高三数学大一轮复习讲义 4.3三角函数的图象与性质 理 新人教A版

1、4.3三角函数的图像和性质2014年高考将像这样进行测试。1.检查三角函数的图像：五点法被用作图表、图像变换和图像的分析表达式；2.检查三角函数的性质：范围或最大值、单调区间、对称性等。3.检查将数字和形状结合起来的想法。为了准备考试，你应该这样做。1.你将制作三角函数的图像，并通过图像研究三角函数的性质；2.对三角函数进行常数变形，然后讨论图像和性质；3.注重函数与方程、变换、数形结合等数学思维方法的应用。1.“五点法”绘图原理确定正弦函数y=sin x在0，2上的像形时，五个关键点是(0，0)，(，0)，(2，0)。余弦函数呢？2.三角函数的图像和性质功能自然y=sin xy=cos xy

2、=tan x定义领域rrx|xk+，kZ图像范围-1，1-1，1r对称对称轴：x=k(kz)；对称中心：(k，0)(kZ)对称轴：x=k(kz)；对称中心：(k，0) (kZ)对称中心：(kZ)循环22Pi？单调性单调递增区间2k-，2k(kz)；单调递减区间2k，2k (k z)单调递增区间2k-，2k(kz)；单调递减区间2k，2k (k z)单调递增区间(k，-k)(kz)同等奇函数偶数函数奇函数难点、原始疑点、明确来源1.函数的周期性如果f ( x t)=f ( x ) ( 0)，常数t不能说是函数f ( x t)=f的周期，即自变量从x增加到x，x是函数的周期。2.三角函数取值范围(

3、最大值)的方法(1)利用sin x和cos x的有界性；(2)复变函数应转化为Y=Asin ( x ) K， x 的范围应逐级分析，函数的取值范围应根据正弦函数的单调性写出。(3)代换法：将sin x或cos x作为一个整体可以归结为区间上函数的值域(最大值)问题。1.假设点p是图像c的对称中心，函数f(x)=sin x ( 0)。如果从点p到图像c的对称轴的最小距离是0，那么f (x)的最小正周期是_ _ _ _ _ _ _ _ _。回答从解析上讲，从正弦函数的图像可知，对称中心到对称轴的最小距离是最小正周期，因此f(x)的最小正周期是t=4=。2.函数y=2-3cos的最大值为_ _ _

4、_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。答案是5 2k，kZ当cos=-1时，函数y=2-3cos得到最大值5，其中x= 2k (kZ)，因此x= 2k，kZ .3.(福建，2012)函数为f (x)=sin的图像的对称轴为()A.x=B.x=C.x=- D.x=-答案三解析方法一：正弦函数图像的对称轴穿过图像的最高点或最低点，因此，让x-=k，kZ， x=k，k z .如果k=-1，那么x=-。方法2使用验证方法。X=，y=sin=0，这是不令人满意的，a除外；X=，y=sin=，这不令人满意，b被排除在外；X=-，y=sin=-1，符合问题的意思，c项正确；当x=-，y=sin=-

5、，这是不令人满意的，所以d项也不正确。4.函数y=tan的定义域是()A.x|x2k-，kZ B.x|x2k-，kZC.x|x2k+，kZ D.x|x2k+，kZ回答一解析阶-x k，kZ，xk-,kZ.5.给出以下四个命题，其中不正确的命题是()(1)如果cos =cos ，那么-=2k，kz；函数y=2cos的图像关于x=对称；函数y=cos (sin x) (x r)是一个偶函数；函数y=sin | x |是周期为2的周期函数。A. B.C. D.答案D解析命题1:如果=-，那么cos =cos ，假命题；命题2: x=，cos=cos=0，所以x=不是y=2 cos的对称轴；命题:函数

6、y=sin | x |不是周期函数。问题类型三角函数的定义域和值域例1 (1)找到函数y=lgsin 2x的定义域；(2)求函数y=cos2x sin x的最大值和最小值启示：三角函数的图像或数轴可以用来寻找函数的定义域；在求函数值域时，应使用正弦函数的值域或将其转化为二次函数。溶液(1)包括，必须函数-3 x-or 00)的单调区间可以通过求解不等式来求解。不等式的原理如下：把“ x ( 0)”作为一个“整体”；当A0 (A0)时，所列不等式的方向与y=sin x (x r)和y=cos x (x r)的单调区间对应的方向相同(相反)。(2)对于y=atan ( x ) (a，是常数)，它的

7、周期t=，单调区间用 x 来求解x的取值范围，即它的单调区间。对于复合函数y=f (v)，v= (x)，其单调性由下式确定：Y=f (x)是一个递减函数，如果y=f (v)和v= (x)增加和减少。(3)在计算绝对值三角函数的单调性和周期时，通常需要画一幅图像并用图像来判断。求函数y=sin cos的周期、单调区间、最大值和最小值。解决方案：cos=cos=cos=sin。y=2分钟，周期t=。当- 2k 4x 2k (k z)时，函数单调增加。函数的增长区间是(k z)。当2k 4x 2k (k z)时，函数单调递减。函数的递减区间是(k z)。当x=(k z)时，ymax=2；当x=- (

8、k z)时，Ymin=-2。问题中三角函数的对称性和奇偶性例3 (1)如果f (x)=sin x cos x (x r)是已知的，并且函数y=f (x )关于直线x=0对称，那么是_ _ _ _ _ _ _ _。(2)如果函数y=3cos (2x )的图像关于点的中心对称，那么| |的最小值是()A.不列颠哥伦比亚省答案(1) (2)答(1) f (x)=2sin，Y=f (x )=2 sin图像关于x=0对称，也就是说，f (x )是一个偶函数。+=+k,kZ,=k+,kZ，和：| | ， =。(2) 3 COS=3 COS从问题的意义来看=3cos=0，+=k+,kZ,=k-,kZ，取k=

9、0，则| |的最小值为。因此，答.为了探索如何改进f(x)=asin ( x )是一个偶数函数，当x=0时，f(x)得到最大值或最小值。如果f (x)=asin ( x )是奇数函数，当x=0时，f (x)=0。如果你想找到f(x)的对称轴，就让 x =k (k z)并找到x .如果我们找到f(x)对称中心的横坐标，我们只需要使 x =k (k z)。(1)定义运算=ad-BC，那么函数f (x)=的对称轴方程是f(x)=的x=B.x=C.x=D.x=(2)如果函数f(x)=asx bcosx(05，ab0)的图像的对称轴方程是x=并且函数f (x)的图像的对称中心是，则f(x)的最小正周期是

10、_ _ _ _ _ _ _ _。回答(1)A (2)解析(1)f(x)=3 OSX-sin x=2个。所以当x=，f (x)=2，cos=-2。(2)由标题设置，用f=，即，(a=B)=，从而得到a=b .f=0， a =0，因此，tan=1，=k+，kZ，即，=8k 2，kZ，05， =2，那么f (x)=a (sin 2x cos 2x)=asin，因此，f(x)的最小正周期为。方程思想在三角函数中的应用典型的例子：(12点)众所周知，函数f(x)=2的定义域是b，函数的最大值是1，最小值是-5，得到a和b的值。从考察的角度来看，(1)找出2x的范围和罪的价值范围；(2)正负系数A影响f(

11、x)的值，因此应分两种情况讨论：a0和A0；(3)根据a0或a0求出f(x)的最大值，并求解方程。标准化解决方案解0x ,-2x-，-辛 1，3分如果是0，那么，解决它；7分如果是0，那么，解决方案。11分总而言之，a=12-6，b=-23 12或a=-12 6，B=19-12。12分温馨提示：(1)要解决这类问题，首先要利用正弦函数和余弦函数的有界性或单调性来寻找y=aasin ( x )或y=aacos ( x )的最大值，但要注意讨论a的正负，以确定它是最大值还是最小值。(2)然后用已知的列方程求解。(3)问题很简单方法和技术1.利用函数(-1 sin x 1，-1 cos x 1)的有

12、界性，我们可以找到三角函数的值域(最大值)。2.利用函数的单调性找到函数的范围或最大值。3.用代换法求复合函数的单调区间(注意X系数的符号)。错误与预防1.对于闭区间上的最大值或最大范围问题，首先要在定义域的基础上分析参数的单调性和最大值，并讨论参数对最大值的影响。2.要求出三角函数的单调区间，首先要将函数化为y=asin ( x ) ( 0)的形式，然后根据基本三角函数的单调区间求出x所在的区间。应特别注意考虑函数定义领域的问题。注意区分以下两个问题之间单调递增区间的差异：(1)y=sin；(2)y=罪恶。3.用代换法求三角函数的最大值时要注意三角函数的有界性。例如，如果在x 5中y=sin2x-4s，让t=sinx (| t | 1)，那么y=(t-2) 2 1 1，则解是错误的。a组特殊基础训练(时间：35分钟，满分：57分)首先，多项选择题(每个小问题5分，共20分)1.函数y=的定义域是()A.B.kZC.kZD.r答案三从问题的意义上解析cos x1，即2k- x 2k，kZ，因此，函数的域是k Z .2.y=sin的图像的对称中心是()A.(-，0) BC.D.回答乙y=sin x的解析对称中心是(k，0) (kZ)，让x-=k (k z)，x=k (k