高三数学一轮复习 第13讲 正、余弦定理及应用教案

1、正弦和余弦定理及其应用教学目标(1)通过探索任意三角形边长与角的关系，掌握正弦定理和余弦定理，解决一些简单的三角形测量问题；(2)正弦定理和余弦定理的知识和方法可以用来解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。命题趋势本讲座的研究主要涉及三角角的变换、三角形形状的判断、三角形中三角形函数的评价、三角形恒等式的证明、立体几何的空间角以及解析几何中的相关角等。今后，高考命题将以正弦定理和余弦定理为知识框架，以三角形为主要支撑，并结合实际应用问题来考察正弦定理、余弦定理及其应用。一般来说，这些问题是选择题和填空题，它们也可能是中等难度的答案。教学准备多媒体课件教学过程1.梳理知识：1.直角三角形中元素

2、之间的关系：如图所示，在AB=c，c=90，AB=c，AC=b，BC=a。(1)三方关系：a2 B2=C2。(毕达哥拉斯定理)(2)锐角之间的关系：甲乙=90；(3)角点之间的关系：(锐角三角形函数的定义)sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=.2.斜三角形中元素之间的关系：如图6-29所示，在ABC中，A、B和C是它的内角，A、B和C分别代表A、B和C的对边。(1)三角形内角之和：a b c=。(2)正弦定理：在三角形中，每条边与对角正弦的比值相等。(r是外接圆的半径)(3)余弦定理：三角形任何一边的平方等于另外两边的平方之和减去这两边和它们之间夹角的余弦的乘积的两倍。a2=

3、B2+C2-2 bcc OSA；B2=C2+a2-2co sb；C2=a2+B2-2 bcosc .3.三角形的面积公式：(1) =aha=bhb=chc (ha、hb和hc分别代表a、b和c上的高度)；(2)=AbsInc=BcSina=AcsInb；(3)=；(4)=2R 2 sinbsinc .(r是外接圆的半径)(5)=；(6)=；(7)=rs .4.解三角形：从三角形的六个元素中的三个(即三条边和三个内角)寻找其他未知元素的问题称为解三角形。广义地说，这里提到的元素还可以包括三角形的高度、中线、角平分线、内切圆半径、外切圆半径、面积等。一般来说，解三角形的问题可以分为以下两种情况：如

4、果给定的三角形是直角，如果给定的三角形是斜三角形，则称之为斜三角形。求解斜三角形的主要依据是：让ABC的三条边分别为A、B和C，相应的三个角分别为A、B和C(1)角度之间的关系：=；(2)边与边的关系：a b c，b c a，c a b，A-B C，B-C A，C-A B；(3)边缘和角度之间的关系：正弦定理(r是外接圆的半径)；余弦定理C2=a2 B2-2b cosc，B2=a2 C2-2b cosb，a2=B2 C2-2b cosa；它们的变形形式是：a=2R sinA、5.三角形中的三角形变换在三角形变换中，除了应用上述公式和变换方法外，还应注意三角形本身的特点。(1)角度的变换Sin

5、(ab)=sinc，因为在ABC中，A B C=；cos(A/B)=-CoSC；tan(A/B)=-TANc .(2)三角形边与角的关系定理和面积公式，正弦定理和余弦定理。r是三角形内切圆半径，p是周长的一半。(3)在ABC中，记忆并证明：当且仅当B=60时A、B、C成为等差数列；ABC是一个正三角形，当且仅当A，B，C是等差数列，而A，B，C是几何级数。二.典型案例分析(2012年浙江高考)在ABC中，内角a、b、c的对边分别为a、b、c，bsin a=acos B .(1)找出角度b的大小；(2)如果b=3，sin c=2 sin a，求a和c的值.(1)用bsin A=acos B和正弦

6、定理=，得到sin B=因为B，所以tan B=，所以B=。(2)从sin c=2到sin a=2，c=2a。根据b=3和余弦定理B2=a2 C2-2柯克斯b，9=a2 c2-ac。所以a=，c=2。在本例(2)的条件下，试求角度的大小.解决方案：sin a=。A=.从问题中理解1.精通正弦和余弦定理及其变体。求解三角形时，有时可以使用正弦定理和余弦定理。注意哪个定理更方便简单。2.给定两个角和一条边，三角形是确定的，它的解是唯一的；给定两条边和一条边的对角线，三角形不是唯一的。通常，大角度定理是根据三角函数值和大边的有界性来判断的。试着问问题1. ABC的三个内角a，b和c是a，b，c，因为

7、b bcos2a=a .(1)寻求；(2)如果C2=B2 A2，则找到B .解答：(1)从正弦定理出发，Sin2asin b sinbcos2a=sin a，即sin B(sin2A+cos2A)=sin A因此，罪乙=罪甲，所以=。(2)从余弦定理和C2=B2 a2，cos B=。根据(1)，B2=2a2，因此，C2=(2 ) a2。cos2B=，cos B0，所以cos b=，所以b=45。用正弦和余弦定理判断三角形的形状代码导入在ABC中，A、B和C分别是内角A、B和C的对边，而2=(2b C)sinb(2c B)sinc。(1)找到一个的大小；(2)如果sinb sinc=1，尝试判断

8、ABC的形状。(1)根据正弦定理，2a2=(2b c) b (2c b) c是已知的，即a2=B2C2BC。根据余弦定理，a2=B2C2-2bccos a，因此，cos a=-，0ACBC，和C=C=D，所以SABDSABC。因此，选择ABC的形状来建造环境标志的成本较低。如果环境标志底座的成本是每平方米5 000元，最低成本是多少？解答：因为AD=BD=AB=7，ABD是一个等边三角形。D=60，C=60。因此，s ABC=acbcsin c=10。因此，最低成本为5 00010=50 000 86 600元。从问题中理解应该注意距离的问题：(1)选择或确定待求解的三角形，即所需量所在的三角

9、形，如果已知其他量，则直接求解；如果有未知量，未知量将在另一个确定的三角形中求解。(2)确定是使用正弦定理还是余弦定理，如果两者都可用，选择更便于计算的定理。试着问问题1.如图所示，一条河的两岸可以看作是平行的。为了测量该河段的宽度，在该河段的一个河岸上选择了两个点a和b，在另一个河岸上观察了点c，发现cab=105，CBA=45，ab=100m。(1)求sinCAB的值；(2)找出河流断面的宽度。解决方案：(1)sincab=sin 105=sin(60+45)=sin 60cos 45+cos 60sin 45=+=。(2)因为cab=105，CBA=45，因此，ACB=180-CAB-C

10、BA=30。从正弦定理，我们得到=，那么BC=50 () (m)。如图所示，如果交叉点c是CDAB，垂足是d，那么CD的长度就是河段的宽度。在RtBDC中，CD=BCsin 45=50(+)=50(+1)(m)。因此，河段宽度为50 (1)米.高度测量问题代码导入(九江模拟，2012)如图所示，在一定坡度的坡度A处测量了山顶上一栋建筑的坡度(坡度的直线垂直于地面)。从A向山顶移动1米到达B后，CD相对于坡度的斜率被测量为，并且坡度相对于地面的倾斜角为。(1)找出公元前的长度；(2)如果l=24，=15，=45，=30，计算建筑CD的高度。(1)在ABC中，ACB=-，根据正弦定理，所以公元前。

11、(2)根据(1)，BC=12 (-)米。在BCD中，BDC=，sinBDC=，根据正弦定理，所以光盘=24-8米。从问题中理解应注意解决身高问题：(1)测量高度时，应理解在同一垂直面上的仰角和俯角的概念，以及视线与水平线的夹角；(2)准确理解问题的含义，区分已知条件和需求，并画出示意图；(3)利用正弦和余弦定理，我们可以有条不紊地求解相关的三角形，逐步解决问题的答案，并注意方程思想的应用。试着问问题2.(西宁模拟，2012)为了测量底部无法到达的电视塔AB的高度，A塔的仰角在C点为45，在D点为30，在水平面上BCD=120，CD=40米。解决方法：如图所示，让电视塔的AB高度为x米，在RtA

12、BC中，BC=x从ACB=45。在RtADB中，ADB=30，那么BD=x。在由余弦定理得到的BDC中，BD2=BC2+CD2-2BCCDcos 120，即，(x)2=x2 402-2x 40co 120。解决方案是X=40，所以电视塔有40米高。测量角度问题代码导入(太原模拟，2012)在一次联合海上战斗演习中，一艘红色的侦察船发现一艘蓝色的小船正以每小时10海里的速度从南向东朝75度的方向移动。如果侦察船以每小时14 n英里的速度从北到东以45 的方向拦截了蓝色的小船，请询问红色如图所示，红色侦察艇将在X小时后赶上蓝色侦察艇。那么交流电=14倍，交流电=10倍，交流电=120倍。根据余弦定

13、理，(14x)2=122(10x)2-240 cos 120，解是x=2。因此，交流=28，交流=20。根据正弦定理，解是sin =。因此，红色侦察艇所需时间为2小时，角度的正弦值为。从问题中理解1.要测量角度，首先要弄清楚方位角和方向角的含义。2.在解决一个应用问题时，分析问题的含义，区分什么是已知的，什么是需要的，然后根据问题的含义正确地画出示意图。通过这一步，实际问题可以转化为数学方法可以解决的问题，在解决问题时要注意综合运用正弦和余弦定理。试着问问题3.(无锡仿真2012)如图所示，相距60米的两栋建筑的建筑面积和建筑面积的高度分别为20米和50米，建筑面积为一个水平面，因此从建筑面积和建筑面积的大小来看