浙江专版高中数学第四章圆与方程4.1圆的方程学案新人教A版必修

1、4.141.1圆的标准方程预习课本P118120，思考并完成以下问题 1确定圆的几何要素有哪些？ 2圆的标准方程是什么？ 3点与圆的位置关系有哪几种？怎样去判断？ 1圆的标准方程(1)圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径(2)确定圆的要素是圆心和半径，如图所示(3)圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(xa)2(yb)2r2.当ab0时，方程为x2y2r2，表示以原点为圆心、半径为r的圆2点与圆的位置关系圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，圆心A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则位置关系判断方法几何法

2、代数法点在圆上MAr点M在圆A上点M(x0，y0)在圆上(x0a)2(y0b)2r2点在圆内MAr点M在圆A外点M(x0，y0)在圆外(x0a)2(y0b)2r21判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)方程(xa)2(yb)2m2一定表示圆()(2)若圆的标准方程为(xm)2(yn)2a2(a0)，此圆的半径一定是a()答案：(1)(2)2点P(m,5)与圆x2y224的位置关系是()A在圆外 B在圆内C在圆上 D不确定解析：选Am22524，点P在圆外3经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径为2的圆的方程是_解析：圆心是(2,0)，半径是2，所以圆的方程是(x2)2y24.答

3、案：(x2)2y24求圆的标准方程典例求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x3y10上的圆的方程解法一待定系数法设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，则有解得圆的标准方程是(x4)2(y3)225.法二几何法由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为xy10.弦的垂直平分线过圆心，由得即圆心坐标为(4，3)，半径r5.圆的标准方程是(x4)2(y3)225.确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，如法一，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，如法二一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的

4、几何性质作转化较为简捷 活学活用已知ABC的三个顶点坐标分别为A(0,5)，B(1，2)，C(3，4)，求该三角形的外接圆的方程解：法一：设所求圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2.因为A(0,5)，B(1，2)，C(3，4)都在圆上，所以它们的坐标都满足圆的标准方程，于是有解得故所求圆的标准方程是(x3)2(y1)225.法二：因为A(0,5)，B(1，2)，所以线段AB的中点的坐标为，直线AB的斜率kAB7，因此线段AB的垂直平分线的方程是y，即x7y100.同理可得线段BC的垂直平分线的方程是2xy50.由得圆心的坐标为(3,1)，又圆的半径长r5，故所求圆的标准方程是(x3)2(y1

5、)225.点与圆的位置关系典例已知圆C的圆心为C(3，4)，且过原点O，求圆C的标准方程，并判断点M1(1,0)，M2(1，1)，M3(3，4)与圆C的位置关系解因为圆C过原点O，圆心为C(3，4) ，所以圆C的半径长r|OC|5，因此圆C的标准方程为(x3)2(y4)225.因为(13)2(04)22025，所以点M1(1,0)在圆C内；因为(13)2(14)225，所以点M2(1，1)在圆C上；因为(33)2(44)23625，所以点M3(3，4)在圆C外判断点与圆的位置关系的方法(1)确定圆的方程：化为(xa)2(yb)2r2.(2)将点的坐标代入代数式(xa)2(yb)2，比较代数式的

6、值与r2的大小关系(3)下结论：若(xa)2(yb)2r2，表示点在圆上；若(xa)2(yb)2r2，表示点在圆外；若(xa)2(yb)2r2，表示点在圆内此外，也可以利用点与圆心的距离d与半径r的大小关系来判断当dr时，点在圆外；当dr时，点在圆上；当d2，点P在圆外2若直线yaxb经过第一、二、四象限，则圆(xa)2(yb)21的圆心位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选D由题意，知(a，b)为圆(xa)2(yb)21的圆心由直线yaxb经过第一、二、四象限，得到a0，b0，即a0，b0，故圆心位于第四象限3设P是圆(x3)2(y1)24上的动点，Q是直线x3上的动点

7、，则|PQ|的最小值为()A6 B4C3 D2解析：选B 画出已知圆，利用数形结合的思想求解如图，圆心M(3，1)与定直线x3的最短距离为|MQ|3(3)6.因为圆的半径为2，所以所求最短距离为624.4已知圆C与圆(x1)2y21关于直线yx对称，则圆C的方程为()A(x1)2y21 Bx2y21Cx2(y1)21 Dx2(y1)21解析：选C由已知圆(x1)2y21得圆心C1(1,0)，半径长r11.设圆心C1(1,0)关于直线yx对称的点为(a，b)，则解得所以圆C的方程为x2(y1)21.5若圆C与圆M：(x2)2(y1)21关于原点对称，则圆C的标准方程是_解析：圆(x2)2(y1)

8、21的圆心为M(2,1)，半径r1，则点M关于原点的对称点为C(2，1)，圆C的半径也为1，则圆C的标准方程是(x2)2(y1)21.答案：(x2)2(y1)216已知圆O的方程为(x3)2(y4)225，则点M(2,3)到圆上的点的距离的最大值为_解析：由题意，知点M在圆O内，MO的延长线与圆O的交点到点M(2,3)的距离最大，最大距离为55.答案：57已知圆C的圆心为C(x0，x0)，且过定点P(4,2)(1)求圆C的标准方程(2)当x0为何值时，圆C的面积最小？求出此时圆C的标准方程解：(1)设圆C的标准方程为(xx0)2(yx0)2r2(r0)圆C过定点P(4,2)，(4x0)2(2x

9、0)2r2(r0)r22x12x020.圆C的标准方程为(xx0)2(yx0)22x12x020.(2)(xx0)2(yx0)22x12x0202(x03)22，当x03时，圆C的半径最小，即面积最小此时圆C的标准方程为(x3)2(y3)22.8已知圆C1：(x3)2(y1)24，直线l：14x8y310，求圆C1关于直线l对称的圆C2的方程解：设圆C2的圆心坐标为(m，n)因为直线l的斜率k，圆C1：(x3)2(y1)24的圆心坐标为(3,1)，半径r2，所以，由对称性知解得所以圆C2的方程为(x4)2(y5)24.41.2圆的一般方程预习课本P121123，思考并完成以下问题 1圆的一般方

10、程是什么？有什么特点？ 2方程x2y2DxEyF0表示圆的条件是什么？ 3已知圆的一般方程怎样去求圆心坐标和圆的半径？ 4圆的标准方程与一般方程怎样相互转化？ 圆的一般方程1圆的一般方程的概念：当D2E24F0时，二元二次方程x2y2DxEyF0叫做圆的一般方程2圆的一般方程对应的圆心和半径：圆的一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)表示的圆的圆心为，半径长为 .点睛圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，其方程是一种特殊的二元二次方程，圆心和半径长需要代数运算才能得出，且圆的一般方程x2y2DxEyF0(其中D，E，F为常数)具有以下特点：(1)x2，y2项的系数均为1；(2)没有xy

11、项；(3)D2E24F0.1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)方程x2y2x10表示圆()(2)方程2x22y22ax2ay0(a0)表示圆()答案：(1)(2)2圆x2y24x6y0的圆心坐标是()A(2,3) B(2,3)C(2，3) D(2，3)解析：选D圆x2y24x6y0的圆心坐标为，即(2，3)3若方程x2y2axaya0表示圆，则a的取值范围是_解析：若方程x2y2axaya0表示圆，则2a24a0，a22a0，a0或a2.答案：(，0)(2，)圆的一般方程的辨析典例若方程x2y22mx2ym25m0表示圆，求：(1)实数m的取值范围；(2)圆心坐标和半径解

12、(1)据题意知D2E24F(2m)2(2)24(m25m)0，即4m244m220m0，解得m，故m的取值范围为.(2)将方程x2y22mx2ym25m0写成标准方程为(xm)2(y1)215m，故圆心坐标为(m,1)，半径r.判断二元二次方程与圆的关系时，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆此时有两种途径：一是看D2E24F是否大于零；二是直接配方变形，看方程等号右端是否为大于零的常数 活学活用1若方程x2y22ax2ay2a2a10表示圆，则a的取值范围是_解析：法一：方程x2y22ax2ay2a2a10，即为(xa)2(ya)21a，

13、它表示圆，需满足1a0，故a1.法二：要使方程x2y22ax2ay2a2a10表示圆，需满足(2a)2(2a)24(2a2a1)0，解得a1.答案：(，1)2已知曲线C：x2y24mx2my20m200.求证：当m2时，曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上证明：D4m，E2m，F20m20，D2E24F16m24m280m8020(m2)2.又m2，(m2)20，D2E24F0，即曲线C是一个圆设圆心坐标为(x，y)，则由消去m，得x2y0，即圆心在直线x2y0上.求圆的一般方程典例已知一圆过P(4，2)，Q(1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程解法一待定系数法设圆的方程为x2y

14、2DxEyF0，将P，Q的坐标分别代入上式，得令x0，得y2EyF0，由已知|y1y2|4，其中y1，y2是方程的两根(y1y2)2(y1y2)24y1y2E24F48.联立解得，或故所求方程为x2y22x120或x2y210x8y40.法二几何法由题意得线段PQ的中垂线方程为xy10.所求圆的圆心C在直线xy10上，设其坐标为(a，a1)又圆C的半径长r|CP|.由已知圆C截y轴所得的线段长为4，而圆心C到y轴的距离为|a|.r2a22，代入并将两端平方得a26a50，解得a11，a25，r1，r2.故所求圆的方程为(x1)2y213或(x5)2(y4)237.利用待定系数法求圆的方程的解题

15、策略(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F. 活学活用求圆心在直线2xy30上，且过点(5,2)和(3，2)的圆的一般方程解：设所求圆的一般方程为x2y2DxEyF0，则圆心为.圆心在直线2xy30上，230.又点(5,2)和(3，2)在圆上，52225D2EF0.32(2)23D2EF0. 解组成的方程组，得D4，E2，F5.所求圆的一般方程为x2y24x2y50.代入法求轨迹方程典例已知圆心为C的圆经过点A

16、(1,1)和B(2，2)，且圆心C在直线l：xy10上(1)求圆C的方程；(2)线段PQ的端点P的坐标是(5,0)，端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的轨迹 方程解(1)设点D为线段AB的中点，直线m为线段AB的垂直平分线，则D.又kAB3，所以km，所以直线m的方程为x3y30.由得圆心C(3，2)，则半径r|CA|5，所以圆C的方程为(x3)2(y2)225.(2)设点M(x，y)，Q(x0，y0)因为点P的坐标为(5,0)，所以即又点Q(x0，y0)在圆C：(x3)2(y2)225上运动，所以(x03)2(y02)225，即(2x53)2(2y2)225.整理得(x1)2(y1)2.

17、即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为(x1)2(y1)2.用代入法求轨迹方程的一般步骤活学活用已知ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程解：以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立坐标系(如图)，则A(2,0)，B(2,0)，设C(x，y)，BC中点D(x0，y0)|AD|3，(x02)2y9.将代入，整理得(x6)2y236.点C不能在x轴上，y0.综上，点C的轨迹是以(6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(12,0)和(0,0)两点轨迹方程为(x6)2y236(y0)层级一学业水平达标1圆x2y24x6y30的圆心坐标是()A(2,3) B(2,3)C(2，3) D

18、(2，3)解析：选C将x2y24x6y30配方，得(x2)2(y3)210，故圆心坐标为(2，3)故选C.2将圆x2y22x4y40平分的直线是()Axy10 Bxy30Cxy10 Dxy30解析：选C要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)A、B、C、D四个选项中，只有C选项中的直线经过圆心，故选C.3方程x2y22ax2bya2b20表示的图形为()A以(a，b)为圆心的圆 B以(a，b)为圆心的圆C点(a，b) D点(a，b)解析：选D原方程可化为(xa)2(yb)20，即表示点(a，b)4如果方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)所表示的曲线关于直线yx对称，

19、则必有()ADE BDFCEF DDEF解析：选A由D2E24F0知，方程表示的曲线是圆，其圆心在直线yx上，故DE.5当a为任意实数时，直线(a1)xya10恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程为()Ax2y22x4y0 Bx2y22x4y0Cx2y22x4y0 Dx2y22x4y0解析：选C直线(a1)xya10可化为(xy1)a(1x)0，由得C(1,2)圆的方程为(x1)2(y2)25，即x2y22x4y0.6设A为圆(x1)2y21上的动点，PA是圆的切线且|PA|1，则P点的轨迹方程是_解析：设P(x，y)是轨迹上任一点，圆(x1)2y21的圆心为B(1,0)，则|PA|21

20、|PB|2，(x1)2y22.答案：(x1)2y227已知圆C：x2y22x2y30，AB为圆C的一条直径，点A(0,1)，则点B的坐标为_解析：由x2y22x2y30得，(x1)2(y1)25，所以圆心C(1，1)设B(x0，y0)，又A(0,1)，由中点坐标公式得解得所以点B的坐标为(2，3)答案：(2，3)8圆C：x2y22x4y40的圆心到直线3x4y40的距离d_.解析：圆C：x2y22x4y40的圆心坐标为，即(1,2)，故圆心到直线3x4y40的距离d3.答案：39当实数m的值为多少时，关于x，y的方程(2m2m1)x2(m2m2)y2m20表示的图形是一个圆？解：要使方程(2m

21、2m1)x2(m2m2)y2m20表示的图形是一个圆，需满足2m2m1m2m2，得m22m30，所以m3或m1.当m1时，方程为x2y2，不合题意，舍去；当m3时，方程为14x214y21，即x2y2，表示以原点为圆心，以为半径的圆综上，m3时满足题意10点A(2,0)是圆x2y24上的定点，点B(1,1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点(1)求线段AP的中点的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段PQ的中点的轨迹方程解：(1)设线段AP的中点为M(x，y)，由中点公式得点P坐标为P(2x2,2y)点P在圆x2y24上，(2x2)2(2y)24，故线段AP的中点的轨迹方程为(x1)2y21.(2)

22、设线段PQ的中点为N(x，y)，在RtPBQ中，|PN|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ONPQ，|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，x2y2(x1)2(y1)24，故线段PQ的中点的轨迹方程为x2y2xy10.层级二应试能力达标1已知方程x2y22x2k30表示圆，则k的取值范围是()A(，1) B(3，)C(，1)(3，) D.解析：选A方程可化为：(x1)2y22k2，只有2k20，即k1时才能表示圆2若圆C：x2y22(m1)x2(m1)y2m26m40过坐标原点，则实数m的值为()A2或1 B2或1C2 D1解析：选Cx2y22(m1)x2(m1)y2m26m40表示圆，2(m1)22(m1)24(2m26m4)0，m1.又圆C过原点，2m26m40，m2或m1(舍去)