第二章MATLAB语言的数值运算

1、第二章MATLAB语言的数值运算,MATLAB基本运算符,第二章MATLAB语言的数值运算,系统特殊变量,第二章MATLAB语言的数值运算,常用数学函数,第二章MATLAB语言的数值运算,第二章MATLAB语言的数值运算,教学目标 介绍MATLAB的两种基本的数值运算，矩阵和表达式 学习要求 掌握矩阵和多项式的构造和运算方法，能够使用常用的几种函数进行简单的问题求解,第二章MATLAB语言的数值运算,2.1 矩阵 2.2 向量 2.3 数组 2.4 多项式,第二章MATLAB语言的数值运算,2.1 矩 阵,矩阵是线性代数的基本运算单元，通常矩阵是指含有M行N列的数值和矩阵结构，每个元素可以是实

2、数或复数，在线性代数中我们学习了矩阵的基本性质，了解了矩阵的基本运算，如：加、减、内积、逆矩阵、转置、线性方程式等。 MATLAB支持线性代数所定义的全部矩阵运算。,第二章MATLAB语言的数值运算,矩阵的信息获取,第二章MATLAB语言的数值运算,MATLAB语言的数值运算,MATLAB = matrix（矩阵）+ laboratory（实验室）,第二章MATLAB语言的数值运算,2.1.1矩阵的构造,直接输入法 三个符号：“”、“，”、“；” 用中括号 把所有矩阵元素括起来 同一行的不同数据元素之间用空格或逗号间隔 用分号（；）指定一行结束 可分成几行进行输入，用回车符代替分号 数据元素可

3、以是表达式，系统将自动计算结果，可以是实数 ，也可以是复数，复数用i，j 输入,第二章MATLAB语言的数值运算,矩阵的构造,A=1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12; 13 14 15 16 B=1,sqrt(25),9,13 2,6,10,7*2 3+sin(pi),7,11,15; 4,abs(-8),12,16,第二章MATLAB语言的数值运算,由函数创建和修改矩阵,第二章MATLAB语言的数值运算,由函数创建和修改矩阵,MATLAB提供了大量的函数用于创建一些特殊的矩阵及其派生矩阵。 zeros生成全部元素为0的零距阵 (Zeros Array) A=zeros(

4、n) 生成nn零矩阵。 A=zeros(m,n)或者A=zeros(m,n) 生成mn的零矩阵。 A=zeros(m,n,p,)或者A=zeros(m n p ) 生成mnp的零矩阵。 B=zeros(size(A) 生成和矩阵A大小相等的全零矩阵。 ones生成全部元素为1的距阵 A=ones (n) 生成nn全1矩阵。 A=ones (m,n)或者A=ones (m,n) 生成mn的全1矩阵。 A=ones (m,n,p,)或者A=ones (m n p ) 生成mnp的全1矩阵。 B=ones (size(A) 生成和矩阵A大小相等的全1矩阵。,第二章MATLAB语言的数值运算, eye

5、生成单位距阵 A=eye (n) 生成nn单位矩阵。 A=eye (m,n)或者A=eye (m,n) 生成mn的单位矩阵。 B=eye (size(A) 生成和矩阵A大小相等的单位矩阵。 rand生成均匀分布的随机矩阵 A=rand (n) 生成nn随机矩阵。 A=rand (m,n)或者A=rand (m,n) 生成mn的随机矩阵。 A=rand (m,n,p,)或者A=rand (m n p ) 生成mnp的随机矩阵。 B=rand (size(A) 生成和矩阵A大小相等的随机矩阵。 A=rand 不带任何参数将产生一个随机数。 提示：rand函数产生一个矩阵元素在0和1之间均匀分布的随

6、机数的随机矩阵。,第二章MATLAB语言的数值运算,diag 生成一个对角阵或由对角线元素组成的向量 Adiag(V) 当V为n维向量时,产生一个以向量V的元素为对角线的n维数组 Adiag(V) 当V为n维矩阵时，产生 一个以V矩阵的主对角线元素为元素的n 维数组。 tril: 抽取主下三角; triu:抽取主上三角 矩阵的变向 rot90:旋转; fliplr:上翻; flipud:下翻 注意：在MATLAB中，不需要事先定义矩阵的维数，MATLAB自动为矩阵分配存 储空间。但如果在程序运行过程中采用零矩阵为矩阵生成的全部元素，或某一行、某一列的元素预先分配内存空间，将会大大加快MATLA

7、B程序的运算速度。,第二章MATLAB语言的数值运算,2.1.2 矩阵元素,用下标来表示矩阵元素，同时可以利用下标对矩阵元素进行修改 A(m, n)提取第m行，第n列元素 A(:, n)提取第n列元素 A(m, :)提取第m行元素 A(m1:m2, n1:n2)提取第m1行到第m2行和第n1列 到第n2列的所有元素 A(m:end, n)提取从第m行到最末行和第n列的子块,第二章MATLAB语言的数值运算,例： 修改矩阵A中元素的数值,A=1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12; 13 14 15 16; A(1,1)=0;A(2,2)=A(1,2)+A(2,1);A(4,4

8、)=cos(0); 则矩阵变为： A = 0 2 3 4 5 7 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1,第二章MATLAB语言的数值运算,2.1.3 矩阵的运算,MATLAB对于矩阵与矩阵之间的运算的处理方法与线性代数的相同 1、矩阵的“+”、“-”是对应元素的加减，相同维数或其中一个为标量 2、矩阵的除法，“”、“/”左除和右除，A矩阵是非奇异矩阵，则A/B或AB可以运算 X=AB是方程A*X=B的解 X=B/A是方程X*A=B的解,第二章MATLAB语言的数值运算,2.1.3 矩阵的运算,3、矩阵的乘方，A是一个方阵，P是正整数，则AP表示A自乘P次 4、矩阵的转置A，I行j

9、列与j行I列元素互换 5、求逆矩阵，用函数A-1=inv(A) 6、求特征值，用函数eig(A) 7、求特征多项式，用函数poly() 8、求方阵的行列式，用函数det(),第二章MATLAB语言的数值运算,基本矩阵运算,第二章MATLAB语言的数值运算,A = 16 3 2 13; 5 10 11 8; 9 6 7 12; 4 15 14 1 A + A A*A 矩阵转置A，加一个矩阵到它的转置得到一个对称矩阵。用矩阵去乘它的转置也能得到对称矩阵。,第二章MATLAB语言的数值运算,2.1.4 矩阵的关系运算,关系运算符： (大于) =(大于或等于)、=(等于)、=(不等于)。 关系运算符的

10、运算法则： 关系运算将对两个矩阵的对应元素进行比较。,第二章MATLAB语言的数值运算,1. 矩阵加、减运算 （AB、AB） 规则： 相加、减的两矩阵必须有相同的行和列，两矩阵对应元素相加减。 MATLAB允许参与运算的两矩阵之一是标量，标量与矩阵的所有元素分别进行加减操作。 例：A=1 2 3；4 5 6 B=3 4 5；7 8 9 C=3 A+B=4 6 8；11 13 15 A+C=4 5 6；7 8 9 B+C=6 7 8；10 11 12,第二章MATLAB语言的数值运算,2.矩阵乘运算 A*B：A矩阵的列数必须等于B矩阵的行数。 s*A 或 A*s：标量可与任何矩阵相乘，标量s分别

11、与矩阵A每个元素相乘。 例： A = 1 2 3; 4 5 6; 7 8 0 ; B= 1; 2; 3 ; C = A*B C = 14 32 23 D = -1; 0; 2 ; F = pi*D F = -3.1416 0 6.2832,第二章MATLAB语言的数值运算,3. 矩阵除运算及线性方程组的解 在线性代数中没有矩阵的除运算，只有矩阵逆的运算，在MATLAB中有两种矩阵除运算。 A/B 矩阵右除，相当于 Ainv(B) AB 矩阵左除，相当于 inv(A)B 因此，x = AB 是线性方程组Ax=B的解。 例：求解方程组 3x1 + x2 - x3 = 3.6 x1 + 2x2 +

12、4x3 = 2.1 -x1 + 4x2 + 5x3 = -1.4 A = 3 1 -1 ; 1 2 4 ; -1 4 5 ; B = 3.6 ; 2.1 ; -1.4 ; x = AB x = 1.4818 -0.4606 0.3848,第二章MATLAB语言的数值运算,4.矩阵乘方 An A自乘n次幂 A为方阵，n为大于1的整数 例 a = 1, 2, 3 ; 4, 5, 6 ; 7, 8, 9 ; a2 ans = 30 36 42 66 81 96 102 126 150,第二章MATLAB语言的数值运算,矩阵的逻辑运算 矩阵的与运算A 5 6 0 8; 9 0 11 12; 0 14

13、15 16; det(X) ans = -5464,第二章MATLAB语言的数值运算,2.求矩阵的秩, X=-2 1 1;0 2 0;-4 1 3; rank(X) ans = 3 3求逆矩阵 Y=inv(X) Y = -1.5000 0.5000 0.5000 0 0.5000 0 -2.0000 0.5000 1.0000,第二章MATLAB语言的数值运算,4求特征值和特征向量, X=-2 1 1;0 2 0;-4 1 3; V D=eig(X) V= -0.7071 -0.2425 0.3015 0 0 0.9045 -0.7071 -0.9701 0.3015 D= -1 0 0 0

14、2 0 0 0 2,第二章MATLAB语言的数值运算,5矩阵分解, X=-2 1 1;0 2 0;-4 1 3; L, U=lu(A) %三角分解 L = 0.5000 0.2500 1.0000 0 1.0000 0 1.0000 0 0 U= -4.0000 1.0000 3.0000 0 2.0000 0 0 0 -0.5000,第二章MATLAB语言的数值运算,6求解线性方程组,=,a x = b,例: x1+2x2=8 2x1+3x2=13 方程ax=b a=1 2;2 3;b=8;13; 两种解法 x=inv(a)*b x=ab x = x = 2.00 2.00 3.00 3.0

15、0,第二章MATLAB语言的数值运算,2.2 向量,向量是矢量运算的基础 行向量 列向量,第二章MATLAB语言的数值运算,2.2.1 向量的构造,1逐个输入 a=1 3 9 10 15 16%采用空格和逗号分隔构成行向量 b=1; 3; 9; 10; 15; 16 %采用分号隔开构成列向量 2利用冒号表达式“:”生成向量 x=1:2:9%初值=1，终值=9，步长=2 z=1:5%初值=1，终值=5，默认步长=1,第二章MATLAB语言的数值运算,x=i:j 如果ij, 则生成x空向量。 x=i:j:k 如果j0, 且ik, 则生成向量x=i,i+j,i+2j,.,k; 如果j0, 且ik或j

16、0且ik, 则生成向量x为空向量。,第二章MATLAB语言的数值运算,利用冒号生成向量。 a=1:6; b=2:2:10; c=8:-1:2; c1=8:1:4; c1= Empty Matrix: 1-by-0 ， 说明c1生成的是空向量。,第二章MATLAB语言的数值运算,3利用函数生成向量 x=linspace(1, 9, 5)%初值=1，终值=9，元素数目=5 利用logspace生成向量 logspace生成等比向量，其用法与linspace相同。,第二章MATLAB语言的数值运算,linspace函数生成等差向量，其功能类似于冒号算子x=i:j， 调用格式如下： x=linspac

17、e(a,b) 生成有100个元素的行向量x，其元素值在a、b之间线性分布。默认值 x=linspace(a,b,n) 生成有n个元素的行向量x，其元素值在a、b之间线性分布。,第二章MATLAB语言的数值运算,x=logspace(a,b) 生成有50个元素的行向量x，其元素起点x(1) ，终点x(50)= 。 x=logspace(a,b,n) 生成有n个元素的行向量x，其元素起点x(1) ，终点x(50) 。 例 利用linspace函数生成等差向量，利用logspace函数生成等比向量。 a=linspace(1.5,6.0,5) %元素值在1.5和6.0之间的5个数 b=logspac

18、e(0,2,4) %元素值在 和 之间的4个数,第二章MATLAB语言的数值运算,2.2.2 向量的运算,1点积：dot函数 2叉积：cross函数 例 a = 1 2 3; b = 4 5 6; c = dot(a, b) d = cross(a, b) c = 32 d = -3 6 -3,第二章MATLAB语言的数值运算,2.3 数组,数组运算方式是一种元素对元素的运算（不按照线性代数的规则） ； 除了加、减法与矩阵相同以外，乘、除、幂的数组运算符都是通过在标准的运算符前面加一个圆点来生成。,第二章MATLAB语言的数值运算,数组运算, x=1 2 3; 4 5 6; 7 8 9; y=

19、9 8 7; 6 5 4; 3 2 1; x+y%数组和矩阵的加法规则相同 ans = 10 10 10 10 10 10 10 10 10 x.*y%两数组必须有相同的行和列.数组乘法：对应元素相乘 ans = 9 16 21 24 25 24 21 16 9 x*y%矩阵乘法：按照线性代数理论进行 ans = 30 24 18 84 69 54 138 114 90,第二章MATLAB语言的数值运算,a./b=b.aa.b=b./aa./b=b.a 都是a的元素被b的对应元素除a.b=b./a 都是a的元素被b的对应元素除, 给出a,b对应元素间的商.,例: a=1 2 3;b=4 5 6

20、; c1=a.b; c2=b./a c1 = 4.0000 2.5000 2.0000 c2 = 4.0000 2.5000 2.0000,z1=a.2 z2=a.b,第二章MATLAB语言的数值运算,2.4 多项式,matlab语言把多项式表达成一个行向量，该向量中的元素是按多项式降幂排列的。 如多项式式子 多项式用行向量表示：,matlab规定多项式系数向量用行向量表示，一组根用列向量表示。,第二章MATLAB语言的数值运算,2.4.1 多项式的生成与表达,直接输入法 函数poly（A）生成 例：已知向量A=1 34 80 0 0，用此向量构造的多项式并展开。 (x-1)(x+34)(x+

21、80)(x-0)(x-0) PA=poly(A) %表明以A向量中的数为根 PAX=poly2sym(PA,X) %亦可以A为系数得到多项式 X5 + 113 X4 + 2606 X3 - 2720 X2,第二章MATLAB语言的数值运算,3. 求值 函数polyval可以将某个特定数值代入多项式 函数polyvalm可以求出当多项式中的未知数为方阵时的值。 4. 求导 使用polyder函数对多项式求导。,第二章MATLAB语言的数值运算,(1).conv多项式乘运算例:a(x)=x2+2x+3; b(x)=4x2+5x+6;c = (x2+2x+3)(4x2+5x+6)a=1 2 3;b=

22、4 5 6;c=conv(a,b)=conv(1 2 3,4 5 6)c = 4.00 13.00 28.00 27.00 18.00p=poly2str(c,x)p = 4 x4 + 13 x3 + 28 x2 + 27 x + 18,第二章MATLAB语言的数值运算,(2).deconv多项式除运算 a=1 2 3; c = 4.00 13.00 28.00 27.00 18.00 d=deconv(c,a) d =4.00 5.00 6.00,第二章MATLAB语言的数值运算,p =1.00 -6.00 -72.00 -27.00; r=roots(p) r = 12.12 -5.73 -0.39,(3). 多项式求根运算roots,第二章MATLAB语言的数值运算,多项式的其他基本运算 (