四川大学线性代数教材第一章第二节.ppt

1、在第二节中，将包括行化简并性和步长矩阵解的存在性和唯一性、步长矩阵和行最大简并性、以及至少一个非零元素的行或列称为该矩阵的非零行或非零列。 的双曲馀弦值。 非零行最左边的非零元素称为该行的非零第一个元素或第一个元素。 的双曲馀弦值。 如果矩阵满足以下两个性质，则该矩阵称为阶跃矩阵。 1 .所有非零行的元素都位于零行之上；2 .每行具有非零基元的列，在前一行具有非零基元的列右侧，即具有非零基元的列数随行数的增加而增加。、称为行最简并性矩阵或Jordan (约当)阶梯矩阵。 3 .非零行中非零的第一个元素都是1，4 .非零的第一个元1所在的每列的佘元素都是0。 一个阶矩阵可以在初等行中将、(证明省

2、略)、命题中的任何非零矩阵转换为阶矩阵，并且可以转换为行中最简单的形式。 注意：使用不同顺序的初等行变换，经过量化的阶梯矩阵一般是不同的。 然而，通过不同次序的初等行变换简并性来从一个矩阵所获得的行的最大简并性形式是唯一的。 想一想：为什么最简单的形式是唯一的？ 的双曲馀弦值。 在矩阵的阶梯形中，与第一个非零元素相对应的位置称为主元素位置，主元素位置上的元素称为主元素，主元素所在的列称为主元素列。 将以下矩阵比例化为阶梯形、行的最简单的形式，求出主元列。 解：矩阵的主元列分别是第一、三、四列。 的双曲馀弦值。 初等行转换的楼梯形状不同，但主元的位置相同，行的最简单形状是唯一的。 一般步骤：1

3、.从矩阵最左边非零列开始，在该列的第一行有主元位置时，如果位置要素为零，则替换变换为非零元，得到主元。 2 .初等行变换中的加倍变换，将主元下的元化归零。 3 .复盖或忽略包含主元位置的行及其上的所有行。 对于佟下的子代，将第一步到第三步应用于矩阵可以得到阶梯状矩阵。 4 .为了得到进一步行的最简单形式，在第二步中，使用加倍变换，将主元列中除主元以外的所有元归零，使用平方变换将主元置为1，将化矩阵置为阶梯形的方法来求解线性方程：首先将方程的扩大矩阵变换为初等行中的阶梯矩阵(或者行的最简单形式) 在行的最简单的形式中，这些个的3个变量分别只能出现在一个方程式中，能够对其进行求解，并且可以进行明确

4、的表示。 方程组侑下的变量可以任意取值，故称为自由变量。 的双曲馀弦值。 在此示例中，出现自由变量是因为线性方程组的主元列数(即基本变量的数)少于总未知量的数。主元列数为3列，即基本变量为3个，与3个方程式对应，总未知量个数为5，因此剩下的2个变量为自由变量。 在方程组中有解的情况下，通过自由变量个数=总未知量个数主元列数，首先，在初等行中将方程组的扩展矩阵变换为阶梯矩阵(或者变换为行最小化形)，在例子中求解线性方程组，求解：阶梯矩阵能够写出与原方程组同解的方程组、不符点方程，所以不能求解原方程组。 不符点方程式的出现，实际上是因为方程式群的系数矩阵的主元列数比扩展矩阵的主元列数少。定理1如果

5、一个线性方程群有解，并且扩展矩阵的最右边的列不是主元列，即扩展矩阵的阶形式没有以下形式的行：如果有解，如果主元列数等于未知量个数，则方程群唯一有解的主元列数少于未知量数，则方程群有无限多解。 定理21个线性方程群有解，只有在系数矩阵和扩展矩阵具有相同的主元列时。 推论一次线性方程一定有解。推论2、常数项都为零的线性方程群称为齐次线性方程群，相反称为非齐次线性方程群。 的顺序，使用初等行变换求解线性方程群的步骤，1 .写出线性方程群的扩展矩阵。 2 .初等行变换中将扩展矩阵做成阶梯形，用主元列数对方程式组判断解的有木有。 如果没有解就停止之外的情况下，进入下一步。 3 .继续初等行变换简并性，得到行的最简并性形式。 4 .写出与行中最简单矩阵对应的线性方程。 5 .对步骤4中获得的每个非零方程进行重写，明确表示其中的基本变量，获得方程组的解。 练习1将线性方程群的扩展矩阵经过一连串的初等行变换为如下的阶矩阵，就可以解其线性方程群。解：由于系数矩阵和扩展矩阵具有相同的主元列，所以方程组有解。 另外，因为主元列数为2，未知量个数为3，即主元列数比未知量个数少，所以方程组中有无限