高考数学一轮复习 第十二章 推理证明、算法、复数 12.1 随机事件的概率课件 理

1、12.1随机事件的概率,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,1.概率和频率,知识梳理,(1)在相同的条件s下重复n次试验，观察某一事件a是否出现，称n次试验中事件a出现的次数na为事件a出现的 ，称事件a出现的比例fn(a)_为事件a出现的 . (2)对于给定的随机事件a，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件a发生的 会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件a发生的可能性大小，并把这个 称为随机事件a的概率，记作p(a).,频数,频率,频率,常数,2.事件的关系与运算,包含,ba,(或ab),ab,并事件,事件a发生,事件b发生,

2、交事件,互为对立事件,p(a)p(b)1,3.概率的几个基本性质,(1)概率的取值范围： . (2)必然事件的概率p(e) . (3)不可能事件的概率p(f) . (4)概率的加法公式 如果事件a与事件b互斥，则p(ab) . (5)对立事件的概率 若事件a与事件b互为对立事件，则p(a) .,0p(a)1,1,0,p(a)p(b),1p (b),互斥事件与对立事件的区别与联系 互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件.,判断下列结

3、论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)事件发生频率与概率是相同的.() (2)随机事件和随机试验是一回事.() (3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值.() (4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生.() (5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件.() (6)两互斥事件的概率和为1.(),考点自测,1.从1,2,3,4,5中随机选取一个数a，从1,2,3中随机选取一个数b，则ba的概率是,答案,解析,基本事件的个数有5315，,其中满足ba的有3种，,2.(教材改编)将一枚硬币向上抛掷10次，其中“正面向上恰有5次”是,答案,解析,a.必然事件 b.随机事件c.不可能

4、事件 d.无法确定,抛掷10次硬币正面向上的次数可能为010，都有可能发生， 正面向上5次是随机事件.,3.从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在160,175(单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为,答案,解析,a.0.2 b.0.3 c.0.7 d.0.8,因为必然事件发生的概率是1，,所以该同学的身高超过175 cm的概率为10.20.50.3，故选b.,4.某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别为0.2,0.3,0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为,答案,解析,a.0.5 b.0.

5、3 c.0.6 d.0.9,依题设知，此射手在一次射击中不超过8环的概率为1(0.20.3)0.5.,5.(教材改编)袋中装有9个白球，2个红球，从中任取3个球，则恰有1个红球和全是白球；至少有1个红球和全是白球；至少有1个红球和至少有2个白球；至少有1个白球和至少有1个红球.在上述事件中，是对立事件的为_.,答案,解析,是互斥不对立的事件，是对立事件，不是互斥事件.,题型分类深度剖析,题型一事件关系的判断,例1(1)从1,2,3，7这7个数中任取两个数，其中： 恰有一个是偶数和恰有一个是奇数； 至少有一个是奇数和两个都是奇数； 至少有一个是奇数和两个都是偶数； 至少有一个是奇数和至少有一个是

6、偶数. 上述事件中，是对立事件的是,a. b. c. d.,答案,解析,中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，,而从17中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件：“两个都是奇数”、“一奇一偶”、“两个都是偶数”，,故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件.,(2)设条件甲：“事件a与事件b是对立事件”，结论乙：“概率满足p(a)p(b)1”，则甲是乙的 a.充分不必要条件 b.必要不充分条件 c.充要条件 d.既不充分也不必要条件,答案,解析,若事件a与事件b是对立事件，则ab为必然事件，,再由概率的加法公式得p(a)p(b)1.设掷一枚硬币

7、3次，,事件a：“至少出现一次正面”，事件b：“3次出现正面”，,(3)在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件,至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”，,“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件.,答案,解析,a.至多有一张移动卡 b.恰有一张移动卡 c.都不是移动卡 d.至少有一张移动卡,(1)准确把握互斥事件与对立事件的概念 互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生. 对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生. (2)判断互斥、对立事件的方法 判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时

8、发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.,思维升华,跟踪训练1从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取2个球，以下给出了四组事件： 至少有1个白球与至少有1个黄球； 至少有1个黄球与都是黄球； 恰有1个白球与恰有1个黄球； 恰有1个白球与都是黄球. 其中互斥而不对立的事件共有 a.0组 b.1组 c.2组 d.3组,答案,解析,中“至少有1个白球”与“至少有1个黄球”可以同时发生，如恰好1个白球和1个黄球，中的两个事件不是互斥事件.,中“至少有1个黄球”说明可以是1个白球和1个黄球或2个黄球，则两个事件不互斥.,中“恰有1个白球”与“恰

9、有1个黄球”，都是指有1个白球和1个黄球，因此两个事件是同一事件.,中两事件不能同时发生，也可能都不发生，因此两事件是互斥事件，但不是对立事件，故选b.,题型二随机事件的频率与概率,例2(2016全国甲卷)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：,随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：,(1)记a为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求p(a)的估计值；,解答,事件a发生当且仅当一年内出险次数小于2.,故p(a)的估计值为0.55.,(2)记b为事件：“一续保人本年度的保费高于基

10、本保费但不高于基本保费的160%”，求p(b)的估计值；,解答,事件b发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.,故p(b)的估计值为0.3.,(3)求续保人本年度的平均保费的估计值.,解答,由所给数据得,调查的200名续保人的平均保费为,0.85a0.30a0.251.25a0.151.5a0.151.75a0.102a0.051.192 5a.,因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.,(1)概率与频率的关系 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值. (2)随机

11、事件概率的求法 利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率.,思维升华,跟踪训练2(2015北京)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“”表示购买，“”表示未购买.,解答,(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；,从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙 和丙，,解答,(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；,从统计表可以看出，在这1 000位顾客中， 有100位顾客同时购买了甲、丙、丁， 另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，

12、其他顾客最多购买了2种商品.,(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？,解答,与(1)同理，可得：,所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大.,题型三互斥事件、对立事件的概率,命题点1互斥事件的概率 例3袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是 ，得到黑球或黄球的概率是 ，得到黄球或绿球的概率也是 ，试求得到黑球、黄球和绿球的概率各是多少？,解答,方法一从袋中选取一个球，记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”分别为a，b，c，d，则有,所以黄球和绿球共5个，而绿球有3个，所以黄球有532(个)

13、. 所以黑球有124323(个).,因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是,命题点2对立事件的概率 例4某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖，一等奖，二等奖的事件分别为a，b，c，求： (1)p(a)，p(b)，p(c)；,解答,(2)1张奖券的中奖概率；,解答,1张奖券中奖包含中特等奖，一等奖，二等奖.,设“1张奖券中奖”这个事件为m，则mabc.,a，b，c两两互斥，,p(m)p(abc)p(a)p(b)p(c),(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.,解答,设“1张奖券不中

14、特等奖且不中一等奖”为事件n， 则事件n与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，,求复杂事件的概率的两种方法 求概率的关键是分清所求事件是由哪些事件组成的，求解时通常有两种方法： (1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率； (2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”.它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率.,思维升华,跟踪训练3经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：,解答,求：(1)至多2人排队等候的概率； (2)至少3人排队等候的概率.,记“

15、无人排队等候”为事件a，“1人排队等候”为事件b，“2人排队等候”为事件c，“3人排队等候”为事件d，“4人排队等候”为事件e，“5人及5人以上排队等候”为事件f，则事件a、b、c、d、e、f彼此互斥.,(1)记“至多2人排队等候”为事件g，则gabc，,所以p(g)p(abc)p(a)p(b)p(c) 0.10.160.30.56.,(2)方法一记“至少3人排队等候”为事件h，,则hdef，,所以p(h)p(def)p(d)p(e)p(f)0.30.10.040.44.,方法二记“至少3人排队等候”为事件h，则其对立事件为事件g，,所以p(h)1p(g)0.44.,典例(12分)某超市为了了

16、解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.,用正难则反思想求互斥事件的概率,思想与方法系列25,已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均数； (2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率),思想方法指导,规范解答,若某一事件包含的基本事件多，而它的对立事件包含的基本事件少，则可用“正难则反”思想求解.,解(1)由已知得25y1055，x3045，,所以x15，y20. 2分,该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体， 所收集的100

17、位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本， 顾客一次购物的结算时间的平均数可用样本平均数估计，其估计值为,1.9(分钟). 6分,(2)记a为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，,a1，a2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”， “该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，,课时作业,1.(2016天津)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 ，甲获胜的概率是 ，则甲不输的概率为,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件，,2.(教材改编)袋中装有3个白球，4个黑球

18、，从中任取3个球，则恰有1个白球和全是白球；至少有1个白球和全是黑球；至少有1个白球和至少有2个白球；至少有1个白球和至少有1个黑球. 在上述事件中，是对立事件的为 a. b. c. d.,答案,解析,至少有1个白球和全是黑球不同时发生，且一定有一个发生.,中两事件是对立事件.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是 ，都是白子的概率是 ，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,设“从中取出2粒都是黑子”为事件a，,“从中取出2粒都是白子

19、”为事件b，,“任意取出2粒恰好是同一色”为事件c，,则cab，且事件a与b互斥.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.(2016襄阳模拟)有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向.事件“甲向南”与事件“乙向南”是 a.互斥但非对立事件 b.对立事件 c.相互独立事件 d.以上都不对,答案,解析,由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，,故是互斥事件，但不是对立事件，故选a.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,5.(2016蚌埠模拟)从一篮子鸡蛋中任取1个，如果其重

20、量小于30克的概率为0.3，重量在30,40克的概率为0.5，那么重量不小于30克的概率为 a.0.8 b.0.5 c.0.7 d.0.3,答案,解析,由互斥事件概率公式知重量大于40克的概率为10.30.50.2，,又0.50.20.7，,重量不小于30克的概率为0.7.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,6.从存放的号码分别为1,2,3，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：,取到号码为奇数的卡片的次数为1356181153，,则取到号码为奇数的卡片的频率是 a.0.53 b.0.5 c.0.47 d.0.37,1,2,3

21、,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,7.在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件： 在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品； 在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品； 在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品. 其中_是必然事件；_是不可能事件；_是随机事件.,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再

22、以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数： 907966191925271932812458569683 431257393027556488730113537989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为_.,答案,解析,0.25,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,20组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是191,271,932,812,393，,以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为0.25.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,9.若随机事件a，b互斥，a，b发生的概率均不等于0，且p(a

23、)2a，p(b)4a5，则实数a的取值范围是_.,由题意可知,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,10.一个口袋内装有大小相同的红球，白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.58，摸出红球或黑球的概率为0.62，那么摸出红球的概率为_.,0.2,答案,解析,记事件a，b，c分别是摸出红球，白球和黑球，,则a，b，c互为互斥事件且p(ab)0.58，p(ac)0.62，,所以p(c)1p(ab)0.42，p(b)1p(ac)0.38， p(a)1p(c)p(b)10.380.420.2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13

24、,11.某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：,(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解答,设a表示事件“赔付金额为3 000元”，b表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得,由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，,所以其概率为p(a)p(b)0.150.120.27.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔

25、付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,设c表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，,由频率估计概率得p(c)0.24.,由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.11 000100(辆)，,而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.212024(辆)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解答,12.(2016北京)a，b，c三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：,(1)试估计c班的学生人数；,由题意及分层抽样可知，c班学生人数约为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2)从a班和c班抽出的学生中，各随机选取1人，a班选出的人记为甲，c班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；,1,2,3,4,