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1、2 复合函数微分法,凡是学过一些微积分的人, 没有一个会对复合函数微分法的重要性产生怀疑.可以毫不夸张地说, 谁不懂得复合微分法, 谁就会在计算导数或偏导数时寸步难行.,二、复合函数的全微分,一、复合函数的求导法则,一、复合函数的求导法则,设函数,(1),(2),则可构成复合函数:,(3),其中 (1) 为内函数, (2) 为外函数, ( x, y ) 为中间变量,( s, t ) 为自变量.,下面将讨论复合函数 F 的可微性, 并导出 F 的偏导,数与全微分的复合运算法则.,关于 s 与 t 的偏导数分别为,(4),是,(6),(5),(7),现把 (5), (6) 两式代入 (7) 式，得

2、到,整理后又得,其中,(8),并求得 z 关于 s 和 t 的偏导数公式 (4),公式 (4) 也称为链式法则,能轻易省略的, 否则上述复合求导公式就不一定成,立例如,为内函数，则得到以 t 为自变量的复合函数,这说明：在使用链式法则时，必须注意外函数可微,这个条件.,解 所讨论的复合函数以 (u, v) 为中间变量, (x, y) 为,自变量, 并满足定理 17.5 的条件. 故由,根据公式 (4) 得到,例2,因此有,于是,解 复合后仅是自变量 t 的一元函数于是,例3,的复合函数对 t 求导数 (这种导数又称为“全导数”);,求偏导数二者所用的符号必须有所区别,例4 用多元复合微分法计算

3、下列一元函数的导数:,则有,由此可见，以前用 “对数求导法” 求一元函数导数,的问题, 如今可用多元复合函数的链式法则来计算.,解 令,由于,而实用的写法 (省去了引入中间变量):,助链式法则而求得的; 上述过程还有一种比较简洁,为此设,二、复合函数的全微分,分为,(11),可微的, 其全微分为,将 (13) 式代入 (12) 式, 得到与 (11) 式完全相同的结,果, 这就是多元函数的一阶 (全) 微分形式不变性.,利用微分形式不变性, 能更有条理地计算复合函数,的全微分,因此,并由此得到,复习思考题,1. 在一元函数章节里，利用对数求导法曾得到过一,个结果:,数与指数函数求导数而得到的. 有人认为这是偶然,的巧合，也有人认为这是必然的结果试问哪一,种看法是正确的？请说

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