专题一 数学思想方法.ppt

1、专题一 数学思想方法,1.数学思想方法是数学的生命和灵魂，是数学知识的精髓，是把知识转化为能力的桥梁.随着中考改革的深入，中考试题从知识型转变到能力型，更加突出了对数学思想方法的考查.,2.分析近几年的中考试题,不难看出,中考命题都遵循着两条线:一条是明线:以选择题、填空题、解答题等外在形式考查数、式、方程、函数、三角形、四边形、圆等初中数学的重点内容;一条是暗线:通过试题重点考查初中数学常用的思想方法.,3.对数学思想方法的考查主要集中在两个方面：一是代数综合题，其特点是：综合考查多个知识点；与生产生活实际内容相结合.用到的数学思想方法有化归思想、分类讨论思想、整体思想以及代入法、消元法、待

2、定系数法等.二是代数与几何的综合题，其特点是：题目所涉及的数学思想方法很多，以数形结合思想为主线，综合考查其他思想方法的灵活运用，难度较大，一般为中考中的压轴题.,分类讨论思想,【技法点拨】 定义：在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法. 分类原因：分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性， 引起分类讨论的原因主要是以下四个方面：,(1)问题所涉及的数学概念是分类进行定义的; (2)问题中涉及的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的; (3)解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值

3、范围进行讨论; (4)题目条件笼统，存在不确定的数量,不确定的图形的形状或位置,不确定的结论等.,【例1】(2011聊城中考)如图，在矩形 ABCD中，AB12 cm，BC8 cm，点 E,F,G分别从点A,B,C三点同时出发，沿 矩形的边按逆时针方向移动，点E,G的速 度均为2 cm/s，点F的速度为4 cm/s，当 点F追上点G(即点F与点G重合)时，三个点随之停止移动设移动开始后第t秒时，EFG的面积为S(cm2),(1)当t1秒时，S的值是多少？ (2)写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围 (3)若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E,B,F为顶点的三角形与以

4、点F,C,G为顶点的三角形相似？请说明理由,【思路点拨】(1) S=S梯形EGCB-SEBF-SFCG. (2)求S和t之间的函数解析式时要分0t2和2t4来求得. (3)由于以点E,B,F为顶点的三角形与以F,C,G为顶点的三角形相 似的对应关系不明确，因此本题也要分类讨论.,【自主解答】(1)如图甲，当t1秒时，AE2，EB10，BF 4，FC4，CG2， 由 图甲 图乙,(2)如图甲，当0t2时，点E,F,G分别在AB,BC,CD上移动， 此时AE=CG=2t，EB122t，BF4t，FC84t，S8t2 32t48(0t2). 如图乙，当点F追上点G时，4t2t=8，解得t4，当2 t

5、4时，CF4t8，CG2t，FGCGCF82t，即S 8t32(2t4).,(3)如图甲，当点F在矩形的边BC上移动时，0t2，在EBF 和FCG中，BC90，若 即 解 得 又 满足0t2，所以当 时，EBFFCG; 若 即 解得 又 满足0t2，所 以当 时EBFGCF，综上知，当 或 时，以点E,B,F 为顶点的三角形与以点F,C,G为顶点的三角形相似.,【对点训练】 1.(2012广安中考)已知等腰ABC中，ADBC于点D，且 则ABC底角的度数为( ) (A)45 (B)75 (C)45或15 (D)60 【解析】选C. 设等腰三角形的底角为x，AB=AC时， AD=BD=CD，4x

6、=180，x=45； 当AC=BC时， ACD=30，x=15. 等腰三角形的底角为45或15.,2. (2011大理中考)如图，已知B与 ABD的边AD相切于点C，AC4，B的 半径为3，当A与B相切时，A的半 径是( ) (A)2 (B)7 (C)2或5 (D)2或8 【解析】选D.连结BC，BCAD，AC4，BC=3， AB=5，当A与B相外切时，A的半径是2;当A 与B相内切时，A的半径是8,3.(2012张家界中考)已知线段AB=6，C,D 是AB上两点，且AC=DB=1,P是线段CD上一动 点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边 三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点C移动

7、到点D时， G点移动的路径长度为_.,【解析】以点A为原点，AB所在直线为x轴， 建立如图所示的直角坐标系，当点P在点C时， 这时E1点坐标为 F1点坐标为 可得点G1坐标为 当点P到达点D时， 这时E2点坐标为 F2点坐标为 这时可得点G2坐 标为 从而可得线段G1G2的长度为2，所以G点移动的路径 长度为2. 答案：2,数形结合思想,【技法点拨】 定义：数形结合思想是指从几何直观角度，利用几何图形的性质研究数量关系，寻找代数问题的解决途径，或利用数量关系来研究几何图形的性质、解决几何问题的一种数学思想. 其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化.,解

8、题关键：数形结合的应用内涵主要体现在两个方面：一是利 用图形的直观性研究数量关系，二是应用数形结合的工具(数轴、 平面直角坐标系)通过数量关系研究图形性质.在运用数形结合 思想分析和解决问题时，要注意三点： (1)是要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及函数图象的 代数特征，对题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其 代数意义；(2)是恰当设未知数建立关系，由数思形，以形想 数，做好数形转化；(3)是正确确定未知数的取值范围.,【例2】(2012益阳中考)已知：如图，抛物线y=a(x-1)2+c与x 轴交于点 和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落 在点P(1，3)处.,(1)求原抛物线的

9、解析式. (2)学校举行班徽设计比赛，九年级5班的小明在解答此题时顿 生灵感：过点P作x轴的平行线交抛物线于C，D两点，将翻折 后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型 的班徽，“5”的拼音开头字母为W，“W”图案似大鹏展翅，寓 意深远；而且小明通过计算惊奇地发现这个“W”图案的高与宽 (CD)的比非常接近黄金分割比 (约等于0.618).请你计算这 个“W”图案的高与宽的比到底是多少？(参考数据： 结果可保留根号),【思路点拨】,【自主解答】(1)P与P(1，3) 关于x轴对称， P点坐标为(1，-3). 抛物线y=a(x-1)2+c过点 顶点是P(1，-3) ， 则抛物线

10、的解析式为y=(x-1)2-3， 即y=x2-2x-2.,(2)CD平行于x轴，P(1，3) 在CD上， C，D两点的纵坐标为3； 由(x-1)2-3=3得： C，D两点的坐标分别为 “W”图案的高与宽(CD)的比 (或约等 于0.612 3).,【对点训练】 4.(2012黔东南中考)如图，点A是反比例函数 的 图象上的一点，过点A作ABCD，使点B，C在x轴上，点D在y轴 上，则ABCD的面积为( ) (A)1 (B)3 (C)6 (D)12,【解析】选C.设点A的坐标为(a,b)，则AD=BC=-a,BC边上的高 为b,所以ABCD的面积为-ab,因为点A(a,b)在反比例函数 的图象上

11、，所以 所以ab=-6，所以ABCD的面 积为-ab=6.,5.(2012兰州中考)二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所 示，若|ax2+bx+c|=k(k0)有两个不相等的实数根，则k的取值 范围是( ) (A)k-3 (B)k-3 (C)k3 (D)k3,【解析】选D .由题意知 b2-4ac=12a,当 ax2+bx+c0时，k0.当ax2+bx+c0,12a-4ak0,4ak12a,k3,所以k的取值范围为 k3.,6.(2012株洲中考)如图，已知抛物线与x轴的一个交点A(1， 0)，对称轴是x=-1，则该抛物线与x轴的另一交点坐标是( ) (A)(-3,0) (B)(-

12、2,0) (C)x=-3 (D)x=-2,【解析】选A.因点A到对称轴的距离为1+|-1|=2，所以抛物线与x轴的另一交点到对称轴的距离也为2，在原点的左侧,则到原点的距离为3，故另一交点坐标为(-3，0).,化归转化思想,【技法点拨】 定义：解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题(相对来说自己较熟悉的问题)，通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”.,化归与转化应遵循的五个基本原则： (1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运

13、用熟知的知识、经验和问题来解决. (2)简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据.,(3)和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律. (4)直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决. (5)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解.,【例3】(2011绍兴中考)数学课上，李老师出示了如下框中 的题目. 在等边三角形ABC中，点E在AB上， 点D在C

14、B的延长线上，且ED=EC， 如图.试确定线段AE与DB的大小关系， 并说明理由.,小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： (1)特殊情况，探索结论 当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论： AE_DB(填“”“”或“=”).,(2)特例启发，解答题目 解：题目中，AE与DB的大小关系是:AE_DB(填“”“” 或“=”).理由如下： 如图2，过点E作EFBC，交AC于点F. (请你完成以下解答过程) (3)拓展结论，设计新题. 在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且 ED=EC.若ABC的边长为1，AE=2，求CD的长(请你直接写出

15、 结果).,【思路点拨】,【自主解答】(1)= (2)= 剩余解题过程：在等边三角形ABC中,ABC=ACB=BAC=60,AB=BC=AC, EFBC,AEF=AFE=60=BAC, AEF为等边三角形,AE=AF=EF,AB-AE=AC-AF,即BE=CF, 又ABC=EDB+BED=60,ACB=ECB+FCE=60, ED=EC,EDB=ECB,BED=FCE, DBEEFC,DB=EF,AE=DB. (3)1或3,【对点训练】 7. (2011内江中考)如图，在等边 ABC中，D为BC边上一点，E为AC边 上一点，且ADE=60，BD=4， 则ABC的面积为( ) (A) (B)15

16、 (C) (D),【解析】选C. ABC是等边三角形，ADE=60， B=C=ADE=60，AB=BC. ADB=DAC+C，DEC=ADE+DAC， ADB=DEC，ABDDCE， BD=4， 设AB=x，则DC=x-4， x=6，AB=6. 过点A作AFBC于F，在RtABF中，,8.(2011邵阳中考)数学课堂上，徐老师出示了一道试题： 如图所示，在正三角形ABC中，M是BC边(不含端点B，C)上任意一点，P是BC延长线上一点，N是ACP的平分线上一点，若AMN=60，求证：AM=MN.,(1)经过思考，小明展示了一种正确的证明过程，请你将证明 过程补充完整. 证明：在AB上截取EA=MC，连结EM，得AEM. 1=180-AMB-AMN，2=180-AMB -B， AMN=B=60，1=2. 又CN平分ACP， MCN=3+4=120,又BA=BC，EA=MC，BA-EA=BC-MC，即BE=BM. BEM为等边三角形，6=60. 5=180-6=120. 由得MCN=5, 在AEM和MCN中， _,_,_, AEMMCN(