , NDC + NBC cos450 =0,且虚应力任意的，得,利用平衡方程，有,NBC =（ NAC + NDC ）/2 （1）,NBC cos450 +NAC =0 （2）,NBC cos450 +NDC + P =0 （3）,联立求解，得,2020/7/26,

14、50,题2-2,2020/7/26,51,题2-4 利用最小余能原理求左图示梁的弯矩。,题2-3 左图示梁受荷载作用，试利用虚位移原理 或最小势能原理导出梁的平衡微分方程和力的边界条件。,2020/7/26,52,（1）悬臂梁受两个集中力 P 作用。,（2）简支梁受均布荷载 q 作用,设： v =B1x(x-l)+B2x2(x-l) 。,题2-5 利用虚位移原理的近似法或Ritz 法求解图示梁的挠曲线。,2020/7/26,53,（1）悬臂梁受两个集中力 P 作用。,题2-5 利用虚位移原理的近似法或Ritz 法求解图示梁的挠曲线。,解： 利用Ritz 法求解图示梁的挠曲线。,设挠曲线为,满足

15、位移边界条件：,2020/7/26,54,梁的应变能:,题2-5,外力势能:,确定b1 , b2,2020/7/26,55,梁的总势能:,题2-5,外力势能:, =U +V,由总势能 的变分 = 0 ，得,2020/7/26,56,题2-5,解得,梁的挠曲线近似解为,2020/7/26,57,u=0, v = B1 y(y-b)，求其位移解答。,题2-6 设有一无限长的薄板，上下两端固定，仅受竖向重力作用。利用Ritz 法求其位移解答。设位移的近似解为,解： 所设位移满足位移边界条件。,体积力,2020/7/26,58,将 u=0, v = B1 y(y-b) 代入下式，且,题2-6,薄板的总势能 =U +