2.5.4三角形的内切圆

1、三角形的内切圆,数学湘教版 九年级下,复习旧知,该如何确定一个圆的位置和大小呢？,1. 已知圆心和半径。,2. 已知不在同一直线上的三个点。,O,r,A,B,C,O,r,复习旧知,ABC与圆O的关系: ABC是圆O的内接三角形； 圆O是ABC的外接圆； 圆心O点叫ABC的外心。,外心的性质： 三角形三边中垂线的交点； 外心到三角形三个顶点的距离相等； 外心不一定在三角形内部。,导入新知,在三角形内部画圆，当圆最大时，圆与三角形各边有什么位置关系呢？,和三角形三边都相切,新知讲解,想在一块三角形硬纸板上剪下一个面积最大的圆形纸板， 应当怎样剪？,议一议,这个圆应当与三角形的三条边都相切。,新知讲

2、解,与三角形的三条边都相切的圆存在吗？ 若存在， 如何画出这样的圆？,动脑筋,分析： 1. 如果圆与ABC 的三条边都相切， 那么圆心 O 与三角形三边的距离应等于圆的半径， 从而这些距离相等。,2. 到一个角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上， 因此圆心 O 应是A 与B 的平分线的交点。,新知讲解,作法： （1） 作A， B 的平分线 AD，BE，它们相交于点 O； （2） 过点O作AB的垂线， 垂足为M； （3） 以点O为圆心，OM为半径作圆 O就是所求作的圆。,D,E,O,M,画三角形的内切圆: 画角平分线定内心定半径画圆结论,新知讲解,这样的圆可以作出几个?为什么?, 直线BE

3、和CF只有一个交点I，并且点I到ABC三边的距离相等 和ABC三边都相切的圆可以作出一个，并且只能作一个。,新知讲解,一、内切圆的概念,与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心叫作三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形。,内切圆,内心,外切三角形,新知讲解,二、三角形内心的性质,内切圆,内心,外切三角形,三角形的内心是三角形角平分线的交点； 三角形的内心到三边的距离相等； 三角形的内心一定在三角形的内部。,新知讲解,三、三角形内心与外心的区别与联系,三角形三边中垂线的交点,1.OA=OB=OC； 2.外心不一定在三角形的内部。,三角形三条 角平分线的 交点,1.到三边的距离相

4、等；2.OA、OB、OC分别平分三角。 3.内心在三角形内部。,外心: 三角形外接圆的圆心,内心： 三角形内切圆的圆心,新知讲解,新知讲解,设ABC的内切圆的半径为r， ABC的各边长之和为l， ABC的面积为S，我们会有什么结论？,一、三角形的面积与周长和内切圆半径的关系,= + + ,= + + ,= + ,= ,三角形的面积等于其周长的一半与内切圆半径的积。,新知讲解,边长为8、15、17的三角形的内切圆半径为多少呢？,分析：根据“三角形的面积等于其周长的一半与内切圆半径的积。”可以求得半径。“8、15、17”勾股数，三角形为直角三角形。,面积：S= 8 15=60 周长：l=8+15+

5、17=40 根据：= ，可得半径r=3,新知讲解,如图，O是 RtABC的内切圆的圆心，OD AC，OE BC，OF AB，两直角边分别是a，b，c，则其内切圆的半径r与三边的关系为 。,二、直角三角形三边长与内切圆半径的关系,= + ,新知讲解,解：设AD=x，BE=y， OD AC，OE BC，OF AB， C=90 可得四边形ODCE是正方形。 则： += += += ，解得：= + ,直角三角形内切圆半径等于两条直角边之和减去斜边之差的一半。,新知讲解,已知直角三角形的斜边长为20，其内切圆半径为5，则该直角三角形的周长为 。,解：根据= + ， 可得：5= + a+b=30 周长为3

6、0+20=50.,50,新知讲解,如图 ， O 是ABC 的内切圆， A=70， 求BOC 的度数。,例题讲解,解： A = 70， ABC+ ACB = 180- A= 110. O 是ABC 的内切圆， BO， CO 分别是ABC与ACB 的平分线， 即 1 = ABC， 2= ACB. BOC= 180-（1+ 2） = 180- （ABC+ACB）= 180- 110=125 .,若O为圆心， BOC =90+ A,巩固练习,1. 三角形的内切圆能作_个, 三角形的内心在圆的_. 2. 如图，O是ABC的内心，则OA平分_, OB平分_，OC平分_. (2) 若BAC=100，则BOC=_.,1,内部,BAC,140,ABC,ACB,解：根据例题可知，BOC= 90+ BAC = 90+ 100 =140 .,课堂小结,一、内切圆的概念 与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心叫作三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形。 二、三角形内心的性质 三角形的内心是三角形角平分线的交点； 三角形的内心到三边的距离相等； 三角形的内心一定在三角形的内部。,1. 如图， O是ABC的外切圆，点I是ABC的内心，延长AI