（课标专用）天津市2020高考数学二轮复习第一部分三、数形结合思想课件.pptx

1、三、数形结合思想,-2-,高考命题聚焦,素养思想诠释,数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧.在高考试题中,数形结合思想主要用于解选择题和填空题,有直观、简单、快捷等特点.而在解答题中,考虑到推理论证的严密性,图形只是辅助手段,最终还是要用“数”写出完整的解答过程.,-3-,高考命题聚焦,素养思想诠释,1.数形结合思想的含义 数形结合思想就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.它包含两个方面:(1)“以形助数”,把抽象问题具体化,这主要是指用几何的方法去解决代数或三角问题;(2)“以数解形”,把直观图形数量化,使形更加精确,这主要是指用代数或三角的方

2、法去解决几何问题.,-4-,高考命题聚焦,素养思想诠释,2.数形结合思想在解题中的应用 (1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围、研究方程根的范围、研究量与量之间的大小关系. (2)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式. (3)构建立体几何模型研究代数问题. (4)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题. (5)构建方程模型,求根的个数.,-5-,突破点一,突破点二,突破点三,突破点四,利用数形结合求函数零点个数 【例1】若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1,x2,且f(x1)=x1,则关于x的方程3(f(x)2+2af(x)+b=0的不同

3、实根的个数是() A.3B.4C.5D.6 分析推理设f(x)=t,则将已知变为3t2+2at+b=0与方程f(x)=t的解的个数问题,因而根据两个方程解的情况进行分类讨论.,A,-6-,突破点一,突破点二,突破点三,突破点四,解析:由函数f(x)=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1,x2,可知方程f(x)=3x2+2ax+b=0有两个不等的实根x1,x2,则方程3(f(x)2+2af(x)+b=0有两个不等的实根,即f(x)=x1或f(x)=x2,原方程实根的个数就是方程f(x)=x1和f(x)=x2的不等实根的个数之和.若x1x2,作直线y=x1,y=x2,y=x与f(x)=x3+ax

4、2+bx+c的图象.由图象知它们有3个不同的交点,如图.,即方程3(f(x)2+2af(x)+b=0有3个不同的实根. 若x1x2,如图,同理方程3(f(x)2+2af(x)+b=0有3个不同实根.,-7-,突破点一,突破点二,突破点三,突破点四,规律方法因为方程f(x)=0的根就是函数f(x)的零点,方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)和g(x)的图象的交点的横坐标,所以用数形结合的思想讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数,其基本步骤是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时,需要作适当变形转化为两个熟悉的函数),再在同一直角坐标系中作出

5、两个函数的图象,图象的交点个数即为方程解的个数.,-8-,突破点一,突破点二,突破点三,突破点四,即时巩固1设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2的偶函数,f(x)是f(x)的导函数.当x0,时,0f(x)1;当x(0,),且,为() A.4B.5C.6 D.8,C,-9-,突破点一,突破点二,突破点三,突破点四,解析:当x0,时,0f(x)1,f(x)是最小正周期为2的偶函数, 当x-3,3时,0f(x)1.,在同一平面直角坐标系中作出y=sin x和y=f(x)的草图如图所示. 由图知y=f(x)-sin x在区间-3,3上的零点个数为6,故选C.,-10-,突破点一,突破点二,突破点

6、三,突破点四,利用数形结合求参数范围及解不等式 【例2】(2019全国,理12)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x(0,1时,f(x)=x(x-1).若对任意x(-,m,都有f(x)- ,则m的取值范围是(),分析推理首先根据关系式f(x+1)=2f(x)及区间(0,1上的函数解析式作出函数f(x)的图象,然后求出其与直线y=- 的交点的横坐标,最后根据交点的位置确定m的取值范围.,B,-11-,突破点一,突破点二,突破点三,突破点四,解析:f(x+1)=2f(x), f(x)=2f(x-1). 当x(0,1时,f(x)=x(x-1), f(x)的图象如图所示.

7、当2x3时,f(x)=4f(x-2)=4(x-2)(x-3),整理得9x2-45x+56=0, 即(3x-7)(3x-8)=0,-12-,突破点一,突破点二,突破点三,突破点四,规律方法在解含有参数的不等式时,由于涉及参数,因此往往需要讨论,导致演算过程烦琐冗长.如果题设与几何图形有联系,那么利用数形结合的方法,问题将会简练地得到解决. (1)解不等式问题经常联系函数的图象,根据不等式中量的特点,选择适当的两个(或多个)函数,利用两个(或多个)函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决不等式的解的问题,往往可以避免烦琐的运算,获得简捷的解答. (2)函数的单调性经常联系函数图象的升、降,奇偶性

8、经常联系函数图象的对称性,最值(值域)经常联系函数图象的最高点、最低点的纵坐标.,-13-,突破点一,突破点二,突破点三,突破点四,即时巩固2若关于x的不等式|x-2a| x+a-1对xR恒成立,则a 的取值范围是.,-14-,突破点一,突破点二,突破点三,突破点四,利用数形结合求最值、值域(范围),A.13 B.15C.19 D.21 分析推理根据已知建立平面直角坐标系,然后求出相关点的坐标,利用向量的坐标运算建立关于 的目标函数,转化为函数最值求解.,A,-15-,突破点一,突破点二,突破点三,突破点四,-16-,突破点一,突破点二,突破点三,突破点四,规律方法数形结合求最值,主要有两个方

9、面:一是将形中的最值,借助平面直角坐标系利用坐标运算转化为函数最值问题求解.建立恰当的坐标系是解决此类问题的核心,其一般的解题要点如下: (1)建系作图,选取恰当的坐标原点与x轴、y轴所在的直线建立平面直角坐标系; (2)确定坐标,根据题目条件确定相应点的坐标; (3)建立目标函数,通过坐标运算,建立目标函数,然后转化为函数的最值或值域问题求解即可. 二是利用代数式的几何意义,借助图形的直观性直接判断最值.主要利用平面图形中的一些常用结论,如两点之间线段最短,点到直线的垂线段最短等.,-17-,突破点一,突破点二,突破点三,突破点四,即时巩固3已知抛物线的方程为x2=8y,点F是其焦点,点A(

10、-2,4),在此抛物线上求一点P,使APF的周长最小,此时点P的坐标 为.,解析:因为(-2)284,所以点A(-2,4)在抛物线x2=8y的内部,如图.设抛物线的准线为l,过点P作PQl于点Q,过点A作ABl于点B,连接AQ.由抛物线的定义可知APF的周长为|PF|+|PA|+|AF|=|PQ|+|PA|+|AF|AQ|+|AF|AB|+|AF|,-18-,突破点一,突破点二,突破点三,突破点四,当且仅当P,B,A三点共线时,APF的周长取得最小值,最小值为|AB|+|AF|. 因为点A(-2,4),所以不妨设APF的周长最小时,-19-,突破点一,突破点二,突破点三,突破点四,数形结合在解

11、析几何中的应用 【例4】已知函数y=f(x)(x(-,-2)(2,+),在其图象上任取一点P(x,y)都满足方程x2-4y2=4. 函数y=f(x)一定具有奇偶性; 函数y=f(x)在区间(-,-2)内是单调函数; x(-,-2)(2,+),使x2f(x). 以上说法正确的是.(填序号) 分析推理先作出对应的函数图象,再利用双曲线的几何性质逐个命题判断.,-20-,突破点一,突破点二,突破点三,突破点四,解析:当函数的图象是双曲线的一部分时,不成立.可转化为双曲线的渐近线的斜率问题,都满足条件.正确的是.,-21-,突破点一,突破点二,突破点三,突破点四,规律方法1.如果等式、代数式的结构蕴含

12、着明显的几何特征,那么就要考虑用数形结合的思想方法来解题,即所谓的几何法求解,比较常见的对应有:,2.在解析几何中的一些范围及最值问题中,常根据图形的性质结合几何概念进行相互转换,使问题得到简便快捷的解决.,-22-,突破点一,突破点二,突破点三,突破点四,即时巩固4如果实数x,y满足(x-2)2+y2=3,那么 的最大值为(),D,解析:方程(x-2)2+y2=3表示的曲线为直角坐标平面内的一个圆,圆心为M(2,0),它表示圆M上的点A(x,y)与坐标原点O(0,0)的连线的斜率. 所以该问题可以转化为动点A在以M(2,0)为圆心,以 为半径的圆上移动时,求直线OA的斜率的最大值.,-23-

13、,突破点一,突破点二,突破点三,突破点四,由图可知当OAM在第一象限,且直线OA与圆M相切时,OA的斜率最大,-24-,核心归纳,预测演练,-25-,核心归纳,预测演练,A.1B.2 C.3 D.4,B,解析:作出函数y=a|x|,y=|logax|的图象,由图象可知,两图象只有两个交点,故方程有两个实根.,-26-,核心归纳,预测演练,2.已知f(x)是定义域为(0,+)的单调函数,若对任意的x(0,+),都,两个解,则实数a的取值范围是() A.(0,5B.(-,5) C.(0,5)D.5,+),A,-27-,核心归纳,预测演练,设g(x)=x3-6x2+9x-4+a, g(x)=3x2-

14、12x+9=3(x-1)(x-3)=0, 解得x1=1,x2=3. 当x(0,1时,函数g(x)单调递增;,-28-,核心归纳,预测演练,的坐标为(2,4),则|PA|-|PF|的最小值为(),B,解析:如图,设椭圆的左焦点为F,连接PF,则F(-1,0),|PF|+|PF|=4, 所以|PF|=4-|PF|,所以|PA|-|PF|=|PA|+|PF|-4. 当且仅当P,A,F三点共线时,|PA|+|PF|取最小值,所以|PA|-|PF|的最小值为1.,-29-,核心归纳,预测演练,4.已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为 ,向量b满足b2-4eb+3=0,则|a-b|的最小值是(),A,解析:e为单位向量,b2-4eb+3=0, b2-4eb+4e2=1. (b-2e)2=1.