高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.5 直线、平面垂直的判定与性质课件 理

1、8.5直线、平面垂直的判定与性质,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,(1)定义 如果直线l与平面内的 直线都垂直，则直线l与平面垂直.,1.直线与平面垂直,知识梳理,任意一条,(2)判定定理与性质定理,相交,a，b,abo,la,lb,平行,a,b,2.直线和平面所成的角 (1)定义 平面的一条斜线和 所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.若一条直线垂直于平面，它们所成的角是 ，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是 的角. (2)范围：0， .,它在平面上的射影,0,直角,3.平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念 二面角：从一条直线出

2、发的 所组成的图形叫做二面角； 二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作 的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角. (2)平面和平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直.,两个半平面,垂直于棱,直二面角,(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理,交线,垂线,重要结论： (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法). (3)垂直于同一条直线的两个平面平行. (4)一条直线垂直于两平行平面中的一个

3、，则这一条直线与另一个平面也垂直.,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l.() (2)垂直于同一个平面的两平面平行.() (3)直线a，b，则ab.() (4)若，aa.() (5)若直线a平面，直线b，则直线a与b垂直.(),1.(教材改编)下列命题中不正确的是 a.如果平面平面，且直线l平面，则直线l平面 b.如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面 c.如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 d.如果平面平面，平面平面，l，那么l,考点自测,答案,解析,2.设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内，直线b在平

4、面内，且bm，则“”是“ab”的 a.充分不必要条件b.必要不充分条件 c.充分必要条件d.既不充分也不必要条件,答案,解析,若，因为m，b，bm， 所以根据两个平面垂直的性质定理可得b，又a，所以ab； 反过来，当am时，因为bm，且a，m共面，一定有ba， 但不能保证b，所以不能推出.,3.(2017宝鸡质检)对于四面体abcd，给出下列四个命题： 若abac，bdcd，则bcad； 若abcd，acbd，则bcad； 若abac，bdcd，则bcad； 若abcd，acbd，则bcad. 其中为真命题的是 a. b. c. d.,答案,解析,如图，取bc的中点m，连接am，dm，由aba

5、cambc，同理dmbcbc平面amd，而ad平面amd，故bcad.设a在平面bcd内的射影为o，连接bo，co，do，由abcdbocd，由acbdcobdo为bcd的垂心dobcadbc.,4.(2016济南模拟)如图，四边形abcd是边长为1的正方形，md平面abcd，nb平面abcd，且mdnb1，g为mc的中点.则下列结论中不正确的是 a.mcan b.gb平面amn c.平面cmn平面amn d.平面dcm平面abn,答案,解析,显然该几何图形为正方体截去两个三棱锥所剩的几何体，把该几何体放置到正方体中(如图)， 取an的中点h，连接hb，mh，gb， 则mchb，又hban，所

6、以mcan，所以a正确； 由题意易得gbmh，又gb平面amn，mh平面amn， 所以gb平面amn，所以b正确； 因为abcd，dmbn，且abbnb，cddmd，所以平面dcm平面abn，所以d正确.,5.(教材改编)在三棱锥pabc中，点p在平面abc中的射影为点o. (1)若papbpc，则点o是abc的_心.,答案,解析,外,如图1，连接oa，ob，oc，op， 在rtpoa、rtpob和rtpoc中， papcpb， 所以oaoboc，即o为abc的外心.,(2)若papb，pbpc，pcpa，则点o是abc的_心.,答案,解析,垂,如图2，延长ao，bo，co分别交bc，ac，a

7、b于h，d，g. pcpa，pbpc，papbp， pc平面pab，ab平面pab，pcab， 又abpo，popcp， ab平面pgc， 又cg平面pgc， abcg，即cg为abc边ab上的高. 同理可证bd，ah为abc底边上的高， 即o为abc的垂心.,题型分类深度剖析,题型一直线与平面垂直的判定与性质,例1(2016全国甲卷改编)如图，菱形abcd的对角线ac与bd交于点o，ab5，ac6，点e，f分别在ad，cd上，aecf ，ef交bd于点h.将def沿ef折到def的位置.od . 证明：dh平面abcd.,证明,几何画板展示,由已知得acbd，adcd.,因此efhd，从而e

8、fdh.,所以oh1，dhdh3. 于是dh2oh2321210do2，故dhoh. 又dhef，而ohefh，且oh，ef平面abcd， 所以dh平面abcd.,思维升华,证明线面垂直的常用方法及关键 (1)证明直线和平面垂直的常用方法有：判定定理；垂直于平面的传递性(ab，ab)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质. (2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.,跟踪训练1(2015江苏)如图，在直三棱柱abc-a1b1c1中，已知acbc，bccc1.设ab1的中点为d，b1cbc1e. 求

9、证：(1)de平面aa1c1c；,证明,(2)bc1ab1.,证明,又因为bc1平面bcc1b1， 所以bc1ac. 因为bccc1，所以矩形bcc1b1是正方形， 因此bc1b1c. 因为ac，b1c平面b1ac，acb1cc， 所以bc1平面b1ac. 又因为ab1平面b1ac， 所以bc1ab1.,题型二平面与平面垂直的判定与性质,例2如图，四棱锥pabcd中，abac，abpa，abcd，ab2cd，e，f，g，m，n分别为pb，ab，bc，pd，pc的中点. (1)求证：ce平面pad；,证明,方法一 取pa的中点h，连接eh，dh. 又e为pb的中点， 所以eh綊 ab. 又cd綊

10、 ab， 所以eh綊cd. 所以四边形dceh是平行四边形，所以cedh. 又dh平面pad，ce平面pad. 所以ce平面pad.,方法二 连接cf. 因为f为ab的中点， 所以af ab. 又cd ab，所以afcd. 又afcd，所以四边形afcd为平行四边形. 因此cfad，又cf平面pad，ad平面pad， 所以cf平面pad.,因为e，f分别为pb，ab的中点，所以efpa. 又ef平面pad，pa平面pad， 所以ef平面pad. 因为cfeff，故平面cef平面pad. 又ce平面cef，所以ce平面pad.,(2)求证：平面efg平面emn.,证明,引申探究,1.在本例条件下

11、，证明：平面emn平面pac.,证明,2.在本例条件下，证明：平面efg平面pac.,证明,思维升华,(1)判定面面垂直的方法 面面垂直的定义； 面面垂直的判定定理(a，a). (2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化. 在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.,跟踪训练2(2016江苏)如图，在直三棱柱abc-a1b1c1中，d，e分别为ab，bc的中点，点f在侧棱b1b上，且b1da1f，a1c1a1b1. 求证：(1)直线de平面a1c1f；,证明,(2)平面b1de平面a1c1f.,证明,题型三垂直关系中的探索性问题,例3如图，在三棱台abcdef中

12、，cf平面def，abbc. (1)设平面ace平面defa，求证：dfa；,证明,(2)若efcf2bc，试问在线段be上是否存在点g，使得平面dfg平面cde？若存在，请确定g点的位置；若不存在，请说明理由.,解答,线段be上存在点g，且bg be，使得平面dfg平面cde. 证明如下： 取ce的中点o，连接fo并延长交be于点g， 连接gd，gf， cfef，gfce. 在三棱台abcdef中，abbcdeef. 由cf平面defcfde. 又cfeff，de平面cbef，degf.,又gf平面dfg，平面dfg平面cde. 此时，如平面图所示，延长cb，fg交于点h， o为ce的中点，

13、efcf2bc， 由平面几何知识易证hocfoe，,思维升华,同“平行关系中的探索性问题”的规律方法一样，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明.,跟踪训练3(2016北京东城区模拟)如图，在三棱柱abca1b1c1中，侧棱aa1底面abc，m为棱ac的中点.abbc，ac2，aa1 . (1)求证：b1c平面a1bm；,证明,(2)求证：ac1平面a1bm；,证明,侧棱aa1底面abc，bm平面abc， aa1bm， 又m为棱ac中点，abbc，bmac. aa1aca，bm平面acc1a1， bmac1. ac2，am1.,ac1ca1ma， 即ac1c

14、c1aca1mac1ac90， a1mac1. bma1mm，ac1平面a1bm.,解答,平面ac1n平面aa1c1c. 证明如下： 设ac1中点为d，连接dm，dn. d，m分别为ac1，ac中点，,又n为bb1中点，dmbn，且dmbn，,四边形bndm为平行四边形， bmdn， bm平面acc1a1， dn平面acc1a1. 又dn平面ac1n， 平面ac1n平面aa1c1c.,典例(12分)如图所示，m，n，k分别是正方体abcda1b1c1d1的棱ab，cd，c1d1的中点. 求证：(1)an平面a1mk； (2)平面a1b1c平面a1mk.,立体几何证明问题中的转化思想,思想与方法

15、系列17,规范解答,思想方法指导,(1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理； (2)线线关系是线面关系、面面关系的基础.证明过程中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等； (3)证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范.,返回,证明(1)如图所示，连接nk. 在正方体abcda1b1c1d1中， 四边形aa1d1d，dd1c1c都为正方形， aa1dd1，aa1dd1， c1d1cd，c1d1cd. 2分 n，k分别为cd，c1d1的

16、中点， dnd1k，dnd1k， 四边形dd1kn为平行四边形，3分,kndd1，kndd1，aa1kn，aa1kn， 四边形aa1kn为平行四边形，ana1k. 4分 a1k平面a1mk，an平面a1mk， an平面a1mk.6分 (2)如图所示，连接bc1.在正方体abcda1b1c1d1中， abc1d1，abc1d1. m，k分别为ab，c1d1的中点， bmc1k，bmc1k， 四边形bc1km为平行四边形，,mkbc1.8分 在正方体abcda1b1c1d1中，a1b1平面bb1c1c， bc1平面bb1c1c，a1b1bc1. mkbc1，a1b1mk. 四边形bb1c1c为正方

17、形，bc1b1c.10分 mkb1c. a1b1平面a1b1c，b1c平面a1b1c，a1b1b1cb1， mk平面a1b1c. 又mk平面a1mk， 平面a1b1c平面a1mk.12分,返回,课时作业,1.若平面平面，平面平面直线l，则 a.垂直于平面的平面一定平行于平面 b.垂直于直线l的直线一定垂直于平面 c.垂直于平面的平面一定平行于直线l d.垂直于直线l的平面一定与平面，都垂直,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,2.设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是 a.若，m，n，则

18、mn b.若，m，n，则mn c.若mn，m，n，则 d.若m，mn，n，则,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,3.(2016包头模拟)如图，三棱柱abca1b1c1中，侧棱aa1垂直底面a1b1c1，底面三角形a1b1c1是正三角形，e是bc中点，则下列叙述正确的是 a.cc1与b1e是异面直线 b.ac平面abb1a1 c.ae与b1c1是异面直线，且aeb1c1 d.a1c1平面ab1e,答案,解析,a不正确，因为cc1与b1e在同一个侧面中，故不是异面直线； b不正确，由题意知，上底面abc是一个正三角形，故不可能存在ac平面abb1a1； c正确，因为

19、ae，b1c1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线； d不正确，因为a1c1所在的平面与平面ab1e相交，且a1c1与交线有公共点，故a1c1平面ab1e不正确，故选c.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,4.如图，以等腰直角三角形abc的斜边bc上的高ad为折痕，把abd和acd折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论： bdac； bac是等边三角形； 三棱锥dabc是正三棱锥； 平面adc平面abc. 其中正确的是 a. b. c. d.,答案,解析,由题意知，bd平面adc，故bdac，

20、正确； ad为等腰直角三角形斜边bc上的高，平面abd平面acd，所以abacbc，bac是等边三角形，正确； 易知dadbdc，又由知正确； 由知错.故选b.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,5.如图所示，直线pa垂直于o所在的平面，abc内接于o，且ab为o的直径，点m为线段pb的中点.现有结论：bcpc；om平面apc； 点b到平面pac的距离等于线段bc的长.其中正确的是 a. b. c. d.,答案,解析,对于，pa平面abc，pabc， ab为o的直径，bcac，bc平面pac， 又pc平面pac，bcpc

21、； 对于，点m为线段pb的中点，ompa， pa平面pac，om平面pac，om平面pac； 对于，由知bc平面pac，线段bc的长即是点b到平面pac的距离，故都正确.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,6.如图，bac90，pc平面abc，则在abc和pac的边所在的直线中，与pc垂直的直线有_；与ap垂直的直线有_.,答案,解析,ab、bc、ac,ab,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,7.如图，直三棱柱abca1b1c1中，侧棱长为2，acbc1，acb90，d是a1b1的中点，f是bb1上的

22、动点，ab1，df交于点e.要使ab1平面c1df，则线段b1f 的长为_.,答案,解析,设b1fx， 因为ab1平面c1df，df平面c1df， 所以ab1df.,设rtaa1b1斜边ab1上的高为h，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,在rtdb1e中，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,8.如图，pa圆o所在的平面，ab是圆o的直径，c是圆o上的一点，e，f分别是点a在pb，pc上的射影，给出下列结论： afpb；efpb；afbc；ae平面pbc. 其中正确结论的序号是_.,答案,解析,由题意

23、知pa平面abc，pabc. 又acbc，且paaca， bc平面pac，bcaf. afpc，且bcpcc， af平面pbc， afpb，又aepb，aeafa， pb平面aef，pbef. 故正确.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,9.(2016保定模拟)如图，在直二面角mn中，等腰直角三角形abc的斜边bc，一直角边ac，bc与所成角的正弦值为 ，则ab与所成的角是_.,答案,解析,如图所示，作bhmn于点h，连接ah， 则bh，bch为bc与所成的角.,abc为等腰直角三角形，acab ，,ab与所成的角为ba

24、h.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,10.(2016全国乙卷)如图，在以a，b，c，d，e，f为顶点的五面体中，平面abef为正方形，af2fd，afd90，且二面角d-af-e与二面角c-be-f都是60. (1)证明：平面abefefdc；,证明,(2)求二面角e-bc-a的余弦值.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,过d作dgef，垂足为g， 由(1)知dg平面abef.,由(1)知dfe为二面角d-af-e的平面角，故dfe60，则|df|2，|dg| ，可得a(1,4,0)，b(3,4,0)，e(3,0,0)，d(0,0， ).,由已知，abef，ab平面efdc，ef平面efdc， 所以ab平面efdc，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,又平面abcd平面efdccd， 故abcd，cdef， 由beaf，可得be平面efdc， 所以cef为二面角c-be-f的平面角，cef60，,设n(x，y，z)是平面bce的法向量，则,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,设m是平面abcd的法向量，则,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10