t-的二叉树图---上海交通大学数学系.ppt

1、期权定价问题的Black-Scholes方程和二叉树法,乐经良,在世界大多数证券市场上,有一种期权,实际问题,(option)的交易.例如,某种股票的现价为,风险年利率r =10% ;若客户希望拥有在六个月即,S =42美元,该股票的年波动率s =20%,市场的无,的权利,而届时他也可以放弃这种权利.试问:为,0.5年后以约定价格X=40(美元)购进这种股票,拥有这种购买的选择权,客户该付多少钱? 换言,之,这种期权的价格为多少?,乐经良,背景知识,衍生证券 期权 (option),看跌期权(put option)：卖出标的物,欧式(European)期权；美式(American)期权,期权价

2、格：一种未定权益的价格,Black Scholes 方程,约定价格,无风险利率,看涨期权(call option)；购进标的物,乐经良,简单分析,股票的现价为S,由于股票价格的波动率,到,Sd ($37.8),显然前一情况客户会执行期权，后一情,单计,暂且假定涨跌幅均为10 ,则有u =1+10,期时价格可能上扬为Su,也可能下跌为Sd. 为简,=1.1 ，d =1-100.9,Su ($46.2),S ($42),况会放弃期权,乐经良,在股票价格为$46.2时,客户必定以敲定价格,期权价格,在股票价格为$37.8 时,客户必定放弃这约,在期满日T 时,期权价格为,Vu (6.2),反问题：由

3、VT 求 V,$40 购进股票.这时期权的价格应为,Vu = Su - X = 46.2-40 = 6.2(美元),定的股票购买权,这时期权的价格应为,Vd = 0 (美元),VT = max (ST X, 0 ),Vd (0),V ?,乐经良,如何定价的思路,基本思路是套期保值,即交易者为减少风险而,组合的目的是使之不具有风险,从而可获得无,其中,采取的投资组合(portfolio)的策略.假定现在套,利者卖出一份股票期权,价格为V ,再以价格S 买进,a 份这种股票,那么该组合的价格为,风险利率，那么在期权期满日,组合增值后价值为,乐经良,由于组合无风险，故,将数据代入 =e0.10.5,

4、 u = 1.1, d = 0.9, 得到,V = 4.454,时价格,股价上涨时,股价下落时,另一方面，如前面分析，这组合在期权满日,乐经良,再作分析,记,那么,注意p 正是股票价格上扬的概率,1- p,是股票价格下跌的概率，于是,乐经良,这意味着可以由Vu 和 Vd 来导出V,Vu (6.2),Vd (0),乐经良,Black Scholes 方程,利用股票价格的波动遵循几何布朗运动可以,Black-Scholes 方程虽然影响巨大,但是它的,对于欧式期权，这个方程可以求出解的公式,导出,数学推导和求解过程在金融界较难被广泛接受和,掌握.尤其令人遗憾的是:对于美式期权,由于方,程的定解问题

5、更为复杂,不可能求出解的表达式.,乐经良,二叉树,在简单分析中.有一个显然的问题,例子中,事实上股票时刻都有可能涨跌，因此我们,如前所述,股票预期收益率等于无风险利率,到期满日股价只有两种可能以及涨跌幅10的,假定都是很粗略的,将T 分为很多小的时间间隔Dt,而在每一个Dt,股票价格变化由S 到Su或Sd.若价格上扬的概率,为p,那么下跌的概率为1- p,故有,乐经良,利用概率论的知识，可以导出,确定有关常数,乐经良,股票价格二叉树图,Su4 Su3 Su2 Su2 Su Su S S S Sd Sd Sd2 Sd2 Sd3 Sd4,这是一个 T = 4 t 的二叉树图,乐经良,计算期权的价格

6、,期权的预期收益率也应该等于无风险利率,期权的计算将从树图,故,Vu,Vd,的末端( T 时刻)开始向后,倒推进行.时刻T 的期权价,值是已知的,可倒推出前,一个时刻的期权价格,V,乐经良,计算的实例,59.39 19.39 56.05 52.91 16.39 52.91 13.58 12.91 49.94 49.94 47.14 13.58 47.14 10.28 47.14 8.56 7.81 7.14 44.49 44.49 44.49 42 6.51 42 6.71 42 4.83 42 4.83 4.04 3.16 2 39.64 39.64 39.64 2.79 37.42 2.0

7、2 37.42 1.11 37.42 1.27 0.61 0 35.32 35.32 0.34 33.34 0 33.34 0 0 31.47 0 29.70 0,乐经良,算得期权价格,当 t =1/12, 得到 V = $ 4.83,当然 t 越小，可得越精确的结果,利用 Matlab,编制 m 文件后可以取t 充分小，例如取, t =1/360, 求得期权价格 $4.76,乐经良,function y=m14(n) t=1/n*0.5; sigma=0.2;r=0.1;S0=42;X=40; u=exp(sigma*sqrt(t); d=1/u; a=exp(r*t); p=(a-d)/(

8、u-d); for i=0:n S(i+1)=S0*ui*d(n-i); V(i+1)=max(S(i+1)-X,0); end for i=1:n for i=1:length(V)-1 Vn(i)=exp(-r*t)*(1-p)*V(i)+p*V(i+1); end V=Vn; Vn= ; end y=V;,Matlab程序,乐经良,美式期权的例子,股票现价S50(美元),该股票的年波动率,格 X =50(美元),美式看跌期权的有效期为五个,为 s=40% ,市场的无风险年利率 r =10%;敲定价,月,即 T =0.4167 (年)意味着期权持有者有权在,五月内的任何一天执行期权,即他可

9、以用敲定价,格出售股票给期权提供者;当然他也可以放弃,这种权利.那么这种期权的定价应为多少?,乐经良,有关数据,若将 T 分成五段,每段长度1个月,则t 0.0833(年),利用已知数据可以求出,乐经良,用二叉树计算,89.07 79.35 0 0 70.70 70.70 62.99 0 62.99 0 0.63 0 56.12 56.12 56.12 50 2.15 50 1.30 50 0 4.48 3.76 2.66 44.55 44.55 44.55 6.95 39.69 6.37 39.69 5.45 10.35 10.31 35.36 35.36 14.64 31.50 14.64 18.50 28.07 22.93,注意第二行的数字,乐经良,56.12 50 0 2.66 44.55 39.69 5.45 10.31 35.36 14.64,（不提前执行时的期权价格）, 股票约定价格与当时价