高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.9 函数模型及其应用课件

1、2.9函数模型及其应用,基础知识自主学习,课时训练,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,1.几类函数模型,知识梳理,2.三种函数模型的性质,递增,递增,y轴,x轴,1.解函数应用题的步骤,2.“对勾”函数,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.( ) (2)幂函数增长比直线增长更快.( ) (3)不存在x0，使 1)的增长速度会超过并远远大于yxa(a0)的增长速度.( ) (5)“指数爆炸”是指数型函数yabxc(a0，b0，b1)增长速度越来越快的形象比喻.( ),考

2、点自测,1.(教材改编)已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为yalog3(x1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到 a.100只 b.200只 c.300只 d.400只,由题意知100alog3(21)， a100.y100log3(x1)， 当x8时，y100log39200.,答案,解析,根据题意得解析式为h205t(0t4)，其图象为b.,答案,解析,2.若一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为,答案,解析,3.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该

3、市这两年生产总值的年平均增长率为,设年平均增长率为x，则(1x)2(1p)(1q)，,当q300时，l(q)的最大值为2 500万元.,答案,解析,4.(2016宁波模拟)某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元.又知总收入k是单位产品数q的函数，k(q)40q q2，则总利润l(q)的最大值是_万元.,2 500,题型分类深度剖析,题型一用函数图象刻画变化过程,例1(1)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是,小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除a.

4、 因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除d. 后来为了赶时间加快速度行驶，故排除b.故选c.,答案,解析,(2)(2016临安中学模拟)物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案.据预测，这四种方案均能在规定的时间t内完成预测的运输任务q0，各种方案的运输总量q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是,答案,解析,由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，故函数的图象应一直是下凹的，故选b.,判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法

5、：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象. (2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.,思维升华,跟踪训练1设甲、乙两地的距离为a(a0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为,答案,解析,y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，应随时间增大而增大，故排除a，c； 又因为小王在乙地休息10分钟，故排除b

6、，故选d.,题型二已知函数模型的实际问题,例2(1)某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为_kg.,由图象可求得一次函数的解析式为y30 x570，令30 x5700，解得x19.,答案,解析,19,(2)一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为yaebt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过_min，容器中的沙子只有开始时的八分之一.,16,答案,解析,再经过16 min.,求解所给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数

7、模型，弄清哪些量为待定系数. (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数. (3)利用该模型求解实际问题.,思维升华,跟踪训练2(2015四川)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0 的保鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 的保鲜时间是_小时.,答案,解析,24,题型三构造函数模型的实际问题,命题点1构造二次函数模型,例3(2016富阳中学模拟)某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为r%(即每销售100元征税r元)，若年销售量为(30 r)万件

8、，要使附加税不少于128万元，则r的取值范围是 a.4,8 b.6,10 c.4%,8% d.6%,10%,答案,解析,根据题意得，要使附加税不少于128万元，需(30 整理得r212r320，解得4r8，即r4,8.,r)160r%128，,命题点2构造指数函数、对数函数模型,例4光线通过一块玻璃，强度要损失10%.设光线原来的强度为k，通过x块这样的玻璃以后强度为y. (1)写出y关于x的函数解析式；,光线通过1块玻璃后，强度y(110%)k0.9k； 光线通过2块玻璃后，强度y(110%)0.9k0.92k； 光线通过3块玻璃后，强度y(110%)0.92k0.93k； 光线通过x块玻璃

9、后，强度y0.9xk. 故y关于x的函数解析式为y0.9xk(xn*).,解答,(2)至少通过多少块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的 以下？ (参考数据：lg 20.301 0，lg 30.477 1),解答,且xn*，所以xmin14.,引申探究 通过20块这样的玻璃后，光线强度约为多少？,y0.9xk， 当x20时，y0.920k0.12k， 故通过20块这样的玻璃后，光线强度约为0.12k.,解答,命题点3构造分段函数模型 例5某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8

10、km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了_ km.,设出租车行驶x km时，付费y元，,答案,解析,由y22.6，解得x9.,9,构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制.,思维升华,跟踪训练3 (1)一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/ml，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据道路交通安全法规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过

11、0.09 mg/ml，那么，此人至少经过_小时才能开车.(精确到1小时),设经过x小时才能开车. 由题意得0.3(125%)x0.09， 0.75x0.3，xlog0.750.34.19.x最小为5.,答案,解析,5,(2)大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为20 000元，每天需要房租、水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益r与门面经营天数x的关系是r(x) 则总利润最大时，该门面经营的天数是_.,答案,解析,300,所以当x300时，ymax25 000， 当x400时，y60 000100 x20 000. 综上，当该门面经营3

12、00时，总利润最大为25 000元.,典例(14分)已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为r(x)万美元，且r(x) (1)写出年利润w(万美元)关于年产量x(万部)的函数解析式； (2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.,函数应用问题,答题模板系列2,思维点拨,答题模板,规范解答,根据题意，要利用分段函数求最大利润.列出解析式后，比较二次函数和“对勾”函数的最值的结论.,返回,解(1)当040时，wxr(x)(16x40),(2)

13、当0x40时，w6(x32)26 104， 所以wmaxw(32)6 104；8分,即x50(40，)时，取等号， 所以w取最大值为5 760.12分,综合知， 当x32时，w取得最大值6 104万美元.14分,返回,解函数应用题的一般程序 第一步：(审题)弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系； 第二步：(建模)将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； 第三步：(解模)求解数学模型，得到数学结论； 第四步：(还原)将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义； 第五步：(反思)对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.,返回,课时训练,1.在某个物理实

14、验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表：,答案,解析,则对x，y最适合的拟合函数是 a.y2x b.yx21 c.y2x2 d.ylog2x,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,根据x0.50，y0.99，代入计算，可以排除a； 根据x2.01，y0.98，代入计算，可以排除b、c； 将各数据代入函数ylog2x，可知满足题意.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,2.某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量c与时间t(年)的函数关系图象正确的是,前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增

15、长，只有a，c图象符合要求，而后3年年产量保持不变，故选a.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,3.某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是 a.118元 b.105元 c.106元 d.108元,答案,解析,设进货价为a元，由题意知132(110%)a10%a，解得a108.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,4.(2016宁波模拟)某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m3的，按每立方米m元收费；用水超过10 m3的，超过部分加倍收费.某职工某月缴水费1

16、6m元，则该职工这个月实际用水为 a.13 m3 b.14 m3 c.18 m3 d.26 m3,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,设该职工用水x m3时，缴纳的水费为y元，,则10m(x10)2m16m， 解得x13.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,5.(2016北京朝阳区统考)设某公司原有员工100人从事产品a的生产，平均每人每年创造产值t万元(t为正常数).公司决定从原有员工中分流x(0x100，xn*)人去进行新开发的产品b的生产.分流后，继续从事产品a生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品a的年产值不减少

17、，则最多能分流的人数是 a.15 b.16 c.17 d.18,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,由题意，分流前每年创造的产值为100t(万元)，分流x人后，每年创造的产值为(100 x)(11.2x%)t，,因为xn*，所以x的最大值为16.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,6.(2017奉化检测)某汽车销售公司在a，b两地销售同一种品牌的汽车，在a地的销售利润(单位：万元)为y14.1x0.1x2，在b地的销售利润(单位：万元)为y22x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是 a.10.5万元

18、b.11万元 c.43万元 d.43.025万元,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,设公司在a地销售该品牌的汽车x辆，则在b地销售该品牌的汽车(16x)辆，,因为x0,16且xn， 所以当x10或11时，总利润取得最大值43万元.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,7.(2017杭州模拟)某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为yekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k_，经过5小时，1个病毒能繁殖为_个.,k2ln 2，ye2tln 2， 当t5时，ye10ln 22101 024.,答案,解析,2ln 2,

19、1 024,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,8.(2016金华模拟)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为_m.,设内接矩形另一边长为y，,答案,解析,解得y40 x， 所以面积sx(40 x)x240 x (x20)2400(0x40)， 当x20时，smax400.,20,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,9.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量q之间的关系为vablog3 (其中a、b是实数).据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为3

20、0个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s. (1)求出a、b的值；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为30个单位，,当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,即ab0；,(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？,解答,所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要270个单位.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,10.经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t(天)的函数，且销售量近似地满足f(t)2t200 (1t50，tn).前30天价格为g(t) t30(1t30，tn)，后20天价格为g(t)45 (31t50，tn). (1)写出该种商品的日销售额s与时间t的函数关系；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,解答,解答,(2