高考数学大一轮复习 第六章 数列 6.2 等差数列及其前n项和课件 理 北师大版

1、6.2等差数列及其前n项和,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,1.等差数列的定义 ，我们称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的 ，通常用字母_表示. 2.等差数列的通项公式 若首项是a1，公差是d，则这个等差数列的通项公式是 . 3.等差中项 如果在a与b中间插入一个数a，使a，a，b成等差数列，那么a叫作a与b的等差中项.,知识梳理,从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数,公差,d,ana1(n1)d,4.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：anam (n，mn). (2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nn)，则 . (3

2、)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为 . (4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列. (5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mn)是公差为 的等差数列. (6)数列sm，s2msm，s3ms2m，(mn)构成等差数列.,(nm)d,akalaman,2d,md,5.等差数列的前n项和公式,na1,6.等差数列的前n项和公式与函数的关系,7.等差数列的前n项和的最值 在等差数列an中，a10，d0，则sn存在最 值.,大,小,等差数列的四种判断方法 (1)定义法：an1and(d是常数)an是等差数列. (2)等差中项法：2an1

3、anan2 (nn)an是等差数列. (3)通项公式：anpnq(p，q为常数)an是等差数列. (4)前n项和公式：snan2bn(a，b为常数)an是等差数列.,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.() (2)等差数列an的单调性是由公差d决定的.() (3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.() (4)已知等差数列an的通项公式an32n，则它的公差为2.(),1.在等差数列an中，若a24，a42，则a6等于 a.1 b.0 c.1 d.6,考点自测,答案,解析,由等差数列的性质，得

4、a62a4a22240，故选b.,2.(教材改编)设数列an是等差数列，其前n项和为sn，若a62且s530，则s8等于 a.31 b.32 c.33 d.34,答案,解析,3.(2016全国乙卷)已知等差数列an前9项的和为27，a108，则a100等于 a.100 b.99 c.98 d.97,答案,解析,a100a1090d98，故选c.,4.(2016江西玉山一中模拟)已知数列an是等差数列，其前n项和为sn，若a3a4a59，则s7等于 a.21 b.28 c.35 d.42,答案,解析,a3a4a59，a43， s77a421，故选a.,5.若等差数列an满足a7a8a90，a7a

5、100，则当n_时，an的前n项和最大.,答案,解析,8,因为数列an是等差数列，且a7a8a93a80，所以a80. 又a7a10a8a90，所以a90.故当n8时，其前n项和最大.,题型分类深度剖析,题型一等差数列基本量的运算,例1(1)在数列an中，若a12，且对任意的nn有2an112an，则数列an前10项的和为,答案,解析,(2)(2016北京)已知an为等差数列，sn为其前n项和.若a16，a3a50，则s6_.,答案,解析,a3a52a40，a40. 又a16，a4a13d0，d2.,6,思维升华,等差数列运算问题的通性通法 (1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差

6、d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解. (2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.,跟踪训练1(1)设sn是等差数列an的前n项和，已知a23，a611，则s7等于 a.13 b.35 c.49 d.63,答案,解析,a1a7a2a631114，,(2)(2016江苏)已知an是等差数列，sn是其前n项和.若a1 3，s510，则a9的值是_.,答案,解析,20,设等差数列an的公差为d，由题意可得,则a9a18d48320.,题型二等差数列的判定与证明,证明,(2)求数列an中的最大项和

7、最小项，并说明理由.,解答,所以当n3时，an取得最小值1，当n4时，an取得最大值3.,引申探究,解答,思维升华,等差数列的四个判定方法 (1)定义法：证明对任意正整数n都有an1an等于同一个常数. (2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an1anan2后，可递推得出an2an1an1ananan1an1an2a2a1，根据定义得出数列an为等差数列. (3)通项公式法：得出anpnq后，得an1anp对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列an为等差数列. (4)前n项和公式法：得出snan2bn后，根据sn，an的关系，得出an，再使用定义法证明数列an为等差数列.,答案,解析,(2

8、)数列an满足a11，a22，an22an1an2. 设bnan1an，证明bn是等差数列；,证明,由an22an1an2， 得an2an1an1an2， 即bn1bn2. 又b1a2a11， 所以bn是首项为1，公差为2的等差数列.,求an的通项公式.,解答,由得bn12(n1)2n1， 即an1an2n1.,所以an1a1n2，即an1n2a1. 又a11，所以an的通项公式为ann22n2.,题型三等差数列性质的应用,命题点1等差数列项的性质,例3(1)(2015广东)在等差数列an中，若a3a4a5a6a725，则a2a8_.,答案,解析,因为an是等差数列，所以a3a7a4a6a2a

9、82a5，a3a4a5a6a75a525，所以a55，故a2a82a510.,10,(2)已知an，bn都是等差数列，若a1b109，a3b815，则a5b6_.,答案,解析,因为an，bn都是等差数列，所以2a3a1a5，2b8b10b6，所以2(a3b8)(a1b10)(a5b6)，即2159(a5b6)，解得a5b621.,21,命题点2等差数列前n项和的性质,例4(1)设等差数列an的前n项和为sn，且s312，s945，则s12_.,答案,解析,114,因为an是等差数列，所以s3，s6s3，s9s6，s12s9成等差数列，所以2(s6s3)s3(s9s6)， 即2(s612)12(

10、45s6)，解得s63. 又2(s9s6)(s6s3)(s12s9)， 即2(453)(312)(s1245)，解得s12114.,答案,解析,2 0182 0171. s2 0182 018.,a.2 018 b.2 016 c.2 019 d.2 017,思维升华,(2)和的性质：在等差数列an中，sn为其前n项和，则 s2nn(a1a2n)n(anan1)； s2n1(2n1)an.,跟踪训练3(1)在等差数列an中，已知a4a816，则该数列前11项和s11等于 a.58 b.88 c.143 d.176,答案,解析,答案,解析,典例1(1)在等差数列an中，2(a1a3a5)3(a7

11、a9)54，则此数列前10项的和s10等于 a.45 b.60 c.75 d.90,答案,解析,公差不为0的等差数列，求其前n项和与最值在高考中时常出现，题型有小题，也有大题，难度不大.,等差数列的前n项和及其最值,高频小考点6,考点分析,(2)在等差数列an中，s10100，s10010，则s110_.,答案,解析,110,方法一设数列an的首项为a1，公差为d，,所以a11a1002，,典例2在等差数列an中，已知a120，前n项和为sn，且s10s15，求当n取何值时，sn取得最大值，并求出它的最大值.,规范解答,解 a120，s10s15，,得a130. 即当n12时，an0，当n14

12、时，an0. 当n12或n13时，sn取得最大值，,nn，当n12或n13时，sn有最大值，且最大值为s12s13130.,方法三由s10s15，得a11a12a13a14a150. 5a130，即a130. 当n12或n13时，sn有最大值，且最大值为s12s13130.,课时作业,1.(2016重庆一诊)在数列an中，an1an2，a25，则an的前4项和为 a.9 b.22 c.24 d.32,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,由an1an2，知an为等差数列且公差d2，由a25，得a13，a37，a49，前4项和为357924，故选c.,1,2,3

13、,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2.九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中，甲所得为,答案,解析,设等差数列an的首项为a1，公差为d，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.(2016佛山模拟)已知等差数列an满足a23，snsn351(n3)

14、，sn100，则n的值为 a.8 b.9 c.10 d.11,答案,解析,由snsn351，得an2an1an51， 所以an117，又a23，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.(2017北师大附中质检)九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,设竹子自上而下各节的容积分别为a1，a2，a9，且为等差数列， 根据题意得a1a2a3a43，a7a8a94， 即4a16d3， 3a121d4， 43得6

15、6d7，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,5.已知数列an满足an1an ，且a15，设an的前n项和为sn，则使得sn取得最大值的序号n的值为 a.7 b.8 c.7或8 d.8或9,答案,解析,由题意可知数列an是首项为5，公差为 的等差数列， 所以an5 (n1) ，该数列前7项是正数项，第8项是0， 从第9项开始是负数项，所以sn取得最大值时，n7或n8，故选c.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,*6.设等差数列an满足a11，an0(nn)，其前n项和为sn，若数列 也为等差数列，则 的最大值是 a.310 b.212 c.18

16、0 d.121,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,设数列an的公差为d，,化简可得d2a12，,所以an1(n1)22n1，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,故选d.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.(2015安徽)已知数列an中，a11，anan1 (n2)，则数列an的前9项和等于_.,答案,解析,27,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,9.设数列an的通项公式为an2n10(nn)，则|a1|a

17、2|a15|_.,答案,解析,130,由an2n10(nn)知an是以8为首项，2为公差的等差数列，又由an2n100，得n5， 当n5时，an0，当n5时，an0， |a1|a2|a15|(a1a2a3a4)(a5a6a15) 20110130.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,an，bn为等差数列，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,11.在等差数列an中，a11，a33. (1)求数列an的通项公式；,解答,设等差数列an的公差为d， 则ana1(n1)d. 由a11，a33，可得12d3，解得d2. 从而an1(n1)(

18、2)32n.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2)若数列an的前k项和sk35，求k的值.,解答,由(1)可知an32n，,由sk35，可得2kk235， 即k22k350，解得k7或k5. 又kn，故k7.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,证明,当n2时，由an2snsn10，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解答,(2)求数列an的通项公式.,当n2时，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,*13.已知数列an的各项均为正数，前n项和为sn，且满足2sn n4(nn). (1)求证