高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.6 对数与对数函数课件

1、2.6对数与对数函数,基础知识自主学习,课时训练,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,1.对数的概念 一般地，如果axn(a0，且a1)，那么数x叫做以a为底n的对数，记作 ，其中 叫做对数的底数， 叫做真数. 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果a0，且a1，m0，n0，那么 loga(mn)； loga ； logamn (nr).,知识梳理,xlogan,a,n,logamlogan,logamlogan,nlogam,(2)对数的性质 ；logaan (a0，且a1). (3)对数的换底公式,n,n,3.对数函数的图象与性质,(0，),(1,0),1,0,y0

2、,y0,y0,y0,增函数,减函数,4.反函数 指数函数yax与对数函数_互为反函数，它们的图象关于直线对称.,ylogax,yx,r,1.换底公式的两个重要结论,其中a0且a1，b0且b1，m，nr.,2.对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线y1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.故0cd1ab.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大.,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若mn0，则loga(mn)logamlogan.( ) (2)logaxlogayloga(xy).( ) (3)函数ylog2x及ylog 3x都是对数函数.(

3、 ) (4)对数函数ylogax(a0且a1)在(0，)上是增函数.( ),考点自测,1.(2016杭州高三教学质量检测)设函数f(x)|ln x|(e为自然对数的底数)，满足f(a)f(b)(ab)，则 a.abee b.abe c.ab d.ab1,|ln a|ln b|且ab， ln aln b，ab1.,答案,解析,由函数f(x)lg(|x|1)的定义域为(，1)(1，)，值域为r. 又当x1时，函数单调递增，所以只有选项b正确.,答案,解析,2.函数f(x)lg(|x|1)的大致图象是,答案,解析,3.已知a ，b ，c ，则 a.abc b.bac c.acb d.cab,由于y5

4、x为增函数， .,即 ，故acb.,答案,解析,题型分类深度剖析,题型一对数的运算,例1(1)已知loga2m，loga3n，则a2mn_.,loga2m，loga3n，am2，an3， a2mn(am)2an22312.,答案,解析,12,1,答案,解析,对数运算的一般思路 (1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并. (2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.,思维升华,跟踪训练1,答案,解析,答案,解析,1,题型二对数函数的图象及应用,例2(1)已知

5、函数yloga(xc)(a，c为常数，其中a0，且a1)的图象如图，则下列结论成立的是 a.a1，c1 b.a1,01 d.0a1,0c1,由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数， 0a1，图象与x轴的交点在区间(0,1)之间， 该函数的图象是由函数ylogax的图象向左平移不到1个单位后得到的，0c1.,答案,解析,构造函数f(x)4x和g(x)logax，当a1时不满足条件，当0a1时，,答案,解析,(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函

6、数图象问题，利用数形结合法求解.,思维升华,跟踪训练2(1)若函数ylogax(a0，且a1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是,答案,解析,由题意ylogax(a0，且a1)的图象过(3,1)点，可解得a3.,选项b中，yx3，由幂函数图象性质可知正确； 选项c中，y(x)3x3，显然与所画图象不符； 选项d中，ylog3(x)的图象与ylog3x的图象关于y轴对称，显然不符，故选b.,(2)已知函数f(x) 若a，b，c互不相等，且f(a)f(b) f(c)，则abc的取值范围是 a.(1,10) b.(5,6) c.(10,12) d.(20,24),答案,解析,方法一不妨设abc，

7、取特例，,从而abc11，故选c. 方法二作出f(x)的大致图象(图略). 由图象知，要使f(a)f(b)f(c)，,lg alg b0，ab1，abcc. 由图知10c12，abc(10,12).,题型三对数函数的性质及应用,命题点1比较对数值的大小,例3(2015天津)已知定义在r上的函数f(x)2|xm|1(m为实数)为偶函数，记af(log0.53)，bf(log25)，cf(2m)，则a，b，c的大小关系为 a.abc b.acb c.cab d.cba,答案,解析,由f(x)2|xm|1是偶函数可知m0， 所以f(x)2|x|1. 所以a ， b4， cf(0)2|0|10，所以c

8、ab.,命题点2解对数不等式,当a1时，函数ylogax在定义域内为增函数，,当0a1时，函数ylogax在定义域内是减函数，,答案,解析,答案,解析,命题点3和对数函数有关的复合函数 例5已知函数f(x)log4(ax22x3). (1)若f(1)1，求f(x)的单调区间；,解答,因为f(1)1，所以log4(a5)1， 因此a54，a1，这时f(x)log4(x22x3). 由x22x30，得1x3， 函数f(x)的定义域为(1,3). 令g(x)x22x3， 则g(x)在(1,1)上递增，在(1,3)上递减. 又ylog4x在(0，)上递增， 所以f(x)的单调递增区间是(1,1)， 单

9、调递减区间是(1,3).,(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.,解答,假设存在实数a，使f(x)的最小值为0， 则h(x)ax22x3应有最小值1，,(1)对数值大小比较的主要方法 化同底数后利用函数的单调性； 化同真数后利用图象比较； 借用中间量(0或1等)进行估值比较. (2)解决与对数函数有关的复合函数问题，首先要确定函数的定义域，根据“同增异减”原则判断函数的单调性，利用函数的最值解决恒成立问题.,思维升华,跟踪训练3 (1)设函数f(x) 则满足f(x)2的x的取值范围是 a.1,2 b.0,2 c.1，) d.0，),当x1时，2

10、1x2，解得x0， 所以0 x1；当x1时，1log2x2，,答案,解析,(2)(2016温州一模)已知f(x)ln(x a)，若对任意的mr，均存在x00使得f(x0)m，则实数a的取值范围是_.,由题意知，函数f(x)的值域为r，,答案,解析,实数a的取值范围是4，).,4，),比较大小问题是每年高考的必考内容之一：(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法. (2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.,比较指数式、

11、对数式的大小,高频小考点2,考点分析,典例(1)(2016全国乙卷)若ab0,0cb,答案,解析,0b0，所以lg alg b， 但不能确定lg a、lg b的正负， 所以它们的大小不能确定，所以a错；,对c：由yxc在第一象限内是增函数， 即可得到acbc，所以c错； 对d：由ycx在r上为减函数， 得cacb，所以d错.故选b.,(2)(2017河南八市质检)若a20.3，blog3，clog4cos 100，则 a.bca b.bac c.abc d.cab,答案,解析,因为20.3201,0log1bc，故选c.,(3)若实数a，b，c满足loga2logb2logc2，则下列关系中不

12、可能成立的是 a.abc b.bac c.cba d.acb,答案,解析,由loga2logb2logc2的大小关系，可知a，b，c有如下四种可能：1cba； 0a1cb； 0ba1c； 0cba1.对照选项可知a中关系不可能成立.,课时训练,1.函数y 的定义域是 a.(1，) b.1，) c.(1,1)(1，) d.1,1)(1，),答案,解析,得x1且x1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2.设alog37，b21.1，c0.83.1，则 a.bac b.cab c.cba d.acb,alog37，12. c0.83.1，0c1. 即cab，故选b.,答案

13、,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.函数y2log4(1x)的图象大致是,答案,解析,函数y2log4(1x)的定义域为(，1)，排除a、b； 又函数y2log4(1x)在定义域内单调递减，排除d.故选c.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.(2016绍兴模拟)已知函数f(x) 则f(2 018)等于 a.2 019 b.2 018 c.2 017 d.2 016,由已知f(2 018)f(2 017)1 f(2 016)2f(2 015)3 f(1)2 017log2(51)2 0172 019.,答案,解析,1,2,3,4,

14、5,6,7,8,9,10,11,12,13,5.(2017杭州第二次质检)若直线xm(m1)与函数f(x)logax，g(x)logbx的图象及x轴分别交于a，b，c三点.若ab2bc，则 a.ba2或ab2 b.ab1或ab3 c.ab1或ba3 d.ab3,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,当a1b时，则a(m，logam)，b(m，logbm)，c(m,0)， 由ab2bc，得|logamlogbm|2|logbm|， 即logamlogbm2logbm， 所以logamlogbm，,当ba1时，由ab2bc， 得|logamlogbm|2|logb

15、m|， 即logamlogbm2logbm，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,所以ba3，所以ab1或ba3，故选c.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,m(1，)，f(x)0，所以a1， 所以函数ylogam为增函数，,所以函数f(x)的单调递增区间为(0，).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,

16、1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,所以loga(1a)0，即1a1， 解得a0，此时无解.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,f(2)log221，f(f(2)f(1)2. 当x0时，由2x2，得x1； 当x0时，由log2(x)2，得x4，x4. 实数x的取值范围是(，41，).,2,(，41，),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,*11.设f(x)loga(1x)loga(3x)(a0，且a1)，且f(1)2. (1)求a的值及f(x)的定义域；,f(1)2， loga42(a0，且a1)

17、，a2.,解答,函数f(x)的定义域为(1,3).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,f(x)log2(1x)log2(3x) log2(1x)(3x) log2(x1)24， 当x(1,1时，f(x)是增函数； 当x(1,3)时，f(x)是减函数.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解答,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,又x2,8，a(0,1). f(x)是关于logax的二次函数， 函数f(x)的最大值必在x2或x8时取得.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,此时f(x)取得最小值时，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,13.(2016杭州二中模拟)已知函数 (1)求f(x)的定义域；,解得1x1且x0， 函数定义域为x|1x0或0x1.,解答,1,2,3,4,5,