高三数学一轮复习资料 第十三编 推理与证明13.3数学归纳法教案 理

1、高三数学（理）一轮复习教案 第十三编 推理与证明 总第68期 13.3数学归纳法基础自测1.用数学归纳法证明：“1+a+a2+an+1=(a1)”在验证n=1时，左端计算所得的项为 .答案1+a+a22.如果命题P（n）对n=k成立，则它对n=k+1也成立，现已知P（n）对n=4不成立，则下列结论正确的是 （填序号）.P（n）对nN*成立；P(n)对n4且nN*成立P（n）对n4且nN*成立；P（n）对n4且nN*不成立答案 3.用数学归纳法证明1+2+3+n2=，则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上 .答案 （k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+（k+1）24.已知f(n)=+ +

2、，则下列说法有误的是 .f(n)中共有n项，当n=2时，f(2)=+；f(n)中共有n+1项，当n=2时，f(2)= +f(n)中共有n2-n项，当n=2时，f(2)=+；f(n)中共有n2-n+1项，当n=2时，f(2)= +答案 5.用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn+yn能被x+y整除”，在第二步时， .答案 假设n=k(k是正奇数)，证明n=k+2命题成立例题精讲 例1 用数学归纳法证明: nN*时,+=.证明 （1）当n=1时,左边=,右边=,左边=右边,所以等式成立.（2）假设当n=k(kN*)时等式成立,即有+=,则当n=k+1时, +=+=,所以当n=k+1时,等式也成

3、立.由（1）（2）可知,对一切nN*等式都成立.例2 试证：当n为正整数时，f(n)=32n+2-8n-9能被64整除.证明 方法一 （1）当n=1时，f(1)=34-8-9=64,命题显然成立.（2）假设当n=k (k1,kN*)时， f(k)=32k+2-8k-9能被64整除.由于32(k+1)+2-8(k+1)-9=9(32k+2-8k-9)+98k+99-8(k+1)-9=9(32k+2-8k-9)+64(k+1)即f(k+1)=9f(k)+64(k+1)n=k+1时命题也成立.根据（1）（2）可知，对任意的nN*，命题都成立.方法二 （1）当n=1时，f(1)=34-8-9=64，命

4、题显然成立.（2）假设当n=k (k1,kN*)时，f(k)=32k+2-8k-9能被64整除.由归纳假设，设32k+2-8k-9=64m(m为大于1的自然数)，将32k+2=64m+8k+9代入到f(k+1)中得f(k+1)=9(64m+8k+9)-8(k+1)-9=64(9m+k+1),n=k+1时命题成立.根据（1）（2）可知，对任意的nN*,命题都成立.例3 用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式（1+）（1+）（1+）均成立.证明 （1）当n=2时，左边=1+=；右边=.左边右边，不等式成立.（2）假设n=k (k2,且kN*)时不等式成立，即（1+）（1+）（1+）.则当n

5、=k+1时，（1+）（1+）（1+）=.当n=k+1时，不等式也成立.由（1）（2）知，对于一切大于1的自然数n,不等式都成立.例4 （16分）已知等差数列an的公差d大于0，且a2,a5是方程x2-12x+27=0的两根，数列bn的前n项和为Tn，且Tn=1-.（1）求数列an、bn的通项公式；（2）设数列an的前n项和为Sn，试比较与Sn+1的大小，并说明理由.解 （1）由已知得,又an的公差大于0，a5a2,a2=3,a5=9.d= =2，a1=1.an=2n-1. 2分Tn=1-bn，b1=，当n2时，Tn-1=1-bn-1,bn=Tn-Tn-1=1-bn-(1-bn-1),化简，得b

6、n=bn-1,bn是首项为,公比为的等比数列，即bn=,4分an=2n-1，bn=. 5分(2)Sn=n2,Sn+1=（n+1）2，=.6分以下比较与Sn+1的大小：当n=1时，=，S2=4，S2,当n=2时，=,S3=9,S3,当n=3时，=,S4=16,S4,当n=4时，=,S5=25,S5.猜想：n4时，Sn+1. 8分下面用数学归纳法证明：当n=4时，已证.假设当n=k (kN*,k4)时，Sk+1,即(k+1)2.那么n=k+1时，=33(k+1)2=3k2+6k+3=(k2+4k+4)+2k2+2k-1(k+1)+12=S(k+1)+1,n=k+1时，Sn+1也成立. 11分由可知

7、nN*,n4时，Sn+1都成立. 14分综上所述，当n=1,2,3时，Sn+1,当n4时，Sn+1.16分巩固练习 1.用数学归纳法证明：对任意的nN*,1-+-+-=+.证明 （1）当n=1时，左边=1-=右边，等式成立.（2）假设当n=k(k1,kN*)时，等式成立，即1-+-+-=+.则当n=k+1时,1-+-+-+-=+-=+(-)=+,即当n=k+1时，等式也成立，所以由（1）（2）知对任意的nN*等式成立.2.求证：二项式x2n-y2n (nN*)能被x+y整除.证明 （1）当n=1时，x2-y2=(x+y)(x-y),能被x+y整除，命题成立.（2）假设当n=k（k1,kN*）时

8、，x2k-y2k能被x+y整除，那么当n=k+1时， x2k+2-y2k+2=x2x2k-y2y2k=x2x2k-x2y2k+x2y2k-y2y2k=x2(x2k-y2k)+y2k(x2-y2),显然x2k+2-y2k+2能被x+y整除，即当n=k+1时命题成立.由（1）（2）知，对任意的正整数n命题均成立.3.已知m,n为正整数.用数学归纳法证明：当x-1时，(1+x)m1+mx.证明 （1）当m=1时，原不等式成立；当m=2时，左边=1+2x+x2,右边=1+2x,因为x20,所以左边右边，原不等式成立；（2）假设当m=k(k1,kN*)时，不等式成立，即（1+x）k1+kx,则当m=k+

9、1时，x-1,1+x0.于是在不等式(1+x)k1+kx两边同时乘以1+x得(1+x)k（1+x）(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx21+(k+1)x.所以(1+x)k+11+(k+1)x,即当m=k+1时，不等式也成立.综合（1）（2）知，对一切正整数m,不等式都成立.4.已知数列an的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=n2an（nN*）.（1）试求出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式；（2）证明你的猜想，并求出an的表达式.（1）解 an=Sn-Sn-1（n2）Sn=n2（Sn-Sn-1），Sn=Sn-1（n2）a1=1，S1=a1=1.S2=，S3=，S4=，猜想Sn

10、=（nN*）.（2）证明 当n=1时，S1=1成立.假设n=k（k1,kN*）时，等式成立，即Sk=，当n=k+1时， Sk+1=（k+1）2ak+1=ak+1+Sk=ak+1+，ak+1=，Sk+1=（k+1）2ak+1=，n=k+1时等式也成立，得证.根据、可知，对于任意nN*，等式均成立.又ak+1=，an=.回顾总结 知识方法思想课后作业一、填空题1.用数学归纳法证明：“+1(nN*)”时，在验证初始值不等式成立时，左边的式子应是“ ”.答案 +2.如果命题P（n）对于n=k(kN*)时成立，则它对n=k+2也成立，又若P（n）对于n=2时成立，P（n）对所有 n成立.正整数正偶数正奇

11、数所有大于1的正整数答案 3.利用数学归纳法证明不等式1+n(n2，nN*)的过程中，由n=k变到n=k+1时，左边增加了 项.答案 2k4.用数学归纳法证明“2nn2+1对于nn0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取 .答案 55.凸n边形有f(n)条对角线，则凸n+1边形的对角线条数f（n+1）= .答案 f(n)+n-16.证明1+n+1(n1)，当n=2时，中间式子等于 .答案 1+7.用数学归纳法证明不等式+的过程，由n=k推导n=k+1时，不等式的左边增加的式子是 .答案 +-8.用数学归纳法证明1+2 (nN,且n1)，第一步要证的不等式是 .答案 1+2二、解答题

12、9.用数学归纳法证明： 1+(nN*).证明 （1）当n=1时，左边=1，右边=1，左边右边，即命题成立.（2）假设当n=k(kN*,k1)时，命题成立，即1+.那么当n=k+1时，要证1+,只要证+.-=0,+成立，即1+成立.当n=k+1时命题成立.由（1）、(2)知，不等式对一切nN*均成立.10.用数学归纳法证明（3n+1）7n-1 (nN*)能被9整除.证明 （1）当n=1时，47-1=27能被9整除，命题成立.（2）假设n=k (k1，kN*)时命题成立，即(3k+1)7k-1能被9整除.当n=k+1时，(3k+3)+17k+1-1=(3k+1+3)77k-1=7(3k+1)7k-

13、1+217k=(3k+1)7k-1+18k7k+67k+217k=(3k+1)7k-1+18k7k+277k，由归纳假设(3k+1)7k-1能被9整除，又因为18k7k+277k能被9整除，所以3(k+1)+17k+1-1能被9整除，即n=k+1时命题成立.由（1）（2）知，对所有的正整数n，命题成立.11.数列an满足Sn=2n-an(nN*).(1)计算a1,a2,a3,a4,并由此猜想通项公式an;（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.（1）解 当n=1时，a1=S1=2-a1,a1=1.当n=2时，a1+a2=S2=22-a2,a2=.当n=3时，a1+a2+a3=S3=23-a3,a

14、3=.当n=4时，a1+a2+a3+a4=S4=24-a4,a4=.由此猜想an=(nN*).（2）证明 当n=1时，a1=1，结论成立.假设n=k(k1且kN*)时,结论成立，即ak=,那么n=k+1时，ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1.2ak+1=2+ak,ak+1=,这表明n=k+1时，结论成立，由知猜想an=（nN*）成立.12.是否存在常数a、b、c使等式12+22+32+n2+（n-1）2+22+12=an（bn2+c）对于一切nN*都成立，若存在，求出a、b、c并证明；若不存在，试说明理由.解 假设存在a、b、c使12+22+32+n2+（n-1）2+22+12=an（bn2+c）对于一切nN*都成立.当n=1时，a（b+c）=1；当n=2时，2a（4b+c）=6；当n=3时，3a（9b+c）=19.解方程组 解得证明如下：当n=1时，由以上知存在常数a,b,c使等式成