高一数学上学期期末复习 专题03 二次函数、基本初等函数(I)导学案

1、第三讲 二次函数、基本初等函数（I）一、基础知识整合（一）二次函数1二次函数解析式的三种形式(1)一般式： f(x)(a0)；(2)顶点式： f(x)(a0)；(3)零点式： f(x)(a0)2二次函数的图象与性质二次函数f(x)ax2bxc(a0)的图象是一条抛物线，它的对称轴、顶点坐标、开口方向、值域、单调性分别是：(1)对称轴：x ：(2)顶点坐标： (3)开口方向：a0时，开口 ，a0时，开口 ；(4)值域：a0时，y ，a0时，y ；(5)单调性：a0时，f(x)在 上是减函数，在 上是增函数；a0时，f(x)在上是 ，在上是_3二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系二次函数f

2、(x)ax2bxc(a0)的零点(图象与x轴交点的横坐标)是相应一元二次方程ax2bxc0的，也是一元二次不等式ax2bxc0(或ax2bxc0)解集的 4二次函数在闭区间上的最值二次函数在闭区间上必有最大值和最小值它只能在区间的 或二次函数的 处取得，可分别求值再比较大小，最后确定最值5一元二次方程根的讨论(即二次函数零点的分布)设x1，x2是实系数一元二次方程ax2bxc0(a0)的两实根，则x1，x2的分布范围与系数之间的关系如表所示.根的分布(mnp且m，n，p均为常数)图象满足的条件x1x2mmx1x2x1mx2f(m)0，且a1)与指数函数yax(a0且a1)互为反函数；它们的图象

3、关于直线_对称(四)幂函数1幂函数的定义一般地，函数_叫做幂函数，其中x是自变量，是常数2几个常用的幂函数的图象与性质定义幂函数yx(R)图象00性质(1)图象过点_图象过点_(2)在第一象限内，函数值随x的增大而增大，即在(0，)上是_在第一象限内，函数值随x的增大而减小，即在(0，)上是_(3)在第一象限内，当1时，图象下凸；当01时，图象上凸在第一象限内，图象都下凸(4)形如y或 (m，n为互质的正整数)类型函数的奇偶性判断：当m，n都为奇数时，幂函数在定义域上为奇函数；当m为奇数，n为偶数时，幂函数在定义域上为非奇非偶函数；当m为偶数，n为奇数时，幂函数在定义域上为偶函数.（五）函数的

4、图象1作函数的图象有两种基本方法：(1)利用描点法作图，其一般步骤为：确定函数定义域；化简函数解析式；讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)；描点并作出函数图象(2)图象变换法2图象变换的四种形式(1)平移变换水平平移：yf(x)的图象向左平移a(a0)个单位长度，得到_的图象；yf(xa)(a0)的图象可由yf(x)的图象向_平移a个单位长度而得到竖直平移：yf(x)的图象向上平移b(b0)个单位长度，得到_的图象；yf(x)b(b0)的图象可由yf(x)的图象向_平移b个单位长度而得到总之，对于平移变换，记忆口诀为“左加右减，上加下减”(2)对称变换yf(x)，yf(x)，y_f

5、(x)三个函数的图象与yf(x)的图象分别关于_、_、_对称；若对定义域内的一切x均有f(mx)f(mx)，则yf(x)的图象关于直线_对称(3)伸缩变换要得到yAf(x)(A0)的图象，可将yf(x)的图象上每点的纵坐标伸(A1时)或缩(A0)的图象，可将yf(x)的图象上每点的横坐标伸(a1时)到原来的_(4)翻折变换y|f(x)|的图象作法：作出yf(x)的图象，将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，上方的部分不变；yf(|x|)的图象作法：作出yf(x)在y轴右边的图象，以y轴为对称轴将其翻折到左边得yf(|x|)在y轴左边的图象，右边的部分不变【答案】（一）1(1)a

6、x2bxc(2)a(xh)2k(3)a(xx1)(xx2)2(1) (2) (3)向上向下(4) (5) 增函数减函数3根端点值4端点顶点(二)1(1)n次方根正负两相反数00(2)根指数被开方数(3)a|a|2(1)1(2) (3) (4) (5)0没有意义(6)arsarsarbr3R(0，)(0，1)增函数减函数(三)1(1)对数logaN底数真数(2)10lgNelnN(iii)01(3)(4)logaMlogaNlogaMlogaNnlogaMlogaM(5)N2(0，)R(1，0)增函数减函数3yx(四)1yx2(1)(0，0)和(1，1)(1，1)(2)增函数减函数（五）2(1)

7、yf(xa)右yf(x)b下(2)y轴x轴原点xm(3)A倍倍二、自主小测1.已知f(x)x2pxq满足f(1)f(2)0，则f(1)的值是() A.5 B.5 C.6 D.6 【答案】C【解析】由f(1)f(2)0知方程x2pxq0的两根分别为1，2，则p3，q2，f(x)x23x2，f(1)6. 2.已知a2，blog2，clog，则()A. abc B. acbC. cba D. cab【答案】D【解析】0a1，b1.cab.3.已知1，1，2，3，则使函数yx的值域为R，且为奇函数的所有的值为()A.1，3 B.1，1C.1，3 D.1，1，3【答案】A【解析】因为函数yx为奇函数，故

8、的可能值为1，1，3.又yx1的值域为y|y0，函数yx，yx3的值域都为R.所以符合要求的的值为1，3.4.函数yaxa1(a0，且a1)的图象可能是()【答案】D【解析】函数yax是由函数yax的图象向下平移个单位长度得到，A项显然错误；当a1时，01，平移距离小于1，所以B项错误；当0a1，平移距离大于1，所以C项错误，故选D.5.若loga0，且a1)，则实数a的取值范围是_.【答案】(1，)【解析】当0a1时，logalogaa1，解得0a1时，loga1.二、热点题型展示类型一二次函数例1. 已知二次函数f(x)满足f(2)1, f(1)1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数

9、的解析式【答案】.【解析】解法一：(利用一般式)设，由题意得 解之得所求二次函数为.解法二：(利用顶点式)设f(x)a(xm)2n(a0)，f(2)f(1)，抛物线对称轴为，又根据题意，函数有最大值为8，n8，.f(2)1，即.解之得a4.，即.解法三：(利用零点式)由已知f(x)10的两根为x12，x21，即g(x)f(x)1的两个零点为2，1，故可设f(x)1a(x2)(x1)(a0)，即f(x)ax2ax2a1.又函数有最大值ymax8，即，解之得a4，所求函数解析式为f(x)4x24x2(4)1,即.例2.已知函数，记是在区间上的最大值.证明：当时，；（2）当，满足，求的最大值.【答案

10、】（1）详见解析；（2）.【解析】（1）由，得对称轴为直线，由，得，故在上单调，当时，由，得，即，当时，由，得，即，综上，当时，；（2）由得，故，由，得，当，时，且在上的最大值为，即，的最大值为.【名师点睛】1求二次函数的解析式利用已知条件求二次函数的解析式常用的方法是待定系数法，但须根据不同条件选取适当形式的f(x)，一般规律是：已知三个点的坐标时，常用一般式；已知抛物线的顶点坐标、对称轴、最大(小)值时，常用顶点式；若已知抛物线与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式更方便2含有参数的二次函数在闭区间上的最值或值域二次函数在区间m，n上的最值或值域问题，通常有两种类型：其一是定函数(解

11、析式确定)，动区间(区间的端点含有参数)；其二是动函数(解析式中含有参数)，定区间(区间是确定的)无论哪种情况，解题的关键都是抓住“三点一轴”，“三点”即区间两端点与区间中点，“一轴”即为抛物线的对称轴对于动函数、动区间的类型同样是抓住“三点一轴”，只不过讨论要复杂一些而已3二次函数的综合应用解二次函数的综合应用问题，要充分应用二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的密切关系，对所求问题进行等价转化，要注意的结构特点，注意一些特殊点的函数值，如等4.对一元二次方程根的问题的研究，主要分三个方面：(1)根的个数问题，由判别式判断；(2)正负根问题，由判别式及韦达定理判断；(3)根的分布问题，依函

12、数与方程思想，通过考查开口方向、对称轴、判别式、端点函数值等数形结合求解类型二指数幂与指数函数例1.计算：【答案】.【解析】原式.例2.定义运算ab则函数f(x)12x的图象是()(2)方程2x2x的解的个数是_.【答案】(1)A(2)1.【解析】(1)因为当x0时，2x1；当x0时，2x1.则f(x)12x图象A满足.(2)方程的解可看作函数y2x和y2x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图).由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解.【名师点睛】1.指数幂的运算应注意：(1)运算的先后顺序；(2)化负数指数幂为正数指数幂；(3)化根式为分数指数幂；(4)化小数为分数2.与指数

13、函数有关的比较大小问题，除了应用函数的单调性外，还用到指数函数图象的“陡峭”程度，也就是函数f(x)增(减)的快慢3. 解决指数函数的综合问题，首先要熟练掌握指数函数的基本性质，如函数值恒正，在R上单调，过定点等类型三对数与对数函数例1.已知定义域为R的函数为偶函数，满足，且当时，则 【答案】 【解析】由得是以为周期的函数，则. 例2.已知函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若实数满足：，则a的取值范围是 【答案】【解析】转化为，函数为偶函数，所以不等式化为，函数在上是增函数.例3.已知函数.（）求函数的零点；（）若函数的最小值为，求的值.【答案】（1） （2）【解析】（）要使函数有意义：

14、则有，解之得： 函数可化为由，得， 即， 的零点是.（）函数化为： 即 由，得，.【名师点睛】1.对数式的化简、求值问题，要注意对数运算性质的逆向运用，但无论是正向还是逆向运用都要注意对数的底数须相同2.比较大小问题是高考的常考题型，应熟练掌握比较大小的基本方法：作差(商)法；函数单调性法；介值法(特别是以0和1为媒介值)利用对数函数单调性比较大小的基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决类型四幂函数例1.如图，曲线是幂函数yxn在第一象限的图象，已知n取2，3，1四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为 【答案】3，2，1.【解析】解法一(数

15、形结合法)：如图，作直线xt(t1)，由于函数yxn的图象与直线xt的交点为，可见指数n的大小与图象交点的“高低”是一致的，结合图象，可得答案解法二(特殊值法)：当故填3，2，1.例2.已知幂函数为偶函数（1）求的解析式；（2）若函数在区间（2，3）上为单调函数，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）或【解析】（1）由为幂函数知，得 或当时，符合题意；当时，不合题意，舍去（2）由（1）得，即函数的对称轴为，由题意知在（2，3）上为单调函数，所以或，即或【名师点睛】 比较两个幂的大小，首先要分清是底数相同还是指数相同如果底数相同，可利用指数函数的单调性；如果指数相同，可转化为底数相同，或利用幂函

16、数的单调性，也可借助函数图象；如果指数不同，底数也不同，则要利用中间量类型五函数的图象例1.如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（ ）A BC D【答案】C【解析】如图所示，把函数的图象向左平移一个单位得到的图象时两图象相交，不等式的解为，用集合表示解集选C.例2.在同一直角坐标系中，函数的图像可能是（ ）【答案】D【解析】函数，与，答案A没有幂函数图像，答案B中，中，不符合，答案C中，中，不符合，答案D中，中，符合，故选D.【名师点睛】1.函数的图象往往是可由基本函数的图象通过变换得到，因此应能熟练的作出基本函数的图象，再根据平移、伸缩、对称等变换作出待作函数的图象；2.变换法作函数的图

17、象是经常用到的一种作图方法，在作图时，应注意先作出图象的关键点(如与x轴、y轴的交点等)和关键线(如对称轴、渐近线等)；3.利用函数奇偶性与基本函数图象的特征作图，也是常用方法之一类型六函数模型及其应用例1. 某食品的保鲜时间(单位：小时)与储藏温度(单位：)满足函数关系(为自然对数的底数，为常数).若该食品在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则该食品在的保鲜时间是( )(A)16小时 (B)20小时 (C)24小时 (D)21小时【答案】C【解析】由题意，得，于是当x33时，ye33kb(e11k)3eb19224(小时)例2. 为了迎接世博会，某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租

18、.该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆.为了便于结算，每辆自行车的日租金（元）只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用（元）表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得）。（1）求函数的解析式及其定义域；（2）试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？【答案】（1），定义域为；（2）11元【解析】（1）当时，.令，解得.，.当时，.令，有.上述不等式的整数解为，故，定义域

19、为.（2）对于，显然当时，（元）.对于，当时，（元），当每辆自行车的日租金定在11元时，才能使一日的净收入最多.【名师点睛】1解函数应用问题的步骤(1)审题：数学应用问题的文字叙述长，数量关系分散且难以把握，因此，要认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，收集整理数据信息，这是解答数学问题的基础(2)建模：在明确了问题的实际背景和收集整理数据信息的基础上进行科学的抽象概括，将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，合理引入自变量，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式(也叫目标函数)，将实际问题转化为数学问题，即实际问题数学化，建立数学模型(3)解模

20、：利用数学的方法将得到的常规数学问题(即数学模型或目标函数)予以解答，求得结果(4)还原：将求解数学模型所得的结果还原为实际问题的意义，回答数学应用题提出的问题以上过程可以用示意图表示为：模拟函数的过程可以用下面框图表示：2函数模型的选择解题过程中选用哪种函数模型，要根据题目具体要求进行抽象和概括，灵活地选取和建立数学模型一般来说：如果实际问题的增长特点为直线上升，则选择直线模型；若增长的特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(指数爆炸)，则选择指数型函数模型；若增长的特点是随着自变量的增大，函数值的增大速度越来越慢，则选择对数型函数模型；如果实际问题中变量间的关系，不能用同一个关系

21、式表示，则选择分段函数模型等另外，常见的出租车计费问题、税收问题、商品销售等问题，通常用分段函数模型；面积问题、利润问题、产量问题常选择幂型函数模型，特别是二次函数模型；而对于利率、细胞分裂、物质衰变，则常选择指数型函数模型三、易错易混辨析已知定义域为0,1上的函数图象如下图左图所示，则函数的图象可能是（ ）【错解】先将的图象沿y轴对折得到的图象，再将所得图象向左平移1个长度单位就得到函数的图象，故选A.【错因分析】没有掌握图象变换，图象平移长度单位是加在上，而不是加在上，本例因=，故先做对称变换后，应向右平移1长度单位.【预防措施】先将所给函数化为形式，若先做伸缩变换，再作平移变换，注意平移

22、方向和平移单位.【正解】因=,先将的图象沿y轴对折得到的图象，再将所得图象向右平移1个长度单位就得到函数的图象，故选B.【名师点睛】1指数函数的图象、性质在应用时，如果底数a的取值范围不确定，则要对其进行分类讨论2熟练掌握指数式与对数式的互化，它不仅体现了两者之间的相互关系，而且为对数的计算、化简、证明等问题提供了更多的解题途径3作指数函数yax(a0，且a1)和对数函数ylogax(a0，且a1)的图象应分别抓住三个点，(0，1)，(1，a)和，(1，0)，(a，1)4幂函数的图象特征与指数的大小关系，大都可通过幂函数的图象与直线x2或的交点纵坐标的大小反映一般地，在区间(0，1)上，幂函数

23、中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大、图低”)，在区间(1，)上，幂函数中指数越大，图象越远离x轴(不包括幂函数yx0)5幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，则要看函数的定义域和奇偶性函数的图象最多只能同时出现在两个象限内，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点6判断一个函数是否为指数函数或对数函数或幂函数，一定要根据三种函数定义给出的“标准”形式如f(x)2x2不是指数函数，而f(x)23x是指数函数，因为f(x)23x8x，此时a8，同样f(x)2x1也不是指数函数，因为f(x)2x122x，不是f(x)ax(a0，且a

24、1)的形式四、强化训练提高1.计算的结果是( )A、 B、2 C、 D、3【答案】B【解析】，选B2.函数的零点所在的区间是（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】，所以零点在区间.3.，则（ ）A B C D【答案】A【解析】，由于为增函数，所以.应为为增函数，所以，故.4.函数的单调递增区间是 （）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】函数的定义域为，由于外层函数为减函数，由复合函数的单调性可知，只要求的单调递减区间，结合函数的定义域，得单调递增区间为，故选D5.已知，则A. B C. D.【答案】D【解析】由对数函数的性质知，由幂函数的性质知，故有.6.要得到的图象，只需

25、将函数的图象（ ）A向左平移1个单位 B向右平移1个单位 C向上平移1个单位 D向下平移1个单位【答案】C【解析】，故向上平移个单位.7.方程的解的个数是 （ ）A3 B2 C1 D0【答案】B【解析】在同一坐标系中画出函数与的图象，如图所示：易判断其交点个数为2个则方程的解的个数也为2个8.函数在区间上的最小值是( )A B0 C1 D2【答案】B【解析】画出在定义域内的图像，如下图所示，由图像可知在区间上为增函数，所以当时取得最小值，即最小值为。yx0(1,0)29.已知函数的图象如图，其中可以用二分法求解的个数为（ ）A1个 B2个 C4个 D3个【答案】D【解析】因为函数与轴由个交点，

26、其中一个交点，左右两边函数值符号相同不能用二分法求解，所以可以用二分法求解的个数为个，故选D.10.若函数在上是增函数，则的范围是（ ）A（1,2 B1,2） C1,2 D（1,+）【答案】A【解析】因为函数在上是增函数，所以函数是增函数，所以，则根据题意有，解得，故选A11.已知函数为自然对数的底数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】，所以，.12.已知函数若关于的方程有两个不等的实根，则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】D【解析】做出的图象，在时，是增函数，值域为，在时，是减函数，值域是，由图知，方程有两个不等实根，则有.故选D.13.若，则满足的取值范围是 .【

27、答案】【解析】根据幂函数的性质，由于，所以当时，当时，因此的解集为.14.已知函数，则 【答案】【解析】15.函数（且）恒过定点 【答案】【解析】因为，所以恒过定点16.设函数，则_.【答案】【解析】，故，故答案为.17.已知，则使成立的值是_.【答案】【解析】当时，当时，综上，18.已知max(a，b)表示a，b两数中的最大值.若f(x)maxe|x|，e|x2|，则f(x)的最小值为_.【答案】e【解析】f(x)当x1时，f(x)exe(x1时，取等号)，当xe，因此x1时，f(x)有最小值f(1)e.19.计算（1）（2）【答案】（1）；（2）【解析】（1）（2）20.若二次函数有一个零点小于-1，一个零点大于3，求实数的取值范围.【答案】.【解析】因为二次