社会统计学(卢淑华)-第十三章

1、第十三讲 方差分析（定类定距） （ x、 y属丌同变量层次）,定类定距是常见的现象：,性别考试成绩 地区平均收入 民族离婚率 方差分析：分析或检验总体间均值是否有所不同，而 不是方差是否不同。检验所用的手段则是通过方差 来进行的。 种类：一元方差分析（一个定类变量）,二元方差分析 三元方差分析,不只一个,第一节 一元方差分析, ,一、方差分析的假定 1、与回归的比较（定距定距） 自变量控制后，因变量是一连串的值 （ yi 为随机变量） 回归：可以找出自变量与因变量之间的 变化方向。 方差：自变量取不同类别时，因变量 yi 的均值是否有所不同,例：回归不方差分析比较,职业声望,受教育程,度,80

2、,18,70 60 50 40,15 12 10 8,职业,子女数,工人（4人） 2；1；3；2；,干部（3人） 农民（3人）,1；2；1； 2；3；4；, 21 m , ,2、方差分析的假定： （对因变量分布的必要限制，只有总体分 布满足这些限制的条件下，方差分析的讨 论才是有意义的） 1）等方差性 总体中，自变量 xi 的每一个数值 A1 , A2 , Am 对应的因变量 yi 的分布都具有相同的方差 2 2 2,注意：,1、总体方差相等，样本方差不一定相等。 2、来自等总体的样本方差不会相差太远，最 大与最小相差不超过2-3倍。 3、总体方差可通过样本方差进行点估计。 公式：样本容量的加

3、权：,n1 1S12 n2 1S22 n1 1 n2 1 ,S 2 , ,2）yi 的分布为正态形 要求每一个 Ai 所对应的 yi 分布都呈正态 性（与回归一致） 总结：,yi 应满足正态分布,N ui , 2 ,二、方差 分析的检验：,设：总体自变量A共分为m类，A1 , A2 , Am,从A1 中抽取 n1 A2 n2 Am nm 则有统计表：,A1,A2,Am,21 22,m1 m 2,y1n1,y2n2,y,nm,m,y11 y12 ,y y ,y y ,y1,y,2,y,m,原假设 H 0 ： u1 u2 um 备择假设 H 1 ：有一个以上类别，其均值不等 统计量：,BSS RS

4、S,F ,m 1 n m,F m 1, n m,当 F F 时，拒绝原假设 当 F F 时，接受原假设,总平方和：TSS ( yij y ),组间平方和： BSS (yi y ) n i ( yi y ),m n i m,统计量的推导不计算,2,2,2,TSS BSS RSS,i 1 j1 i 1,2 i 1 j1,m n i i 1 j1, y, yij n n i yi,ij,1,1 n,1 n i,n i j1,总平均值：y ,第i类样本的组平均值： yi ,统计量的计算还需： 观测总数：n n i,例：下列资料，迚行方差检验。,教师（n=5) 读书数 （本/年） 8 10 12 20

5、5,学生（n=5）读书数 （本/年） 10 3 6 12 5,yij y ,E1 TSS ,2, ij ,y y,RSS。,2,E RSS ,i, ,当方差分析检验呈显著性后，讨论两变量 之间的相关程度，用减少误差比例PRE的 方法： E1 ：不知因变量y与自变量取值A1 , A2 , Am 有关时，预测y所犯的错误，其值为TSS。 m n i 1 j 1 E 2 ：知道因变量y 与自变量取值 A1 , A2 , Am 有关后，预测y时所犯的错误，其值等于 m n 2 i 1 j 1,2,三、相关比率 eta,E1 E2 TSS RSS BSS BSS为已经被自变量解释掉的误差，解释掉的 误差

6、越大，变量之间的关系越密切，因此：,TSS,eta2 BSS,例：,已知：BSS=3.5 RSS=95 求eta2,练习：以下资料求eta2,甲地（家庭人口 数） 6 7 7 3 5,乙地（家庭人口 数） 4 4 5 3 5,丙地（家庭人口 数） 3 3 2 4 2,第三节 二元方差分析 （自变量增加到两个 ),一、二元方差分析的数学模型,（一）两种模型 1、自变量A、B独立的对因变量发生影响： 独立模型（或线性可加性模型） 每一观测值 yi 均为三种以上因素作用的结 果：yij y Ai 的效果 B j 的效果 ij 2、同时考虑A、B两变量的交互影响： 交互 模型： yij y Ai 的效

7、果 B j 的效果 ABij 交互作用 ij,（二）两种模型对观测值数目的要求 1、对独立模型： A共有a 种取值，B共有b种取值，对于可 能取值 a b 种搭配，每种情况只要随机 抽取一次，组成 a b 个观测值即可。 2、对具有交互作用的模型： 如果a b 种搭配只进行一次观测，则无 法区别数据的变化是由于自变量的交互 作用，还是外界未知因素干扰的结果。 因此，对于a b 种搭配，每种情况至少 要观测2次，则总观测数为a b r r 2, ,A与B两个变量独立，图形是平行线,（三）、忽略外界干扰因素后的两种模 型的图形： 0 1、理想的独立模型 yij y Ai 的效果 B j 的效果 例

8、：教员不同教学方法(A)和不同性格(B) 对教学效果的影响。,A1 注入式教学法 A2 启发式教学法,B1 性格内向 B1 性格外向, ,2、理想的交互模型： yij y Ai 的效果 B j 的效果 ABij 交互作用 线段失去平衡是变量间存在交互作用的 标志。,使每种搭配 至少测量二次以上 。 2rBA, ,（四）实际的模型 在存在干扰情况下 ij ，上述线段不再是平行 线，有三种情况： 1、本身为独立模型，其图形为非平行性是由 外界随机因素干扰而成的： yij y Ai 的效果 B j 的效果 ij 2、非平行性是由交互作用引起的。 yij y Ai 的效果 B j 的效果 ABij 交

9、互作用 3）非平行性由交互因素和随机因素引起的。 yij y Ai 的效果 B j 的效果 ABij 交互作用 ij 由于交互影响（长驻）与随机干扰（随机）性 质不同，因此，为使交互作用表现出来，必须 i j,二、无重复情况下二元方差分析, ,（一）无重复情况下二元方差分析的假 定和假设。 原假设 H 0 为：1、ai 0i 1a 2、 i 0 j 1b 备择假设 H 1 为：参数不全为0, ,（二）、方差分析的 检验 统计量的推导（平方和的分析法） 1、样本观测值,T*1 T*2,T*j,B1 B2, B j, Bb,A1 y11 y12,A2 Ai y21 yi 1 y22 yi 2,Aa

10、 ya1 ya 2, y1 j, y,2 j, y,ij, yaj, y1b T1*, y2 b T2*, yib Ti*, yab,i 1 yij a T * j,j 1 yij b T i*,yi , yij a i 1 yi b j 1 y j, ,2、行平均值 y j,1 a 1 a,y j ,y ,1 a 1 b,1 ab, 5、总离差平方和TSS 2 A B,y j 是A的平均值，因此，A的影响已被抵消，只 反映变量B对A的影响。 3、列平均值 yi ：按列将观测值加总求平均 1 a 1 b 4、总平均值, T i* T *,1,BssA b i1,：变量B的离差平方和（已被变量B

11、,：剩余平方和,未被A、B解释掉的误差,7、BssB,8、 Rss,6、BssA ：变量A的离差平方和（已被变量A 解释掉的错误） 2 a 2 ab,解释掉的错误） 2 b 2,Rss ,9、变量A的平均离差平方和, ,10、变量B的平均离差平方和, , ,BssA a 1,BssA ,a 1 为自由度,BssB b 1,BssB ,b 1 为自由度,11、平均剩余误差平方和 Rss a 1b 1 a 1b 1 为自由度,Fb 1a 1b 1,F B ,统计量：, ,Rss Rss,A,F A ,Fa 1a 1b 1,F,RssB Rss 根据显著性水平 ，查附表得 A B 若： A A 显著

12、即拒绝域，原假设不成立 F A A 相反，接受域，原假设成立； F B B 显著即拒绝域，原假设不成立 F B B 相反，接受域，原假设成立, ijk 相互独立，且有,0, ,三、重复情况下的二元方差分析,i,备择假设 H 1 ：参数不全为0,(一）、假设与假定 除考虑自变量A和B的独立作用外，还要A和B的 交互作用，其数学模型为： yijk u ai j a ij ijk k 1,2r (r为 A B j 每种搭配重复数） 2 原假设 H 0 ：ai 0 j 0, 0, a ij,T *, yijk abr,y ,y j ,（二）、重复情况下二元方差分析的检验, ,对每一种搭配各进行r次重复

13、的独立观测， 得到a、b、r个样本观测值。 1、总平均值： 1 abr 2、行平均值： T * j* ar 3、列平均值：yi T i* br,Tss , Bss A BssB ,T T *,4、格平均值：,T r,ij,yij, Rss,AB, 5、总离差平方和TSS： 2 yijk y,6、Bss A ：列间平方和变量A解释掉的误差。,2 i* br abr,Bss A ,BssB ,T T,T T,Rss yijk yij , ,2 2 ij* * r abr,Bss ,7、行间平方和： 2 2 * j* * ar abr 8、交互作用： AB AB Bss BssA BssB,9、剩余误差RSS： 2 Rss Tss BssA BssB AB, ,检验的统计量为： H 0 ： a ij 0 H 1 ：不全为0 统计量：,abr 1 a 1b 1,F A B, AB Rss, AB Rss