高三数学大一轮复习讲义 5.4平面向量的应用 理 新人教A版

1、5.4平面向量的适用2014高考会就是这样调查矢量和平面几何知识、三角函数的综合应用2 .调查矢量的物理应用，利用矢量解决一些实际问题复习备考必须这样做1 .把握矢量平行、垂直的条件和数量积的意义，求几个角、距离2 .体会数形结合思想，重视矢量的工具作用1 .向量应用于平面几何平面向量在平面几何中的应用主要是利用矢量的线性运算和数量积来解决平面几何中平行、垂直、平移、联合、相似、长度、夹角等问题(1)包括证明线段平行或点共线问题、类似问题，公共共线向量定理： aba=b (b0 ) x1y2- x2y1=0。(2)证明垂直问题，常用数量乘积的运算性质；abab=0x1x2 y1y2=0。(3)

2、求夹角问题，利用夹角式cos =(是a和b的夹角)。2 .平面向量在物理上的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是向量，所以它们的分解类似于合成和向量的加法和减法，可以用向量的知识来解决(2)物理学中的功能是标量，这是力f和位移s的数的乘积，即W=Fs=|F|s|cos (是f和s的夹角)。3 .平面向量与其他数学知识的交际平面向量作为运算工具，多与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，在平面向量给出的形式中包含未知数的情况下，就能够根据矢量平行或垂直的满足条件得到关于该未知数的关系式此类问题的解题思路是转换为代数运算，其转换路径主要有两种：一是利用平面向量的平行或垂直充要条件

3、；二是利用矢量积的公式和性质难点原本疑点清源1 .向量兼具代数的抽象与严密与几何的直觉，向量本身是一个数形结合的产物.利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、意象思维与逻辑思维的结合2 .注意改变思维方法，要从不同的角度看问题，应用向量的关系性质来解决问题1.1质点在平面上的三个力F1，F2，F3 (单位：牛顿)的作用下，位于平衡态上。F1，F2构成120角，F1，F2的大小分别为1和2，F1和F3所成的角为回答90分析图，F3=-(F1 F2)。在OACB中，|OA|=1、|AC|=2，OAC=60，|OC|=、AOC=90，即、F1F3。2 .如果平面上有三个点A(-2，

4、y )、b、C(x，y )，则动点c的轨迹方程式为答案y2=8x (x0 )分析从题意上来说=、=、再有、=0、即，=0，并且量化简并性是y2=8x (x0 )。3 .河水的流速为2 m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向的10 m/s的速度驶向对岸的话，小船的静水速度的大小应该是答案2米/秒解析图所示的小船在静水中的速度=2米/秒。4 .可知a、b以c为中心，半径为圆上的2点，|=、=等于()A.- B. C.0 D答案a分析|=r，ACB=60，=-=-|cosACB=-cos 60=-。5. a、b是非零向量，“ab”是“函数f(x)=(xa b)(xb-a )是一次函数”的()a .一盏茶

5、中不必要的条件b .必要且不一盏茶的条件c .一盏茶必要条件d .既不是一盏茶也不是必要条件答案b分析从f(x )=(xa b ) (x b-a )=(ab ) x2(|b|2-| a|2 ) x-ab .变成f (x )使用问题型1平面向量的几何学意义解问题例1平面上的两个向量满足|=a、|=b，并且a2 b2=4.向量=x y (x，y-r )和a22(1)如果点m是线段AB的中点，则求证据：=；求出(2)|的最大值，求出此时的四边形OAPB面积的最大值.思考启发：对于第(1)个问题，可以先求得结论，对于第(2)个问题，可以先以点m为线段AB的中点，再利用第(1)个问题的结论，根据条件确定

6、p、o、a、b四点共圆，得出结论。(1)由于点m是线段AB的中点所以=.所以=-=(x y)-=.(2)解点m是线段AB的中点，|=1。另外，由(1)及a22 b22=1得到|2=|-|2=22 22=2a2 2b2=1。|=|=|=1。因此，p、o、a、b四个点都位于以m为中心、以1为半径的圆上，因此仅在OP为圆m的直径的情况下|max=2.此时四边形OAPB为矩形，s四边形OAPB=|=ab=2，仅在a=b=时四边形OAPB的面积为最大，最大值为2。(2)问题的难点是如何利用第(1)问题的结论来解决新的问题，突破这个难点的关键主要是以点m为线段AB的中点开始，利用条件和第(1)问题的结论来

7、探讨|的最大值问题ABC所在的平面上稍有p，如果满足=，则PAB与ABC的面积之比为()甲乙丙。答案a解析是已知得到的=2，p是线段AC的三等分点(近点a )，容易理解SPAB=SABC，即spab:sABC=1:3。题型2平面向量在物理改正问题中的应用例2已知质点在平面上的三个力F1，F2，F3 (单位：牛顿)的作用下位于平衡态上，F1，F2构成60角，并且F1，F2的大小分别为2和4时，F3的大小为答案2分析方法根据已知的条件F1 F2 F3=0，F3=-F1-F2，F=F F 2|F1|F2|cos 60=28。因此，|F3|=2。方法2图，|2=|F1|2|F2|2-2|F1|F2|c

8、os 60=12，|2 |2=|2，即OF1F2是垂直角，|F3|=2=2。如图所示，已知力f与水平方向所成的角为30 (倾斜方向)上)，f的大小为50 N，f减去重量为80 N的木片，处于摩擦系数在=0.02的水平平面上运动20 m，听到了f、摩擦力f的功能多少钱？将木块摇滾乐的位移设为s，成为Fs=|F|s|cos 30=5020=500 (J )，f在垂直方向上的分力的大小|F|sin 30=50=25(N )，摩擦力f的大小为|f|=(80-25)0.02=1.1(N )，指定fs=|f| s|cos 180=1. 120 (-1 )=-22 (j )。f、f的工作分别是500 J、-

9、22 J。题型三平面向量与三角函数的交集在锐角ABC中，已知的两个向量p=(2-2sin A，cos A sin A )、q=(sin A-cos A，1 sin A )，p和q是共线向量。(1)求a的大小(2)求出函数y=2sin2B cos取最大值时的b的大小。解开p q。(2-2Sina ) (1Sina )-(cosa Sina ) (Sina-cosa )=0，sin2a=、sin A=，ABC是锐角三角形，A=60。(2) y=2sin2b操作系统=2sin2b操作系统=2sin2b操作系统(2b-60 )=1- cos2b操作系统(2b-60 )=1-cos 2B cos 2Bcos 60 sin 2Bsin 60=1- cos2b插入2 b=1插入(2b-30 )，在2B-30=90，即，B=60的情况下，函数取最大值为2。提高向量和三角函数的结合大多是简单的组合.就像本问题的条件由向量给出一样，从向量的平行得到方程式.向量和其他知识的结合也大多是这个