第4讲 数学模型2.ppt

1、,模型概念、定义与分类 重点：数学模型是一套数学关系式或数学符号，这些关系式或符号描述了系统的各种因素、特征、变量之间的数量关系或逻辑关系，是原型特性的数学描述。 模型分类 (按了解程度，可分为?) 机理模型及其建模方法 典型特征（确定的组份、可靠物性基础数据、三传一反规律）、 建立手段（系统分析与数学推演）和实例 经验模型及其建模方法 基本概念、建立手段（最小二乘法，使离差平方和最小）、统计检验和实例（F,有专门的计算机软件）,Review of last lecture ,模型评价:适用、简单、预测性好；,关于“三个箱子 ”,黑箱模型：属经验主义，数据里没有包含的情况，黑箱模型无法预测。外

2、 推受限。 白箱模型：为“量身度造” ，反映了过程的物理、化学等性质，对实际过程 的数据没有太大的依赖，对数据中不包含的情况也能可靠地预 测。但是白箱模型的结构由具体问题决定，得出的模型不一定 容易使用。 灰箱模型：在实际中，人们经常在假设一个模型结构的时候考虑进大大简 化的过程机理，所以模型结构不是凭空拍脑袋出来，而是粗略 地抓住了过程的基本特质，然后再用黑箱方法的“数据绞肉 机”，将简化模型没有能够捕捉的细微末节一网打尽。这种模 型结合了黑箱和白箱的特点。,过程模拟系统的模型,基本模型 过程单元模型 系统结构模型 经济分析（评价） 控制 管理 用户自编,流程模拟基本模型 纯组分性质 基本物

3、性 蒸汽压 蒸发热 液体密度 流体热力学性质 流体PVT关系 焓模型 逸度模型 流动模型 伯努利方程 相平衡模型 反应动力学与化学平衡 传递过程模型,2.6 流程模拟基本模型,2.6.1 纯组分性质,基本物性Basic properties 沸点、熔点、凝固点、三相点和临界参数(水？）。,（2） 蒸气压（Vapor pressure ） Clapeyron蒸气压方程 Antoine方程 Reidel关联式,精度不够高,回归模型,天津大学、华东理工、浙江大学、大连理工,2.6 流程模拟基本模型,马沛生教授分别用Antoine 方程、Thodos 方程、Riedel方程、Frost-kalkwar

4、f-Thodos和Miller 方程对 种化合物的极低压到沸点范围内的蒸气压实验数据，共517 个数据点进行了关联，结果表明在该压力范围内Frost-kalkwarf-Thodos方程的回归精度最高，而Antoine方程最简单且能满足要求。,(3) 蒸发热（蒸发焓，heat of vaporization ）,Riedel法(沸点下的蒸发焓估算法)：,单位质量的某种液体变成气体时所吸收的热量，叫做这种气体的蒸发热。,对于饱和液体，Rackett方程式简便而有效：,(4) 液相密度 Liquid density,2.6.2流体热力学性质模型,(1) 流体PVT关系,Peng-Robinson状态

5、方程（PR方程）,注意:交互作用参数kij ! 见P37,低压（绝压小于2atm）轻烃类混合物的气象可以认为是理想气体；中压（15-20），-的气相可以认为是理想溶液，但不是理想气体；高压下非理想的实际体系，需采用SRK方程对于氢气误差很大，PR方程，比SRK还要准确；这两个是烃系统计算比较好的方程。,（2） 焓模型,理想气体焓,（3） 逸度模型,（对于理想气体，逸度即是组分的分压）,根据实验数据回归,2.6.3 流动模型,对不可压缩流体有,上式中三项分别代表位能差、动能差和压力能差。,流体输送机械对系统做的功,忽略摩擦阻力损失和输入功，则：,广义柏努力方程：对稳定流动单位流体,2.6.4 相

6、平衡模型,当采用状态方程法计算气液平衡时，由于逸度是温度、压力和组成的函数，故气液平衡常数 需利用下述联立方程组解算：,ki=f(T，P，xi，yi) 隐函数，需要迭代计算,极性物质： 液相：活度系数模型；气相：状态方程 （组合法） 液体活度系数模型： Margules(1895) Van Laar(1910) Wilson(1964)(现仍在使用,只能用于气-液系统) Non-random Two-Liquid (NRTL)(1968)（可用于气-液-液） Regular Solution(1975)(准确性不高) UNIQUAC(1975)(准确性也不很好) UNIFAC(1975)(基团

7、贡献法，应用较多，不需要任何的二元交互作用参数) 首选NRTL方程，其次可以选择Wilson方程，再不行用UNIFAC方程,2.6.5 反应动力学模型与化学平衡模型,化学平衡问题：正反应的速率与逆反应的速率相等,化学反应速率 = 速率常数 * 各个反应物浓度,2.6.6 传递过程模型,傅立叶(Fourier)定律就描述了基本的热传导规律,传递的物理量：动量、热量和质量,传递现象：物系某物理量从高强度向低强度区域转移的过程,Q:传热量；：时间；：热导率；A：传热面积；T:温度；X：距离,流程模拟基本模型 Summary 纯组分性质 基本物性 蒸汽压 蒸发热 液体密度 流体热力学性质 流体PVT关

8、系 焓模型 逸度模型 流动模型 伯努利方程 相平衡模型 反应动力学与化学平衡 传递过程模型,实验数据,专用或通用计算方法,基团贡献等估算方法,过程模拟系统的模型,基本模型 过程单元模型 系统结构模型 经济分析（评价） 控制 管理 用户自编,2.7 过程单元模型*,单元过程模型 Unit Operation Model 钝性流体器械：流股混合器/流股分割器（ Mixers/Splitters）等； 活性分离器械：精馏塔、吸收塔、萃取塔等（ Columns） 单级平衡级器械：闪蒸器（等温闪蒸、绝热闪蒸等） flash，Separators ； 压力变化器械：泵、压缩机、膨胀机等（pumps，Pre

9、ssure Changers ） 温度变化器械：换热器、再沸器、冷凝器等（ Heat Exchangers ）； 化学反应器：转化率反应器、化学计量反应器、平衡反应器等（Reactors） 单元模块：根据相应的模型，连同其解算方法一起编写的一段程序。 在模块中既有模型，又有求解模型的算法，因此，只要把求解模型所需的已知信息输给模块，就可以解算出结果。,典型的单元过程模型建立过程,自由度分析（Degree of freedom,m3,U,设备参数、操作参数G,输入流股 m1,输出流股 m2,总独立变量数m=m1+m2+m3 假定有n个独立方程,通用单元模型,方程组,与外界的能量交换或功,单元数学

10、模型：方程组 （1）列出有关变量 确定单元过程输入/输出流股变量中的独立变量数：单股均相流的自由度：C+2 确定与过程有关的设备特性参数和操作参数（例如：反应器有效容积、换热器的面积、传热系数、精馏塔的理论板数和回流比等）; 确定过程从外界得到(或向外界放出)的热量和功 （2）列出表示各物流之间有关变量约束关系的全部独立方程（或经过推演） （基本约束方程、物料平衡、能量平衡、动量平衡，压力平衡、化学平衡、动力学、传热（质）速率、流动阻力等方程）,(3)找决策变量-模型的自由度 含义： 模型的自由度-模型（note:不是物流）中的独立变量数 目的： 在求解模型之前，通过自由度分析正确地确定独立变

11、量数，可以避免由设定不足或设定过渡引起地方程无解。 【根据数学知识可知，n个不矛盾的独立方程，可以而且只能求解n个未知数。当独立方程数大于未知变量数时，方程组无解；当独立方程数小于未知变量数时，方程组有无穷多组解。】 模型自由度（定义）：变量数与独立方程数的差即为模型的自由度。若变量总数为n，独立方程数为m，自由度为F，则 Fnm 物理意义: F个独立变量，它们的值在求解模型方程时必须预先规定； 其余变量为状态变量，它们的值由模型方程规定。,自由度实质？,单元自由度分析,混合器 分流器（分割器） 闪蒸器 无相变换热器 反应器 压力变化单元 平衡级,1 物流混合器,变量数：n= 3(C+3）+1

12、 物流独立变量：3(C+3) 与过程有关的设备特性参数和操作参数：0 过程从外界得到的热量和功：1,独立方程：m=C+4 基本约束方程 3个； 物料平衡方程：F1Xi1+F2Xi2=F3Xi3 C个； i 个组分 焓平衡方程： F1H1+F2H2=F3H3 1个；能量（热量）平衡方程 模型的自由度：F=n-m= 3(C+3)+1-(C+4)= 2C+6； 上述方程组即为物流混合器的数学模型。,2 分流器,变量数：m=3(c+3)+1,独立方程亦即物流混合器的数学模型为： 基本约束方程 3个 能量衡算方程 1个 物料衡算方程 C个 浓度相等 C-1个 温度相等 1 压力相等 1 模型的自由度：F

13、=n-m= 3(C+3)+1-(2C+5)= C+5,m=2c+5,3 闪蒸器,变量数： n=3(C+3) +1,独立方程：m=2C+6 基本约束方程：3个 能量衡算方程： 1个 物料平衡方程： C个,相平衡方程： C个 温度相等：1个 压力相等：1个,模型的自由度：F=m-n= 3(C+3)+1-(2C+6)=C+4,闪 蒸器 P,(物理描述-一股物流节流阀减压后进入闪蒸器，在无外供热量的情况下，部分物料汽化，产生汽液两相，两相的流量分别为V和L、两相的组成分别y和x),n=2(c+3)+1 m=c+3(压力平衡，热量平衡） 基本约束方程：2 物料衡算方程：c 能量衡算方程：1 F=n-m=

14、c+4,4 压力变化单元,泵,压缩机,n=2(c+3)+1 m=c+3(压力平衡，热量平衡） 基本约束方程：2 物料衡算方程：c 能量衡算方程：1 温度相等： 1 F=n-m=c+3,一般阀门,5无相变换热器,变量数：n=4（c+3）+1+1 独立方程：m=2c+6 热流：基本约束方程：2 物料衡算方程：c 冷流：基本约束方程：2 物料衡算方程：c 整体：能量衡算方程：1 传热方程：1 自由度：F=n-m=2c+8,6 反应器,变量数：n=2(c+3)+1+r r:独立反应数 独立方程数：m=c+3 基本约束方程：2 物料衡算方程：c 能量衡算方程：1 自由度：F=n-m=c+r+4,7平衡级

15、,过程变量：n=4(c+3)+1 独立方程：m=2c+7 基本约束方程：4 物料衡算方程：c 能量衡算方程：1 相平衡方程：c 温度、压力相等：2 自由度：F=n-m=2c+6,化工系统的自由度分析,化工系统的过程变量： 独立方程数： 系统自由度： 举例 平衡级联 泵与阀门组成的管路,过程模拟系统的模型,基本模型 过程单元模型 系统结构模型 经济分析（评价） 控制 管理 用户自编,OK,2.5 流程结构模型 概念：流程结构模型表达了系统中各个局部之间的连接关系，描述了组成系统的拓扑结构。 用途：解决全流程计算的顺序问题和连接上下游设备间的物流的取值问题。,拓扑（Topology）是将各种物体的

16、位置表示成抽象位置。在网络中，拓扑形象地描述了流程的安排和配置，包括各种结点和结点的相互关系。化工流程中的反应器、精馏塔等设备要实现互联，就需要以一定的结构方式进行连接，这种连接方式就叫做“拓扑结构”，通俗地讲这些单元设备如何连接在一起的。,流程结构模型的表达形式： 三个层次（形式）： 图形形式 （处于最外层，是最接近实际系统的层次） 矩阵形式 代数形式（最内层，适于计算机处理),图形表达方式： 工艺流程图（用图形符号表明工艺流程所使用的机械设备及其相互联系 的系统图。) 信息流图（information flow diagram） 由节点(模块，基本过程、基本单元或设备）+有向联线组成；有标

17、号和名称； 联线对应物流 信号流图（signal flow diagram）：实际上是用一些点和支路来描述 系统（点代表物流，支路代表单元之间的函数关系，与单元并不一一对应）。,信息流图和信号流图的转换,信息流图和信号流图是在化工过程模拟中常用的两种表示物流之间相互关系的图例，信息流图和信号流图之间可以相互转换。通过信息流图可以得到设备和物流的全部信息，而信号流图只有各物流之间的关系，没有设备的信息。,信号流图,信息流图,2.5.1 图形表达方式（p32）,混合,换热,反应,分离,？,1,2,3,4,5,6,7,8,9,工艺流程简图,信息流图,？,例1,(能流),NOTE: 如果只采用物流的概

18、念，由于物流之间的能量交换便会造成信息流图中连线的往返交叉和耦合，导致分析问题的不便和模拟处理的困难，这时运用能流（Energy flow）的概念可使信息流图大为简化和明了，如： 水蒸气加热 水冷却（在水系统模拟时考虑） 冷却剂冷却（制冷系统模拟时考虑） 工艺物流之间的换热一股给出能流，另一股获得能流,合 成 塔,分 离 器,新鲜原料气,液氨,氨合成系统-信息流程图,例2,例3 乙烯氧化法制环氧乙烷,?,信息流图,反应器,分 离 器,简化工艺流程图,X0,X2,X1,X3,X6,X5,Note：,化工系统的工艺流程图可以方便的转化为信息流程图（亦称结构单元图）。结构单元称为节点，可以是一个单元

19、设备，也可以是一个虚拟设备。 结构单元和物流分别进行编号，以便对系统结构进行数学描述。其目的是用于对工艺流程图进行分析，以便计算机求解。 信息流程图与工艺流程图不一定是完全一一对应的（比如信息流图中的混合块(分流块），在生产现场可能就是一个三通，而某些次要的辅助设备，比如流程图中的泵，在流程图中绘出，在信息流图中却不一定出现。,2.5.2 系统结构模型的矩阵表达方式,过程系统的模型化是指用数学方法来描述系统结构，必须保证从模型返推回流程的唯一性。通常用矩阵来表示系统结构（也就是说用矩阵表示单元与单元、元与物流之间的关系）。常用的四种系统结构的矩阵表达方式： 过程矩阵(Process Matri

20、x) 流线联系矩阵(Stream connection Matrix) 关联矩阵(Incidence Matrix) 邻接矩阵(Adjacency Matrix),1 )过程矩阵(Process Matrix)-Rp,在过程矩阵中，矩阵行的序号与结构单元的序号对应，各行中矩阵元素的数值为与该单元有关的物流号，并规定流入该单元的物流取正值，流出物流取负值。有关物流的先后次序是任意的。矩阵的行数对应模块数；列数对应单元模块的最大输入输出流线数。,以 单元为主,结构单元号 计算时名称 有关物流号 1 MIXER 1 5 -2 2 REAO 2 -3 3 DISTIL 3 -4 -5 相应的过程矩阵为

21、 Rp = 1 5 -2 2 -3 3 -4 -5,2）流线联系矩阵(Stream connection Matrix)-Rs,在流线联系矩阵中，每条流线对应一行，有几条流线就有几行（总流线数=行数）。而矩阵只有两列（from单元和to单元）。每行中的列元素对应着该流线的来源模块（从模块）和去向模块(到模块)。 如果来源于系统以外或输出至系统外，则该列元素就取为0（意义？）。,Mix1 react1 sep1,以 物流为主,行号 从单元 到单元 1 混合 2 混合 反应器 3 反应器 分离器 4 分离器 5 分离器 混合器 相应的流线联系矩阵为 Rs= 0 mix01 mix01 react1

22、 react1 sept01 sept01 0 sept01 mix01,Note：过程矩阵与流线联系矩阵反映的信息是相同的！,3) 邻接矩阵(Adjacency Matrix)-Ra,表达两个单元之间的关系-或相互联接或不联接；一个由n个单元组成的系统的邻接矩阵是一个nn方阵。邻接矩阵中行和列的序号分别代表单元的序号。矩阵元素的数值由单元之间的连接情况决定。“行”代表来源节点（from单元），“列”代表物流目标节点（to 单元）。 Rij=1，有表示物流从单元i流向单元j Rij=0，无表示物流从单元i流向单元j,两个 单元的关系,4) 关联矩阵(Incidence Matrix),表示单元

23、与物流的关系。在关联矩阵中，行序号与结构单元号对应（行数=节点数）而列序号与物流号对应（列数=物流数）。矩阵中元素取值为逻辑值1，-1和0；矩阵中i行j列元素的值若为1，表示物流j流入单元i;若为1，表示j从单元i流出；若为0，表示物流j与单元i没有联系；当j列总合为零，且+1在-1之前出现，则表示该流股是（？）。,从关联矩阵中可以看出输入流、输出流及其循环流股。,单元 与物流有无关联,共同点：物理意义相同，都是系统结构的数学模型，与一定系统 结构相对 应：表明了系统有哪些单元构成，这些单元是怎样联系的； 不同点：形式不同，按不同的需要建立，适应系统模型的不同求解方法。 邻接矩阵比较简单，适合矩阵运算； 过程矩阵和流线联系矩阵适合做顺序计算的需要； 从关联矩阵中可以容易地