高三数学大一轮复习讲义 6.4数列求和 理 新人教A版

1、6.4系列之和2014年高考将像这样进行测试。1.检查算术差和几何级数之和；2.以级数求和为载体，考察级数求和的各种方法和技巧；3.全面考察数列与集合、函数、不等式、解析几何、概率等知识的综合问题。为了复习和准备考试，我们应该这样做。1.灵活掌握递归求通项公式的几种方法；2.掌握必要的归约方法和求和技巧，根据级数一般项的结构特点，熟练解决级数的求和问题。1.算术级数的前n项和sn=na1 d，求导方法：逆序加法；几何级数的前n项和sn=推导方法：乘公比和错位减法。2.级数求和的常用方法(1)分组求和：将一个系列分成几个可以直接求和的系列。(2)分解和取消：有时，一个级数的通项公式被分解成两个项

2、差的形式，在加法过程中去掉中间项，只留下一个有限项求和。(3)错位减法：适用于算术级数和几何级数相乘形成的级数求和。(4)逆向加法：例如，算术级数的前N项和公式的推导。(5)项和法：一个数列的前N项之和可以用两两组合求解，称为项和法。形式是一个=(-1) nf (n)，这两个项可以通过组合求解。例如，sn=1002-992 982-97222-12=(100 99)(98 97)(2 1)=5 050。3.拆分项目的常用公式(1)=-；(2)=；(3)=-。难点、原始疑点、明确来源1.有两种主要的方法来解决非算术级数和几何级数的求和(1)变换的思想，即试图将一般序列变换成算术或几何级数，这通常

3、是通过一般项分解或错位减法来完成的。(2)不能转化为算术级数或几何级数的级数通常用分裂项消去法、错位减法和逆序加法来求和。2.等价变换是解决序列问题的基本方法，它能将复杂的序列转化为算术和几何级数问题。1.在算术级数an中，Sn表示前n项之和，a2 A8=18-a5，然后S9=_ _ _ _ _ _。答案54该分析基于算术级数的性质，a2 A8=18-a5，即，2a5=18-a5， a5=6，S9=9a5=54.2.如果几何级数an的公比是q=，A8=1，那么S8=_ _ _ _ _ _。答案255a1=27由A8=1和q=获得。S8=28-1=255.3.如果sn=1-2 3-4(-1)n-

4、1n，s50=_ _ _ _ _ _ _。答案-25分辨率s50=1-2 3-4 49-50=(-1) 25=-25。4.(天津，2011)已知an是公差为-2的算术级数，a7是a3和a9的相等中间项，Sn是an的前N项之和，nN*，因此S10的值是()A.-公元前110年-公元90年答案D分析上，a3=A1 2D=A1-4，A7=A1 6D=A1-12，a9=A1 8D=A1-16，A7是a3和a9之间的等比例项， (A1-12) 2=(A1-4S10=1020+109(-2)=110.5.(2012年国家大纲)已知算术级数an的前N项之和为Sn，A5=5，S5=15，则该系列的前100项之

5、和为()A.不列颠哥伦比亚省回答一分析性地使用分裂项来消除和。让算术级数an的第一项为a1，公差为d .* a5=5，S5=15，an=a1+(n-1)d=n.=-，系列的前100项之和是1- -.-=1-=。问题类型1分组转换求和例1已知第一项x1=3，一般项xn=2np NQ (n n *，p，q是常数)，x1，x4，x5是算术级数。(1)p和q的值；(2)级数xn的前N项和Sn的公式。思维启示：(1)求解已知条件下的P和Q方程；问题(2)被分成几组，用算术和比率级数的求和公式求解。解(1)是x1=3时2p q=3，x4=24p 4q时3 25p 5q=25p 8q，X5=25p 5q，x

6、1 X5=2x4。P=1，q=1。(2)从(1)开始，xn=2n，因此，sn=(2 22 2n) (1 2 n)=2n+1-2+。探索如何改进一些级数的求和，就是把级数分解成几个可以求和的新级数的和或差，从而得到原级数的和。这就要求分析和研究数列通项的结构特征，合理分解和转化数列通项。在包含字母的系列中，应特别注意字母的讨论。总和sn=1.解和公式中的k项为ak=1+=2。Sn=2=2(1+1+1-(+)=2=+2n-2。问题2错位减法和示例2让系列an满足a1 3a2 32a3 3n-1an=，nN*。(1)找到序列an的通称；(2)让bn=，找到序列bn的前n项和Sn。思维启示：(1)写出

7、知识的前n-1项的和，并减去它们。(2) bn=n3n的特征是系列n和3n的乘积，可以用位错减去。溶液(1)a1 3 a2 32 a33n-1an=，当n2时，a1+3a2+32a3+3n-2an-1=，-得到3n-1an=， an=。在中，让n=1，得到a1=，这适用于an=， an=。(2)bn=,bn=n3n.Sn=3+232+333+n3n,3Sn=32+233+334+n3n+1.- get 2sn=n3n 1-(3 32 33.3n)，也就是说，2sn=n3n1-,sn=1。探索和改进这一问题的解决方法的突破口是将给定的条件表达式视为级数3n-1an的前n项之和，然后利用an和Sn

8、之间的关系求出一般项3n-1an，再求出an；此外，位移法乘公比是级数求和的一种重要方法，但值得注意的是这种方法运算过程复杂，运算量大，应加强解题过程的训练，注重运算能力的培养。(辽宁，2011)已知算术级数an满足A2=0，A6 A8=-10。(1)找到序列an的通项公式；(2)求级数前n项的和。(1)让算术级数an的容差为d，溶液可以在已知条件下获得。因此，数列an的通式是an=2-n .(2)让序列的前n项之和为Sn，也就是说，sn=a1.所以S1=1，=.因此，当n 1时，-得到=a1+-=1-(+)-=1-(1-)-=。因此，sn=.n=1时成立。综上所述，前n项和sn=1。问题类型

9、中三等分项目的消除总和例3在数列an中，a1=1，当n2时，前n项和Sn满足s=an。(1)找到锡的表达式；(2)让bn=，找到bn的前n项和t n。思考启示：问题(1)使用an=Sn-sn-1 (n 2)，然后将sn-1sn分成等差数列，就可以得到Sn。请(2)找出bn的一般术语公式，并使用拆分术语进行取消和求和。(1)s=an，安=锡-锡-1 (n2)，S=(Sn-Sn-1)，也就是说，2sn-1sn=sn-1-sn，含义为sn-1sn 0，将公式的两边除以sn-1sn，得到-=2。序列是一个算术级数，第一项=1，容差为2。=1+2(n-1)=2n-1,Sn=.(2)和bn=，tn=b1+

10、b2+bn=(1-)+(-)+(-)=。当探索如何通过使用分裂项来提高消去和时，我们应该注意哪些项被消去，哪些项在正负项被消去时被保留。未消除的项目不得省略。未被消除的项目具有前后对称的特征，这实质上导致了正负消除。众所周知，序列an的所有项都是正数，前N项之和为Sn，Sn=，nN*。(1)验证：数列an是一个算术级数；(2)让BN=，Tn=B1 B2 BN，并找到Tn。(1)证明sn=，nN*，当n=1，a1=S1=(an0)， a1=1。当n2时，由2an=a-a-a-a-1。即，(an-1) (an-an-1-1)=0，an+an-10,an-an-1=1(n2).因此，数列an是一个算

11、术级数，第一项为1，公差为1。(2)通过求解(1)，an=n，sn=，bn=-。Tn=b1+b2+b3+bn=1-+-+-=1-=。第四个试验结构计划典型示例：(12点)众所周知，算术级数an满足a3=7，a5 a7=26，并且an的前n项之和为Sn。(1)找到an和sn；(2)让bn=(n n *)，并找到序列bn的前n项和t n。考试路线图算术级数中特定项目的值an(a3、a5和a7是特定项目)a3=7，a5+a7=26(考虑特定项目的基本数量a1、d)列方程;(根据条件的结构特点，确定方程的方法)公式为a=a1(n-1)d，sn=na1 D .(将an代入简化并找到bn)bn=;(根据b

12、n的结构特征，确定分裂项的消除)bn=；Tn=。标准化解决方案(1)让算术级数an的第一项为a1，公差为d .因为a3=7，a5 a7=26，所以获得4分因此，an=3 2 (n-1)=2n 1，Sn=3n 2=N2 2n。6分(2)根据(1)，an=2n 1，所以bn=，8分所以总氮=(1- -.-) 10分=(1-)=，也就是说，系列bn和TN=的前n项。12分热情地提醒我们，在这个题目的考试中有两个关键环节。一种是根据A3=7，A5 A7=26的特性确定方程组的解。另一种是根据级数bn的一般项BN=的特征，通过分解项来确定消去的和。因此，在研究课题时，应该根据几个公式的结构特点来确定解决

13、方案。方法和技术级数求和的方法和技巧(1)逆序加法：用于与二项式系数相关的级数的算术级数和求和。(2)错位减法：用于算术级数和几何级数的乘积级数求和。(3)分组求和：用于几个算术级数或几何级数的和或差级数的求和。错误与预防1.通过数列通项公式观察数列的特点和规律，在分析数列通项的基础上判断求和的类型，找到求和的方法，或者将其分解为基本数列求和，或者将其转化为基本数列求和。同时，对求和过程中的项数做出准确的判断。2.用字母对系列求和通常伴随着分类讨论。a组特殊基础训练(时间：35分钟，满分：57分)首先，多项选择题(每个小问题5分，共20分)1.算术级数an的通项公式为an=2n 1，前n项之和

14、为Sn，因此序列前10项之和为()公元前120年70年75年100年答案三前十项之和为103=75。2.众所周知，序列an是一个算术级数。如果A9、3A110、a10a110以及序列an的前N个项和Sn具有最大值，那么当Sn获得最小正值时，N等于()公元前20年答案三如果A9 3a110被用来得到2a10+2a110，即a10 a110和a10+a110，那么a10和a11有不同的符号。因为序列an的第一个N项和Sn具有最大值，所以序列an是递减序列，然后是a100、A110，所以S19=19A100。3.如果级数an的通项公式为an=2n，则级数an的前n项之和为()A.2n+n2-1 B.

15、2n+1+n2-1C.2n+1+n2-2 D.2n+n-2答案三解析sn=2n 1-2 N2。4.如果数列an的通式是an=(-1) n-1 (4n-3)，那么它的前100项之和S100等于()公元前200年至公元前200年回答乙解析方程S100=(41-3)-(42-3)(43-3)-(4100-3)=4(1-2)(3-4)(99-100)=4(-50)=-。第二，填空(每个小问题5分，共15分)5.如果序列an的前N项之和为Sn，A1=1，A2=2，An 2-An=1-(1)N(NN *)，则S100=_ _ _ _ _ _ _。回答2 600分析表明a2k 2-a2k=2从2-an=1

16、(-1) n，A2k 1-A2k-1=0， A1=A3=A5=A2n-1=1，序列a2k是算术级数，A2k=2k。s100=(a1+a3+a5+a99)+(a2+a4+a6+a100)=50+(2+4+6+100)=50+=2 600。6.如果数列的前n项an和Sn=N2-4n 2，则| a1 | | a2.| a10 |=_ _ _ _ _ _ _。答案66分析上，当n=1时，a1=S1=-1。当n2时，an=sn-sn-1=2n-5。an=.让2n-5 0得到n1。当n2时 an0，当n3时an0，|a1|+|a2|+|a10|=-(a1+a2)+(a3+a4+a10)=s10-2s2=66.7.(国家课程标准2012)如果系列an满足1 (-1) nan=2n-1，则an的前60项之和为_ _ _ _ _ _ _ _。回答1 830解析上，利用数列的递推公式，结合算术数列的求和公式来解决问题。* an+1+(-1)nan