高考数学一轮复习 第二章 函数与基本初等函数I 2.4 指数与指数函数课件 理

1、2.4二次函数与幂函数,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,(1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x) . 顶点式：f(x) . 零点式：f(x).,1.二次函数,知识梳理,ax2bxc(a0),a(xm)2n(a0),a(xx1)(xx2)(a0),(2)二次函数的图象和性质,(1)定义：一般地，函数y 叫做幂函数，其中x是自变量，是常数. (2)幂函数的图象比较,2.幂函数,x,几何画板展示,(3)幂函数的性质 幂函数在(0，)上都有定义； 幂函数的图象过定点(1,1)； 当0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，)上单调递增；

2、 当0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，)上单调递减.,1.若f(x)ax2bxc(a0)，则当 时恒有f(x)0，当 时，恒有f(x)0. 2.幂函数的图象和性质 (1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性. (2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)二次函数yax2bxc，xa，b的最值一定是 .() (2)二次函数yax2bxc，xr不可能是偶函数.() (3)在yax2bxc(a0)中，a决定了图象的开口方向和

3、在同一直角坐标系中的开口大小.() (4)函数 是幂函数.() (5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.() (6)当n0时，幂函数yxn是定义域上的减函数.(),1.(教材改编)已知函数f(x)x24ax在区间(，6)内单调递减，则a的取值范围是 a.a3 b.a3 c.a3 d.a3,考点自测,答案,解析,函数f(x)x24ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x2a，由函数在区间(，6)内单调递减可知， 区间(，6)应在直线x2a的左侧， 2a6，解得a3，故选d.,几何画板展示,2.已知函数yax2bxc，如果abc且abc0，则它的图象可能是,答案,解析,由abc0和

4、abc知a0，c0，排除c.,3.幂函数 (az)为偶函数，且f(x)在区间(0，)上是减函数，则a等于 a.3 b.4 c.5 d.6,答案,解析,因为a210a23(a5)22，,(az)为偶函数，,且在区间(0，)上是减函数， 所以(a5)220，从而a4,5,6， 又(a5)22为偶数，所以只能是a5，故选c.,4.已知函数yx22x3在闭区间0，m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为_.,答案,解析,1,2,如图，由图象可知m的取值范围是1,2.,几何画板展示,5.(教材改编)已知幂函数yf(x)的图象过点 ，则此函数的解析式为_；在区间_上递减.,答案,解析,(0，),a ，即

5、幂函数的解析式为 ，,单调减区间为(0，).,题型分类深度剖析,题型一求二次函数的解析式,例1(1)(2016太原模拟)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(2,0)且有最小值1，则f(x)_.,答案,解析,x22x,设函数的解析式为f(x)ax(x2)，所以f(x)ax22ax，,所以f(x)x22x.,(2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意xr，都有f(2x)f(2x)，求f(x)的解析式.,解答,f(2x)f(2x)对任意xr恒成立， f(x)的对称轴为x2. 又f(x)的图象被x轴截得的线段长为2， f(x)0的两根为

6、1和3. 设f(x)的解析式为f(x)a(x1)(x3)(a0)， 又f(x)的图象过点(4,3)，3a3，a1， 所求f(x)的解析式为f(x)(x1)(x3)， 即f(x)x24x3.,思维升华,求二次函数解析式的方法,跟踪训练1(1)已知二次函数f(x)ax2bx1(a，br)，xr，若函数f(x)的最小值为f(1)0，则f(x)_.,答案,解析,x22x1,设函数f(x)的解析式为f(x)a(x1)2ax22axa， 由已知f(x)ax2bx1，a1， 故f(x)x22x1.,(2)若函数f(x)(xa)(bx2a)(常数a，br)是偶函数，且它的值域为(，4，则该函数的解析式f(x)

7、_.,答案,解析,2x24,由f(x)是偶函数知f(x)图象关于y轴对称，,a( )，即b2，,f(x)2x22a2， 又f(x)的值域为(，4， 2a24，故f(x)2x24.,题型二二次函数的图象和性质,命题点1二次函数的单调性 例2函数f(x)ax2(a3)x1在区间1，)上是递减的，则实数a的取值范围是 a.3,0) b.(，3c.2,0 d.3,0,答案,解析,当a0时，f(x)3x1在1，)上递减，满足条件.,解得3a0.综上，a的取值范围为3,0.,几何画板展示,引申探究,若函数f(x)ax2(a3)x1的单调减区间是1，)，则a_.,答案,解析,3,由题意知a0，,又1，a3.

8、,命题点2二次函数的最值 例3已知函数f(x)ax22x(0 x1)，求函数f(x)的最小值.,解答,几何画板展示,(1)当a0时，f(x)2x在0,1上单调递减， f(x)minf(1)2.,(2)当a0时，f(x)ax22x的图象开口向上且对称轴为x .,当0 1，即a1时，f(x)ax22x的对称轴在0,1内，,f(x)在0,1上单调递减.f(x)minf(1)a2.,(3)当a0时，f(x)ax22x的图象开口向下且对称轴x 0，在y轴的左侧，,f(x)ax22x在0,1上单调递减， f(x)minf(1)a2.,命题点3二次函数中的恒成立问题 例4(1)已知函数f(x)x2x1，在区

9、间1,1上不等式f(x)2xm恒成立，则实数m的取值范围是_.,答案,解析,(，1),f(x)2xm等价于x2x12xm，即x23x1m0， 令g(x)x23x1m， 要使g(x)x23x1m0在1,1上恒成立， 只需使函数g(x)x23x1m在1,1上的最小值大于0即可. g(x)x23x1m在1,1上单调递减，g(x)ming(1)m1. 由m10，得m1. 因此满足条件的实数m的取值范围是(，1).,(2)已知a是实数，函数f(x)2ax22x3在x1,1上恒小于零，则实数a的取值范围为_.,答案,解析,2ax22x30在1,1上恒成立. 当x0时，30，成立；,几何画板展示,思维升华,

10、(1)二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成. (2)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数. 两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是：af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立af(x)min.,跟踪训练2(1)设函数f(x)ax22x2，对于满足10，则实数a的取值范围为_.,答案,解析,(2)已知函数f(x)x22x，若x2，a，求f(x)的最小值.,解答,函数f

11、(x)x22x(x1)21，对称轴为直线x1， x1不一定在区间2，a内， 应进行讨论，当21时，函数在2,1上单调递减，在1，a上单调递增， 则当x1时，f(x)取得最小值， 即f(x)min1. 综上，当21时，f(x)min1.,几何画板展示,题型三幂函数的图象和性质,例5(1)(2016济南诊断测试)已知幂函数f(x)kx的图象过点 ，则k等于,答案,解析,由幂函数的定义知k1.,(2)若 则实数m的取值范围是,答案,解析,因为函数 的定义域为0，)且在定义域内为增函数，,解2m1m2m1，得1m2，,思维升华,(1)幂函数的形式是yx(r)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定

12、其解析式. (2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴.,跟踪训练3(2016昆明模拟)幂函数的图象经过点(4,2)，若0ab1，则下列各式正确的是,答案,解析,设幂函数为f(x)x，将(4,2)代入得 ，,所以 该函数在(0，)上为增函数，,典例(10分)已知函数f(x)ax22ax1在区间1,2上有最大值4，求实数a的值.,分类讨论思想在二次函数最值中的应用,思想与方法系列3,已知函数f(x)的最值，而f(x)图象的对称轴确定，要讨论a的符号.,规范解答,思想方法指导,几何画板展示,解f(x)

13、a(x1)21a. 1分 (1)当a0时，函数f(x)在区间1,2上的值为常数1，不符合题意，舍去； 3分,(2)当a0时，函数f(x)在区间1,2上是增函数，,最大值为f(2)8a14，解得a ； 6分,(3)当a0时，函数f(x)在区间1,2上是减函数， 最大值为f(1)1a4，解得a3. 9分,综上可知，a的值为 或3. 10分,返回,课时作业,1.函数f(x)2x2mx3，当x2，)时，f(x)是增函数，当x(，2时，f(x)是减函数，则f(1)的值为 a.3 b.13 c.7 d.5,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,函数f(x)的图象关于直线x

14、2对称， m8，f(1)28313.,2.幂函数 (mz)的图象如图所示，则m的值为,答案,解析,a.0 b.1 c.2 d.3, (mz)的图象与坐标轴没有交点，,m24m0，即0m4. 又函数的图象关于y轴对称且mz， m24m为偶数，因此m2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.已知二次函数f(x)满足f(2x)f(2x)，且f(x)在0,2上是增函数，若f(a)f(0)，则实数a的取值范围是 a.0，) b.(，0 c.0,4 d.(，04，),答案,解析,由题意可知函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x2(如图)，,若f(a)f(0)，从图象观察可知0a

15、4.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.若函数yx23x4的定义域为0，m，值域为 ，4，则m的取值范围是,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,5.若函数f(x)x2axa在区间0,2上的最大值为1，则实数a等于 a.1 b.1c.2 d.2,答案,解析,函数f(x)x2axa的图象为开口向上的抛物线， 函数的最大值在区间的端点处取得， f(0)a，f(2)43a，,6.已知二次函数f(x)2ax2ax1(af(x2) c.f(x1)f(x2)d.与a值有关,答案,解析

16、,该二次函数图象的开口向下，对称轴为直线x ，,又依题意，得x10，又x1x20，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.(2016烟台模拟)已知幂函数 ，若f(a1)f(102a)，则a的取值范围为_.,答案,解析,(3,5),幂函数 单调递减，定义域为(0，)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8.当0x1时，函数f(x)x1.1，g(x)x0.9，h(x)x2的大小关系是_.,答案,解析,h(x)g(x)f(x),如图所示为函数f(x)，g(x)，h(x)在(0,1)上的图象

17、， 由此可知，h(x)g(x)f(x).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,9.当x(1,2)时，不等式x2mx40恒成立，则m的取值范围是_.,答案,解析,(，5,方法一不等式x2mx40对x(1,2)恒成立， mxx24对x(1,2)恒成立，,方法二设f(x)x2mx4，当x(1,2)时，,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,*10.若函数f(x)x2a|x1|在0，)上单调递增，则实数a的取值范围是_.,答案,解析,0,2,综上，a的取值范围是0,2.,1,2,3,4,5,6,7

18、,8,9,10,11,12,13,11.已知函数f(x)x22ax2，x5,5. (1)当a1时，求函数f(x)的最大值和最小值；,解答,当a1时，f(x)x22x2(x1)21，x5,5. f(x)的对称轴为x1， 当x1时，f(x)取最小值1； 当x5时，f(x)取最大值37.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间5,5上是单调函数.,解答,f(x)x22ax2(xa)22a2的对称轴为xa， f(x)在5,5上是单调函数， a5或a5，即a5或a5. 故实数a的取值范围为a5或a5.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,12.已知幂函数 (mn*). (1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；,解答,因为m2mm(m1)(mn*)， 而m与m1中必有一个为偶数，所以m2m为偶数，,所以函数 (mn*)的定义域为0，)，并且该函数在0，)上为增函数.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2)若函数f(x)的图象经过点(2， )，试确定m的值，并求满足条件f(2a) f(a1)的实数a的取值范围.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,因为函