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1、09:18,1,3 线性变换的特征值与特征向量,在有限维的线性空间中，取定一组基后，线性变换的矩阵就 确定下来。线性变换在不同基下的矩阵是相似的。这一节 初步讨论如何选择基，使得线性变换的矩阵的形式尽量简单。,线性变换的特征值与特征向量 若干例子 矩阵的特征值与特征向量 特征值与特征向量的求法 特征多项式, 齐次线性方程组 特征值的一些重要性质,09:18,2,例子: 线性变换的矩阵,09:18,3,线性变换的特征值与特征向量,1) 特征向量与经过线性变换后的向量共线.,09:18,4,例子,09:18,5,例子,思考: 对于n维欧氏空间中的镜像变换求出其特征值和特征向量.,09:18,6,特

2、征子空间, 矩阵的特征值与特征向量,如果存在非零列向量X使得,09:18,7,变换的特征向量与矩阵的特征向量,09:18,8,特征矩阵与特征多项式,一个n阶方阵在数域 K 上至多有 n 个特征值, 在复数域上正好有 n 个特征值(重根计算重数).,09:18,9,特征多项式的性质,线性变换的特征值是与基的取法没有关系的量 在不同的基下的矩阵应该有相同的特征值 矩阵的特征向量是线性变换的特征向量在基下的坐标 随着基的变化而变化,相似的矩阵有相同的特征多项式, 因此有相同的特征值,09:18,10,例题 3.5,解: (1) 特征多项式; (2) 求特征值； (3) 求解相应的齐次线性方程组; (4) 以矩阵的特征向量为坐标构造变换特征向量； (5) 写出特征子空间,09:18,11,例3.5 续,解: 1) 特征多项式,特征值：,2) 特征向量,的基础解系.,09:18,12,例3.5 续,的基础解系.,特征子空间:,特征子空间,09:18,13,变换的特征值与特征向量的求法,(1) 特征多项式; (2) 求特征值； (3) 求解相应的齐次线性方程组; (4) 以矩阵的特征向量为坐标构造变换特征向量； (5) 写出特征子空间,09:18,14,例题,因此, 矩阵R在实数域上没有特征值.,如果把R看成复数域上的矩阵, 则有两个特征值, 但没有

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