高等代数行列式.ppt

1、第三章 行列式,3.1 线性方程组和行列式,3.2 排列,3.3 n阶行列式,3.4 子式和代数余子式 行列式依行(列)展开,3.5 克拉默法则,课外学习6：行列式计算方法 课外学习7：q_行列式及其性质,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,能够作出数学发现的人，是具有感受数学中的秩序、和谐、对称、整齐和神秘美等能力的人，而且只限于这种人。 庞加莱(Poincare，18541921) 一个数学家，如果他不在某种程度上成为一个诗人，那么他就永远不可能成为一个完美的数学家。 外尔斯特拉斯（Weierstrass，18151897）,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,3.1 线性方程组和行列

2、式,一、内容分布 3.1.1 二阶、三阶行列式的计算(对角线法则) 3.1.2 行列式在线性方程组中的应用 二、教学目的： 1.了解二阶、三阶行列式的定义。 2.会利用对角线法则计算二阶、三阶行列式。 三、重点难点： 利用对角线法则计算二阶、三阶行列式,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,3.1.1 二阶、三阶行列式的计算(对角线法则),二阶行列式,我们用记号,表示代数和,称为二阶行列式, 即,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,三阶行列式,我们用记号,表示代数和,称为三阶行列式, 即,主对角线法,三元素乘积取“+”号； 三元素乘积取“-”号.,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,3.1

3、.2 行列式在线性方程组中的应用,(1) 如果含有两个未知量两个方程的线性方程组(1),它的系数作成的二阶行列式,那么方程组(1)有解,(2) 如果含有三个未知量三个方程的线性方程组(2),他的系数作成的三阶行列式,那么方程组(2)有解,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,这里,我们的目的是要把二阶和三阶行列式推广到n阶行列式,然后利用这一工具来解答含有n个未知量n个方程的线性方程组.,例题选讲,解:由阶行列式的定义有:,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,3.2 排列,一、内容分布 3.2.1 排列、反序与对换 3.2.2 奇、偶排列的定义及性质 二、教学目的 了解排列、反序、对换的定义

4、 三、重点难点 求反序数,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,3.2.1 排列、反序与对换,例如: 1234，2314都是四个数码的排列。,n个数码的不同排列共有n！个,例如：1，2，3这三个数码的全体不同的排列一共有3！= 6个，它们是：123，132，231，213，312，321。,定义2 在一个排列里，如果某一个较大的数码排在某一个较小的数码前面，就说这两个数码构成一个反序。,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,一个排列的反序数可能是偶数也可能是奇数。有偶数个反序的排列叫做一个偶排列；有奇数个反序的排列叫做奇排列。,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,3.2.2 奇、偶排列的定义

5、及性质,定义3 看n个数码的一个排列，如果把这个排列里的任意两个数码i与j交换一下，而其余数码保持不动，那么就得到一个新的排列，对于排列所施行的这样一个变换叫做一个对换，并且用符号（i，j）来表示。,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,定理3.2.2 任意一个排列经过一个对换后的奇偶性改变.,证明: 我们首先看一个特殊的情形，就是被对 换的两个数码是相邻的。设给定的排列为,A B,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,A B,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,（1）,（2）,但（2）正是对（1）施行 对换而得到的排列。因此，对（1）施行对换 相当于连续施行2s+1次相邻数码的对换。由1。

6、，每经过一次相邻两数码的对换，排列都改变奇偶性。由于2s+1是一个奇数，所以（1）与（2）的奇偶性相反。,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,证明：设n个数码的奇排列共有p个，而偶排列共有q个，对这p个奇排列施行同一个对换,那么由定理3.2.2,我们得到p 个偶排列.由于对这p个偶排列各不相等.又可以得到原来的p个奇排列,所以这p个偶排列各不相等.但我们一共只有q个偶排列,所以,例题选讲,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,3.3 n阶行列式,一、 内容分布 3.3.1 n阶行列式的定义 3.3.2 行列式的性质 二、教学目的： 1.掌握和理解n阶行列式的定义。 2.会利用定义计算一些特殊

7、的行列式。 3.掌握和理解行列式的性质。 4.熟练掌握利用性质计算及证明行列式的技巧。 三、重点难点： 利用定义计算行列式 利用性质熟练计算及证明行列式,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,3.3.1 n阶行列式的定义,称为n阶行列式,其中：横排列称为行，纵排列称为列.,(1),宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,考察位于(1)的不同的行与不同的列上的n个元素的乘积.这种乘积可以写成下面的形式:,(2),宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,定义2 用符号,表示的n阶行列式指的是n!项的代数和,这些项是一切可能的取自(1)的不同的行与不同的列上的n个元素的乘积,宁波工程学院理学院高等代数课

8、程组制作,例1 我们看一个四阶行列式,根据定义,D是一个4! = 24项的代数和。然而在这个行列式里，除了acfh,adeh,bdeg,bcfg这四项外，其余的项都至少含有一个因子0，因而等于0，与上面四项对应的排列依次是1234,1324,4321,4231.其中第一个和第三个是偶排列,第二个和第四个是奇排列.因此,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,转置,一个n阶行列式,如果把D的行变为列,就得到一个新的行列式,叫D的转置行列式。,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,（3）,这n个数码的排列。那么这一项在行列式中的符号是,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,宁波工程学院理学院高等代数

9、课程组制作,3.3.2 行列式的性质,命题3.3.2 行列式与它的转置行列式相等，即,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,命题3.3.3 交换一个行列式的两行（或两列），行列式改变符号。,证 设给定行列式,交换D的第i行与第j行得,（旁边的i和j表示行的序数）,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,D的每一项可以写成,（5）,因为这一项的元素位于 的不同的行与不同的列，所以它也是 的一项，反过来， 的每一项也是D的一项，并且D的不同项对应着 的不同项，因此D与 含有相同的项。,交换行列式两列的情形，可以利用命题3.3.2归结到交换两行的情形。,由命题3.3.2推知，凡是行列式的对于行成立的性

10、质对于列也成立，反过来也是如此。,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,推论3.3.4 如果一个行列式有两行（列）完全相同，那么这个行列式等于零。,证 设行列式D的第i行与第j行(ij)相同，由命题3.3.3，交换这两行后，行列式改变符号，所以新的行列式等于D，但另一方面，交换相同的两行，行列式并没有改变由此得D=D或2D=0，所以D=0。,命题3.3.5 用数k乘行列式的某一行（列），等于以数k 乘此行列式。即如果设，则,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,D的每一项可以写作,（6）,中对应的项可以写作,（7）,（6）在D中的符号与（7）在 中的符号都是,因此，,推论3.3.6 如果行列式

11、的某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外边。,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,推论3.3.7 如果行列式的某一行（列）的元素全部是零，那么这个行列式等于零。,推论3.3.8 如果行列式有两行（列）的对应元素成比例，则行列式的值等于零。,证 设行列式D的第i行与第j行的对应元素成比例，那么这两行的对应元素只差一个因子k，即,因此,由推论3.3.6，可以把公因子 k提到行列式符号的外边，于是得到一个有两行完全相同的行列式；由推论3.3.4，这个行列式等于零。,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,命题3.3.9 如果将行列式中的某一行（列）的每 一个元素都写成两个数的和，则此行

12、列式可以写 成 两个行列式的和，这两个行列式分别以这两个数为所在行（列）对应位置的元素，其它位置的元素与原行列式相同。即如果,则,。,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,行列式,因此,推论 如果将行列式的某一行（列）的每个元素都写成m 个数（m 为大于2的整数）的和，则此行列式可以写成m 个行列式的和。,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,命题3.3.10 将行列式的某一行（列）的所有元素同乘以数k 后加于另一行（列）对应位置的元素上，行列式的值不变。,证 设给定行列式,把D的第j行的元素乘以同一个数k后,加到第i行的对应元素上,我们得到行列式:,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,由命

13、题3.3.9，,此处,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,例2 计算行列式,解： 根据例题3.3.10,从D的第二列和第三列的元素减去第一列的对应元素(即把D的第一列的元素同乘以后,加到第二列和第三列的对应元素上),得,这个行列式有两列成比例,所以根据推论3.3.8,D=0.,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,例3 计算n阶行列式,解: 我们看到,D的每一列的元素的和都是n把第二，第三，第n行都加到第一行上，得,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,根据推论.,提出第一行的公因子n,得,由第二,第三,第n行减去第一行,得,由行列式定义,易见后一行列式等于对角线上元素的乘积,所以,宁波工程

14、学院理学院高等代数课程组制作,练习选讲：,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,3.4 子式和代数余子式 行列式依行(列)展开,一、内容分布 3.4.1子式和代数余子式 3.4.2行列式的依行依列展开定理 3.4.3拉普拉斯定理 二、教学目的： 1.掌握和理解子式和代数余子式的定义 2.熟练掌握利用行列式的依行依列展开定理计算及证明行列式的技巧。 三、重点难点： 利用行列式的依行依列展开定理熟练计算及证明行列式,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,3.4.1余子式与代数余子式,定义1 在一个n阶行列式D中任意取定k行

15、和k列. 位于这些行列相交处的元素所构成的k阶行列式叫做行列式D的一个k阶子式.,例1 在四阶行列式,中,取定第二行和第三行,第一列和第四列.那么位于这些行列的相交处的元素就构成D的一个二阶子式,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,定义2 n (n1)阶行列式,例2 例1的四阶行列式的元素 的余子式是,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,例3 例1中的四阶行列式D的元素 的代数余子式,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,定理3.4.1 若在一个n阶行列式,中,第i行(或第j列)的元素除 外都是零,那么这个行列式等于 与它的代数余子式 的乘积:,证 我们只对行来证明这个定理,1) 先假定D

16、和第一行的元素除 外都是0，这时,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,我们要证明：,也就是说：,子式 的每一项都可以写作,（1）,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,这一乘积的元素位在D的不同的行与不同的列上，因此它是D的一项，反过来，由于行列式D的每一项都含有第一行的一个元素，而第一行的元素除 外都是零，因此D的每一项都可以写成（2）的形式。这就是说，D的每一项都是 与它的子式 的某一项的乘积，又 的不同项是D的不同项，因此D与 有相同的项。,乘积（2）在D中的符号是,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,是由D

17、经过（i1）+(j1)次换行换列的步骤而得到的。由命题3.3.3，交换行列式的两行或两列，行列式改变符号，因此,这样，定理得到证明。,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,3.4.2行列式的依行依列展开,定理3.4.2 n阶行列式 等于它的任意一行(列)的各元素与其对应代数余子式乘积的和, 即,证 我们只对行来证明，即证明（3），先把行列式D写成以下形式：,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,也就是说，把D的第i行的每一元素写成n项的和。根据命题3.3.9，D等于n个行列式的和：,在这n个行列式的每一个中，除了第i行外，其余的行都与D的相应行相同。因此，每一行列式的第i行的元素的代数余子式与

18、D的第i行的对应元素的代数余子式相同。这样，由定理3.4.1，,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,定理3.4.3 n阶行列式 的某一行(列)的元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积的和等于零, 即,（5）,（6）,证 我们只证明等式（5）。看行列式,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,的第i行与第j行完全相同，所以 =0。另一方面， 与D仅有第j行不同，因此 的第j行的元素的代数余子式与D的第j行的对应元素的代数余子式相同，把 依第j行展开，得,因而,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,例4 计算四阶行列式,在这个行列式里，第三行已有一个元素是零，由第一列减去第三列的二倍，再把第三

19、列加到第四列上，得：,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,根据定理3.4.1,把所得的三阶行列式的第一行加到第二行，得：,所以 D = 40,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,例5 计算n阶行列式,按第一行展开，得：,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,但 ,所以,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,例6 计算四阶行列式,这个行列式叫做一个n阶范德蒙德(Vandermonde)行列式.,由最后一行开始，每一行减去它的相邻的前一行乘以 ，得,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,由定理3.4.1,提取每列的公因子后，得,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,最后的因子是一个n-1阶的范

20、德蒙德行列式。我们用 代表它：,同样得,此处 是一个n-2阶的范德蒙德行列式。如此继续下去，最后得,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,练习题：,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,3.5 克拉默法则,一、内容分布 3.5.1齐次与非齐次线性方程组的概念 3.5.2克莱姆法则 3.5.3齐次线性方程组解的定理 二、教学目的： 1.掌握和理解齐次与非齐次线性方程组的概念。 2.熟练掌握克莱姆法则。 3熟练掌握齐次线性方程组解的定理 三、重点难点： 利用克莱姆法则求线性方程组的解及证明一些相关问题。,宁波工程学院理学院

21、高等代数课程组制作,3.5.1.齐次与非齐次线性方程组的概念,含有n 个方程的n 元线性方程组的一般形式为,（1.9）,它的系数 构成的行列式,（1.10）,称为方程组（1.9）的系数行列式。,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,如果线性方程组（1.9）的常数项为零，即,称为齐次线性方程组。,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,3.5.2克莱姆法则,定理3.5.1 (克莱姆法则) 线性方程组(1.9)当其系数行列式 时,有且仅有唯一解,此处 是将系数行列式中第j列的元素对应地换为方程组的常数项 后得到的n 阶行列式.,证 时是显然的.设 .令是整数1，2，中的任意一个.分别以 乘方程组（1

22、）的第一，第二，第个 方程，然后相加，得,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,由定理3.4.2和3.4.3， 的系数等于D而 的系数都是零；因此等式左端等于 ，而等式右端刚好是 阶行列式,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,这样，我们得到,令 我们得到方程组,（3）,方程组（1）的每一解都是方程组（3）的解.事实上，设 是方程组（1）的一个解。那么在（1）中把 代以 ，就得到一组等式。对于这一组等式施以由方程组（1）到方程组（3）的变换，显然得到下面的一组等式：,这就是说， 也是方程组（3）的一解。,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,当 时，方程组（3）有唯一解，就是（2）。因此方程组

23、（1）也最多有这一个解。 我们证明（2）是（1）的解。为此，把（2）代入方程组（1），那么（1）的第 个方程的左端变为,而,计算出来，我们得到,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,这里我们应用了定理3.4.2和3.4.3。这就是说， （2）是方程组（1）得解。,因此，当 时，方程组（1）有且仅有一个解，这个解由公式（2）给出。,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,例 解线性方程组,解：这个方程组的行列式,因为 ，我们可以应用克拉默规则。再计算以下的行列式：,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,由克拉默规则，得方程组的解是,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,3.5.3齐次线性方程组解的

24、定理,定理3.5.2 如果齐次线性方程组(1.13)的系数行列式 ,则它仅有零解.,第四章 线性方程组,4.1 消元法 4.2 矩阵的秩 线性方程组可解的判别法 4.3 线性方程组的公式解 4.4 结式和判别式,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,伟大的数学家，诸如阿基米得、牛顿和高斯等，都把理论和应用视为同等重要而紧密相关。 克莱因（Klein F，18491925）,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,4.1 消元法,1.内容分布 4.1.1 线性方程组的初等变换 4.1.2 矩阵的初等变换 阶梯形矩阵 4.1.3 线性方程组有解的判别 2.教学目的: 会用消元法解线性方程组 3.重点

25、难点: 线性方程组的消元解法,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,前一章中我们只讨论了这样的线性方程组，这种方程组有相等个数的方程和未知量，并且方程组的系数行列式不等于零，在这一章我们要讨论一般的线性方程组：,在实际的解线性方程组时，比较方便的方法是消元法.,（1）,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,例1 解线性方程组：,从第一和第三个方程分别减去第二个方程的1/2倍和2倍，来消去这两个方程中的未知量,（2）,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,得到：,为了计算的方便，把第一个方程乘以 -2 后，与第二 个方程交换，得：,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,现在很容易求出方程组（2）

26、的解. 从第一个方程 减去第三个方程的3倍，再从第二个方程减去第三 个方程，得,再从第一个方程减去第二个方程的5/3倍，得：,这样我们就求出方程组的解.,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,交换两个方程的位置； 用一个不等于零的数某一个方程； 用一个数乘某一个方程后加到另一个方程.,4.1.1 线性方程组的初等变换,线性方程的初等变换： 对方程组施行下面三种变换：,这三种变换叫作线性方程组的初等变换.,定理4.1.1 初等变换把一个线性方程组变为一个与 它同解的线性方程组,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,线性方程组的（1）的系数可以排成下面的一个表：,而利用（1）的系数和常数项又可以排

27、成下表：,（3）,（4）,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,4.1.2矩阵的初等变换,叫做一个s行t列（或st）的矩阵，,叫做这个矩阵的元素.,注意：矩阵和行列式在形式上有些类似，但有完全不同的意义，一个行列式是一些数的代数和，而一个矩阵仅仅是一个表.,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,矩阵（3）和（4）分别叫作线性方程组（1）的系 数矩阵和增广矩阵. 一个线性方程组的增广矩阵显 然完全代表这个方程组.,定义2 矩阵的行（列）初等变换指的是对一个矩阵 施行的下列变换：,3) 用某一数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行 （列），即用某一数乘矩阵的某一行（列）的每一 个元素后加到另一行（列）

28、的对应元素上.,1) 交换矩阵的两行（列）,2) 用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列），即 用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）的每一 个元素；,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,显然，对一个线性方程组施行一个初等变换，相当于对它的增广矩阵施行一个对应的行初等变换，而化简线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵. 因此我们将要通过化简矩阵来讨论化简方程组的问题.下我们给出一种方法，就一个线性方程组的增广矩阵来解这个线性方程组，而不必每次把未知量写出.,在对于 一个线性方程组施行初等变换时，我们的目的是消去未知量，也就是说，把方程组的左端化简. 因此我们先来研究，利用三种行初等变换来

29、化简一个线性方程组的系数矩阵的问题. 在此，为了叙述的方便，除了行初等变换外，还允许交换矩阵的两列，即允许施行第一种列初等变换. 后一种初等变换相当于交换方程组中未知量的位置，这不影响对方程组的研究.,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,在例1中，我们曾把方程组（2）的系数矩阵,先化为,然后，进一步化为,定理4.1.2 设A是一个 m行n列的矩阵：,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,通过行初等变换和第一种列初等变换能把A化为 以下形式：,(5),宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,进而化为以下形式，,（6）,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,乘第一行，然后由其余各行分别减去第一行的

30、适 当倍数，矩阵A化为,若B 中，除第一行外，其余各行的元素都是零，,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,那么B 已有（5）的形式. 设B 的后m 1 行中有 一个元素b 不为零，把b 换到第二行第二列的 交点位置，然后用上面同样的方法，可把B 化为,如此继续下去，最后可以得出一个形如（5）的矩阵.,形如（5）的矩阵可以进一步化为形如（6）的矩阵是,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,显然的. 只要把由第一，第二，第r 1 行 分别减去第r 行的适当倍数，再由第一，第二， 第r 2行分别减去第r 1行的适当倍数，等等.,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,4.1.3用消元法解线性方程组,

31、考察方程组（1）的增广矩阵（4）. 由定理4.1.2，我们可以对（1）的系数矩阵（3）施行一些初等变换而把它化为矩阵（6）. 对增广矩阵（4）施行同样的初等变换，那么（4）化为以下形式的矩阵：,(7),宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,与（7）相当的线性方程组是,（8）,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,由于方程组（8）可以由方程组（1）通过方程组的初等变换以及交换未知量的位置而得到，所以由定理4.1.1，方程组（8）与方程组（1）同解. 因此，要解方程组（1），只需解方程组（8）. 但方程组（8）是否有解以及有怎样的解都容易看出.,情形1，,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,情形

32、2，,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,当r n 时，方程组（9）可以改写成,(10),宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,叫做自由未知量，而把（10）叫做方程组（1）的 一般解.,例2 解线性方程组,这样，线性方程组（1）有没有解，以及有怎样的解，都可以从矩阵（7）看出. 因此，我们完全可以就方程组（9）的增广矩阵来解这个方程组.,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,施行行初等变换，并且注意，我们是要把其中所含 的系数矩阵先化为（5），再化为（6）的形式. 由 第一和第二行分别减去第三行的5 倍和2 倍，然后 把第三行换到第一行的位置，得,解：对

33、增广矩阵,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,由第二行减去第三行的2倍，得,虽然我们还没有把增广矩阵化成（5）的形式，但已 可看出，相当于最后矩阵的线性方程组中的一个方程是 0 = 5 所以原方程无解.,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,例3 解线性方程组,解：这里的增广矩阵是,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,继续施行行初等变换，这一矩阵可以化为,这个矩阵本质上已有（5）的形式，这一点只要交换 矩阵的第二和第三两列就可以看出. 进一步由第一 行减去第二行的三倍，得出相当于（6）型的矩阵,把第一行的适当倍数加到其它各行，得,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,对应的线性方程组是,宁

34、波工程学院理学院高等代数课程组制作,4.2 矩阵的秩 线性方程组可解的判别法,1.内容分布 4.2.1 k阶子式、矩阵秩的定义用初等变换求矩 阵的秩 4.2.2 线性方程组可解的判别法 2.教学目的: 1)理解矩阵秩的定义 2)会用初等变换求矩阵的秩 3)会用消元法解线性方程组 3.重点难点: 矩阵秩的定义 线性方程组的可解的判别法,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,4.2.1 k阶子式、 矩阵秩的定义 用初等变换求矩阵的秩,在上一节课讲述了用消元法来解线性方程组：,(1),这个方法在实际解方程组是比较方便的，但是我们还有几个问题没解决。,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,简化为以下形

35、式一个矩阵,（甲） 利用初等变换把方程组（1）的系数矩阵,（2）,（3）,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,并且看到，在矩阵（3）中出现的整数r在讨论中占有重要的地位. 但是我们对这个整数还没有什么了解. r 和系数矩阵（2）究竟有什么关系？它是由系数矩阵（2）所唯一决定的，还是依赖于所用的初等变换？因为我们可以用不同的初等变换，把系数矩阵（2）化为形如（3）的矩阵.,（乙） 方程组（1）有解时，它的系数应该满足什么条件？,（丙） 我们没有得出，用方程组的系数和常数项来表示解的公式，而解的公式在理论上有重要的意义.,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,矩阵的秩 利用一个矩阵的元素可以构成

36、一系列的行列式.,. 位于这些行列交点处的元素（不改变元素相对的位置）所构成的k 阶行列式叫作这个矩阵的一个k阶子式. 我们看一看，在矩阵（3）中出现的整数r和这个矩阵的子式之间有些什么关系. 假定r0 . 这时，矩阵（3）含有一个r 阶的子式：,定义1 在一个s行t列的矩阵中，任取k行k列,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,定义2 一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫做这个矩阵的秩. 若一个矩阵没有不等于零的子式，就认为这个矩阵的秩是零. 按照定义，一个矩阵的秩的不能超过这个矩阵的行的个数，也不能超过它的列的个数. 一个矩阵A的秩用秩A来表示. 显然，只有当一个矩阵的元素都为零是，这个矩

37、阵的秩才能是零.,这个子式不等于零. 但矩阵（3）不含阶数高于r的不等于零的子式. 这是因为；在r = m 或r = n 时，矩阵（3）根本不含阶数高于r的子式；而当r m ， r n 时，矩阵（3）的任何一个阶数高于r的了式都至少含有一个元素全为零的行，因而必然等于零. 这样，r等于矩阵（3）中的不等于零的子式的最大阶数.,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,证明 我们先说明以下事实：若是对一个矩阵A施行某一行或列的初等变换而等到矩阵B，那么对B施行同一种初等变换又可以得到A. 事实上，若是交换A的第i行与第j行而得到B，那么交换B 的第i行与第j列就得到A；若是把A的第i行乘以一不等于零

38、的数a而得到B，那么将B的第i行乘以1/a就又可以得到A；若是把A的第j行乘以数k加到第i行得到B，那么B的第j行乘以 k加到第i行就得到A. 列的初等变换的情形显然完全一样. 现在我们就用第三种行初等变换来证明定理.,定理4.2.1 初等变换不改变矩阵的秩.,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,并且A 的秩是r . 我们证明，B 的秩也是r . 先证明，B 的秩不超过r . 设矩阵B 有s 阶子式D，而 s r . 那么有三种可能的情形: D不含第i 行的元素，这时D也是矩阵A的一个s阶子式，而s大于A的秩r ，因此D= 0.,设把一矩阵的第j 行乘以k加到第i行而得到矩阵B：,宁波工程学

39、院理学院高等代数课程组制作,因为后一行列式是矩阵A的一个s阶子式., D含第i行的元素，也含第j行的元素. 这时，由命题3.3.10,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,这里,D含第i行的元素，但不含第j行的元素，这时,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,但我们也可以对矩阵B 施行第三种行初等变换而得到 矩阵A. 因此，也有,因此，在矩阵B有阶数大于r的子式的情形，B 的任何 这样的子式都等于零，而B的秩也不超过r . 这样，在任何情形，都有,这样，我们也就证明了，秩A = 秩B ，即第三种行初等变换不改变矩阵的秩. 对于其它的初等变换来说，我们可以完全类似地证明定理成立. 这样，我们就解

40、决了前面的第一个问题（甲）.,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,4.2.2 线性方程组可解的判别法,定理4.2.2 （线性方程组可解的判别法）线性方程组（1）有解的充分且必要条件是：它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩.,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,那么 的前n 列作成的矩阵 A 就是（1）的系数矩阵. 利用定理4.1.2所指出的那种初等变换把 化为,并且用B表示 的前n列作成的矩阵. 那么由定理4.2.1得：,（4）,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,故定理得证.,现在设线性方程组（1）有解. 那么或者r = m，或者r m ，而 ，这两种

41、情形都有秩 .于是由（4）得， .,反过来，设 ，那么由（4）得，的秩也是r ，由此得，或者r = m ，或者r m 而 ，因而方程组（1）有解.,定理4.2.3 设线性方程组的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩，那么当r 等于方程组所含的未知量的个数n时，方程组有唯一解；当r n 时，方程组有无穷多解.,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,1.内容分布 4.3.1 线性方程组的公式解 4.3.2 齐次线性方程组及其非零解的概念 4.3.3 齐次线性方程组有非零解的条件 2.教学目的 1)会用公式解法解线性方程组 2)掌握齐次线性方程组有非零解的充要条件 3.重点难点 齐次线性方程组有非零解的充要

42、条件,4.3 线性方程组的公式解,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,4.3.1 线性方程组的公式解,例1 考察线性方程组,(1),(2),考虑线性方程组,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,那么在这三个方程间有以下关系：,这就是说，第三个方程是前两个方程的结果。因此由中学代数知道，第三个方程可以舍去，亦即方程组和由它的前两个方程所组成的方程组,同解。,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,证 由于方程组（1）的系数矩阵A的秩是r，所以A至 少含有一个r阶子式 。,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,现在我们证明，方程组（1）的后 m -r 个方程中的每 一个都是（1）的前r 个方程,(

43、3),的结果.,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,亦即使,(4),宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,方程组（4）的增广矩阵是,而 的前r列作成（4）的系数矩阵B，我们要计算矩阵B和 的秩。注意， 的列刚好是方程组（1）的增广矩阵 的某些行。这样，矩阵 的左上角的 r阶子,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,式刚好是 子式D 的转置行列式，因而不等于零：,由于 也是矩阵B的子式，所以矩阵B和 的秩都至少是r，另一方面，矩阵 的任一个r +1阶子式 都是 的某一个r +1阶子式的转置行列式。由于 的秩是r，所以 的所有r +1阶子式都等于零，由此得 必然等于零。但 没有阶数高于r +1的

44、子式，所以B和 的秩都是r，而方程组（4）有解。这样我们就证明了，方程组（1）的后m -r个方程都是（1）的前r个方程的结果，而解方程组（1）归结为解方程组（3）。,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,假定方程组（1）满足定理4.3.1的条件，于是由定理4.3.1，解方程组（1），只需解方程组（3）。我们分别看 的情形。,方程组（1）的公式解：,现在设 ,这时方程组(3)的前r个未知量的系数所构成的行列式 ，在方程组（3）中把含未知量 的项移到右边，,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,方程组（3）可以写成：,(3),暂时假定 是数，那么（3）变成r 个未知量 的r 个方程。用克拉默规则解

45、出 得,(5),宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,这里,把（5）中的行列式展开，（5）可以写成,(6),宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,这里 都是可以由方程组（1）的系数和常数项表示的数。现仍旧把（6）中 看成未知量，那么（6）是一个线性方程组，从以上的讨论容易看出，方程组（6）与方程组（3）同解，因而和方程组（1）同解。正如用消元法解线性方程组的情形一样，方程组（6）给出方程组（1）的一般解，而 是自由未知量，要求方程组（1）的一个解，只需给予自由未知量 任意一组数值，然后由（6）算出未知量 的对应值，并且（1）的所有解都可以这样得到。,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,由于（

46、6）的系数和常数项都可以由方程组（1）的 系数和常数项表出，所以（6）或它的前身（5）都 给出求方程组（1）的解的公式。,求解这个方程组的公式，并求出一个解。,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,即：,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,用公式来求数字线性方程组的解是比较麻烦的，因为需要计算许多行列式。因此在实际求线性方程组的解的时候，一般总是用消元法。但是在数学问题中遇到线性方程组时，常常不需要真正求出它们的解，而是需要对它们进行讨论，在这种情况下，我们有时要用到（5）式或（6）式。,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,4.3.2 齐次线性方程组及

47、其非零解的概念,定义 若是一个线性方程组的常数项都等于零，那么 这个方程组叫做一个齐次线性方程组.,我们来看一个齐次线性方程组,(8),宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,这个方程组永远有解：显然,就是方程组（8）的一个解，这个解叫做零解。如果方程组（8）还有其它解，那么这些解就叫作非零解。,齐次线性方程组永远有解.,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,4.3.3 齐次线性方程组有非零解的条件,定理4.3.2 一个齐次线性方程组有非零解的充分且必要条件是：它的系数矩阵的秩r小于它的未知量的个数n。,证 当 时，方程组只有唯一解，它只能是零解。 当 时，方程组有无穷多解，因而它除零解 外，必

48、然还有非零解。,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,推论4.3.3 含有n个未知量n个方程的齐次线性方程组有非零解的充分且必要条件是：方程组的系数行列式等于零。,因为在这一种情况，方程组系数行列式等于零就是说，方程组的系数矩阵的秩小于n.,推论4.3.4 若在一个齐次线性方程组中，方程的个数m小于未知量的个数n，那么这个方程组一定有解。 因为在这一情况，方程组的系数矩阵的秩r不能超过m，因而一定小于n .,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,1.内容分布 4.4.1结式与多项式的公根 4.4.2多项式的判别式 2.教学目的: 了解多项式有公根的判别 了解多项式的判别式的定义 3.重点难点:

49、 多项式有公根的判别,4.4 结式和判别式,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,4.4.1结式与多项式的公根,假设 在C 内有公根,依次用 乘第一个等式,用 乘第二个等式,我们得到以下 个等式:,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,这就表明, 是一个含有 个未知量, 个方程的齐次线性方程组的非零解,因此系数行列式:,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,必须等于零.,行列式D叫做多项式 的结式,并且用符号 来表示. 结式 不但 有公根时等于零,而且当 时显然也等于零.于是就得到,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,定理4.4.1 如果多项式,定理4.4.2 设,(1),有公根,或者 ,那么它们的结式等于零.,是复数域C上多项式. 是它们的结式.,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,(ii) 如果 ,而 的全部根,那么,(2),证 我们对m 作数学归纳法来证明公式(1)。先看m=1的情形，这时,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,因此,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,假设当 时公式（1）成立。我们看