高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念及运算课件 理

1、3.1导数的概念及运算,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,1.导数与导函数的概念,知识梳理,(1)一般地，函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是 我们称它为函数yf(x)在xx0处的导数，记作 ，即f(x0) .,(2)如果函数yf(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数yf(x)在开区间内的导函数.记作f(x)或y.,函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线yf(x)在点p(x0，f(x0)处的切线的斜率k，即k .,2.导数的几何意义,3.基本初等函数的导数公式,f(x0),0,x

2、1,cos x,sin x,ex,axln a,若f(x)，g(x)存在，则有 (1)f(x)g(x) ； (2)f(x)g(x)；,4.导数的运算法则,5.复合函数的导数 复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yx ，即y对x的导数等于 的导数与 的导数的乘积.,f(x)g(x),f(x)g(x)f(x)g(x),yuux,y对u,u对x,1.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.,3.af(x)bg(x)af(x)bg(x). 4.函数yf(x)的导数f(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大

3、小|f(x)|反映了变化的快慢，|f(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)f(x0)是函数yf(x)在xx0附近的平均变化率.() (2)f(x0)与f(x0)表示的意义相同.() (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.() (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.() (5)函数f(x)sin(x)的导数是f(x)cos x.(),1.(教材改编)若f(x)xex，则f(1)等于 a.0 b.e c.2e d.e2,考点自测,答案,解析,f(x)exxex，f(1)2e.,2.如图所示为函数yf(x)，yg(x)的导

4、函数的图象，那么yf(x)，yg(x)的图象可能是,答案,解析,由yf(x)的图象知yf(x)在(0，)上单调递减， 说明函数yf(x)的切线的斜率在(0,)上也单调递减,故可排除a，c. 又由图象知yf(x)与yg(x)的图象在xx0处相交，说明yf(x)与yg(x)的图象在xx0处的切线的斜率相同，故可排除b.故选d.,3.某质点的位移函数是s(t)2t3 gt2(g10 m/s2)，则当t2 s时，它的加速度是 a.14 m/s2 b.4 m/s2 c.10 m/s2 d.4 m/s2,答案,解析,由v(t)s(t)6t2gt， a(t)v(t)12tg， 当t2时，a(2)v(2)12

5、21014.,f(x)cos xsin x.,答案,解析,5.曲线y5ex3在点(0，2)处的切线方程是 .,答案,解析,5xy20,因为y|x05e05， 所以曲线在点(0，2)处的切线方程为y(2)5(x0)， 即5xy20.,题型分类深度剖析,题型一导数的计算,例1求下列函数的导数. (1)yx2sin x；,解答,y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.,解答,解答,解答,(5)yln(2x5).,解答,令u2x5，则yln u，,思维升华,(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到

6、函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量. (2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元.,跟踪训练1(1)f(x)x(2 016ln x)，若f(x0)2 017，则x0等于 a.e2 b.1c.ln 2 d.e,答案,解析,f(x)2 016ln xx 2 017ln x，,故由f(x0)2 017，得2 017ln x02 017， 则ln x00，解得x01.,(2)若函数f(x)ax4bx2c满足f(1)2，则f(1)等于 a.1 b.2c.2 d.0,答案,解析,f(x)4ax32bx， f(x)为奇函数且f(1)2， f(1

7、)2.,题型二导数的几何意义 命题点1求切线方程,例2(1)(2016全国丙卷)已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)ln(x)3x，则曲线yf(x)在点(1，3)处的切线方程是 .,答案,解析,2xy10,设x0，则x0，f(x)ln x3x，,又f(x)为偶函数，f(x)ln x3x，f(x) 3，f(1)2，,切线方程为y2x1，即2xy10.,(2)已知函数f(x)xln x，若直线l过点(0，1)，并且与曲线yf(x)相切，则直线l的方程为 a.xy10 b.xy10 c.xy10 d.xy10,答案,解析,点(0，1)不在曲线f(x)xln x上，设切点为(x0，y0).,解得x

8、01，y00. 切点为(1,0)，f(1)1ln 11. 直线l的方程为yx1，即xy10.故选b.,命题点2求参数的值 例3(1)(2016泉州模拟)函数yex的切线方程为ymx，则m .,答案,解析,e,设切点坐标为p(x0，y0)，由yex，,得,从而切线方程为,又切线过定点(0,0)，从而,解得x01，则me.,几何画板展示,(2)已知f(x)ln x，g(x) x2mx (m0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，与f(x)图象的切点为(1，f(1)，则m等于 a.1 b.3 c.4 d.2,答案,解析,f(x) ，直线l的斜率kf(1)1.,又f(1)0，切线l的方程为y

9、x1. g(x)xm， 设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，,于是解得m2.故选d.,几何画板展示,命题点3导数与函数图象的关系 例4如图，点a(2,1)，b(3,0)，e(x,0)(x0)，过点e作ob的垂线l.记aob在直线l左侧部分的面积为s，则函数sf(x)的图象为下图中的,答案,解析,函数的定义域为0，)，当x0,2时， 在单位长度变化量x内面积变化量s大于0且越来越大， 即斜率f(x)在0,2内大于0且越来越大， 因此，函数sf(x)的图象是上升的且图象是下凸的； 当x(2,3)时，在单位长度变化量x内面积变化量s大于0且越来越小， 即斜率f(x)在(2,3)内大于0且

10、越来越小， 因此，函数sf(x)的图象是上升的且图象是上凸的； 当x3，)时，在单位长度变化量x内面积变化量s为0， 即斜率f(x)在3，)内为常数0， 此时，函数图象为平行于x轴的射线.,思维升华,导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点a(x0，f(x0)求斜率k，即求该点处的导数值：kf(x0). (2)已知斜率k，求切点a(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k. (3)若求过点p(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)， 由 求解即可. (4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以

11、判断出函数图象升降的快慢.,答案,解析,设切点的横坐标为x0，,解得x03或x02(舍去，不符合题意)， 即切点的横坐标为3.,答案,解析,典例若存在过点o(0,0)的直线l与曲线yx33x22x和yx2a都相切，求a的值.,求曲线的切线方程,现场纠错系列3,错解展示,现场纠错,纠错心得,求曲线过一点的切线方程，要考虑已知点是切点和已知点不是切点两种情况.,几何画板展示,解易知点o(0,0)在曲线yx33x22x上. (1)当o(0,0)是切点时， 由y3x26x2，得y|x02， 即直线l的斜率为2，故直线l的方程为y2x.,依题意44a0，得a1. (2)当o(0,0)不是切点时， 设直线

12、l与曲线yx33x22x相切于点p(x0，y0)，,返回,课时作业,1.若f(x)2xf(1)x2，则f(0)等于 a.2 b.0 c.2 d.4,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,f(x)2f(1)2x， 令x1，则f(1)2f(1)2，得f(1)2， 所以f(0)2f(1)04.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s t33t28t，那么速度为零的时刻是 a.1秒末 b.1秒末和2秒末 c.4秒末 d.2秒末和4秒末,答案,解析,s(t)t26t8，由导数的定义知vs(t)，

13、 令s(t)0，得t2或4， 即2秒末和4秒末的速度为零.,3.若直线yx是曲线yx33x2px的切线，则实数p的值为,答案,解析,y3x26xp，设切点为p(x0，y0)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.(2017郑州质检)已知yf(x)是可导函数，如图，直线ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，令g(x)xf(x)，g(x)是g(x)的导函数，则g(3)等于 a.1 b.0 c.2 d.4,答案,解析,g(x)xf(x)，g(x)f(x)xf(x)， g(3)f(3)3f(3)， 又由题图可知f

14、(3)1，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,5.已知曲线yln x的切线过原点，则此切线的斜率为,答案,解析,设切点为(x0，ln x0)，则,因为切线过点(0,0)，所以ln x01，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.已知函数f(x)ax3x1的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2,7)，则a .,答案,解析,1,f(x)3ax21，f(1)13a，f(1)a2. 所以函数在(1，f(1)处的切线方程

15、为y(a2)(13a)(x1). 将(2,7)代入切线方程，得7(a2)13a， 解得a1.,8.(2016邯郸模拟)曲线ylog2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角 形的面积等于 .,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,9.若函数f(x) x2axln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是 .,答案,解析,f(x)存在垂直于y轴的切线，f(x)存在零点，,2，),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,*10.已知曲线f(x)xn1(nn*)与直线x1交于点p，

16、设曲线yf(x)在点p处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2 016x1log2 016x2log2 016x2 015的值为 .,答案,解析,1,f(x)(n1)xn，kf(1)n1， 点p(1,1)处的切线方程为y1(n1)(x1)，,则log2 016x1log2 016x2log2 016x2 015log2 016(x1x2x2 015)1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(1)求曲线在点p(2,4)处的切线方程；,解答,在点p(2,4)处的切线的斜率为y|x24. 曲线在点p(2,4)处的切线方程为y44(x2)， 即4xy40.,1,2,3,4

17、,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2)求曲线过点p(2,4)的切线方程.,解答,则切线的斜率为 .,(x01)(x02)20，解得x01或x02， 故所求的切线方程为xy20或4xy40.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,12.已知函数f(x) x32x23x(xr)的图象为曲线c. (1)求过曲线c上任意一点切线斜率的取值范围；,解答,由题意得f(x)x24x3， 则f(x)(x2)211， 即过曲线c上任意一点切线斜率的取值范围是1，).,(2)若在曲线c上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线c的切点的横坐标的取值范围.,解答,设曲线c的其中一条切线的斜率为k， 则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，,故由1x24x30或x24x31，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,*13.设函数f(x)ax ，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120.