高三数学大一轮复习讲义 7.4基本不等式 理 新人教A版

1、7.4基本不等式2014高考将这样考试。1.利用基本不等式求最大值，证明不等式。用基本不等式解决实际问题。复习准备考试要这样做。1.注意基本不等式求最值的条件。2.在复习过程中，注意转换和归化，分类讨论思想的应用。1.基本不等式(1)基本不等式成立的条件：A0，B0。(2)等号成立的条件：并且只有在a=b的情况下，才取等号。几个茄子重要的不等式(1) a2 B2 2ab (a，br)。(2) 2 (a，b东湖)。(3)ab2(a，br)。(4)2 (a，br)。3.算术平均数和几何平均数设定A0，B0可以说明a，b的算术平均值是几何平均值，基本不等式可以说明两个正数的算术平均值不小于几何平均值

2、。4.利用基本不等式找出最大值问题X0，如果已知为y0(1)如果乘积xy为值p，则仅当x=y时，x y的最小值为2(简略：乘积和最小值)(2)和x y为值p时，仅当x=y时，xy的最大值.(精简：和乘积最大值)请求困难的正本疑团1.应用基本不等式求最大值时，要掌握不等式成立的三个茄子条件。“即”日程3354个项目都是正数。二程产品或总计设置；能得到3相等号吗？“忽略条件会导致错误。2.用公式解题的时候，还要掌握公式的使用，还要注意公式的使用。例如，A2 B2 2AB反向使用为AB。 (a，B0)的倒数是ab2(a，B0)等。此外，还要注意“追加、拆除”技巧和正式等号成立的条件等。3.使用基本不

3、等式时，如果不能得到等号，请考虑函数y=x (m0)的单调。1.如果x0、y0和x y=18，则x y的最大值为_ _ _ _ _ _ _ _ _。答案81由X0，y0，x y 2引起的分析，所以xy 2=81，并且仅当x=y=9时，xy最大值为81。2.t0牙齿如果已知，则函数y=的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _。答案-2分析T0，y=t -4 2-4=-2，t=1时取等号。3.如果您知道x0，y0，2x y=1，则的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。答案8解决原因=(2x y)=4 4 2=8，等号仅在y=，x=的情况下成立。4.(2012浙江

4、)如果正x，y满足x 3y=5xy，则3x 4y的最小值为()A.b.c.5 d.6答案c分析x0，y0，x 3y=5xy=1。3x 4y=(3x 4y)= 2=5(仅当x=2y时才取得等号)、3x 4y的最小值为5。5.如果圆x2 y2 2x-4y 1=0线2ax-by 2=0 (a，b-r)对称，则ab的范围为（）A.b .C.d .答案a问题是我们知道线2ax-by 2=0超过了牙齿中心(-1，2)，所以我们可以得到a b=1和ab 2=(a=b时的等号)。因此，ab的范围如下：问题类型1利用基本不等式证明了简单的不等式示例1被称为x0，y0，z0。确认：8。思维启蒙：在问题的议中，可以

5、先局部运用基本不等式，然后利用不等式的性质进行证明。证明x0、y0、z0、 0， 0， 0以上，=8。仅当X=y=z时，等号才成立。利用基本不等式证明不等式是用综合法证明不等式的情况，从已证明不等式和问题的已知条件出发，通过不等式的性质和相关定理，经过逐步逻辑推理，最终转化为证明问题。A0、B0、c0牙齿已知，a b c=1。确认： 9。证明a0、B0、c0和a b c=1，=3=3 3 2 2 2=9或更高，并且仅当a=b=c=时才使用等号。问题类型2使用基本不等式找到最大值如果您知道范例2 (1) x0，y0，2x y=1，则的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _；(2)为x0时，f (

6、x)=的最大值为_ _ _ _ _ _ _ _ _。思维启发：利用基本不等式求最大值，可以先进行表达式所需的转换。例如，(1)用“2X Y”替换“1”，展开后利用基本不等式。(2)将函数式的分子分母除以“x”，并询问利用基本不等式。答案(1) 3 2 (2) 1分析(1)x0，y0和2x y=1，=3 3 2。仅在中使用等号。(2)x0，f(x)=1，仅当X=，即x=1时才使用等号。(1)如果已知x0，y0，x 2y 2xy=8，则x 2y的最小值为()A.3 b.4 c.d .(2) ab0牙齿已知时，a2的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。答案(1)B (2)16根据问题

7、解决(1)，(x 1) (2y 1)=9，(x 1)(2y 1)2=6，X 2y 4。立即成立等号。x 2y的最小值为4。(2)ab0，b(a-b)2=，并且只有在a=2b时等号才成立。a2a2=a2 2=16且a=2时，等号才成立。当a=2，b=时，a2获得最小值16。问题类型的三个茄子基本不等式的实际应用例3某单元建造了地面面积为12 m2的背面靠在墙上的矩形小房子。由于地理限制，房子侧面的长度X不能超过5米。房子正面的造价为400韩元/m2，房子侧面的造价为150韩元/m2，屋顶和地面的建设费共计5800韩元。墙高3米，房子后面不计较。思维启蒙：用长度X表示建设价格，利用基本不等式求最大

8、值即可。定义站00)，即X=80点“=”成立，因此必须选择B。无视最有价值的条件，导致错误。例如：(12分钟)已知a，b都是正实数，a b=1求出y=的最小值。误差分析在求最大值时使用两次基本不等式，其中等号不能同时成立，因此不能得到最小值。要求审查观点(1)函数最有价值的问题，可以考虑使用基本不等式，但要利用基本不等式，必须保证“正、正、等”，还必须满足已知条件。(2)可以考虑函数的单调，但要注意变量的值范围。规范答案解决方法1 y= 2=2=2 2=2=.10分并且，仅当a=b=时，y=最小值，最小值为。12分钟方法2 y=a b=a b=a b=ab-2。6点因此，t=ab2=，即t。另

9、外，f (t)=t上方是单调递减，10点如果t=，则f(t)min=；如果是牙齿，则a=b=。a=b=时，y有最小值。12分钟温暖的提醒(1)这种题目考生总是觉得很容易开始。但是解决这种问题又经常出错。(2)利用基本不等式求最大值必须注意适用条件，即1、2、3相等。否则求解时等号成立，条件不具备，可能会出错。(3)方法和技巧1.基本不等式具有将“求和”转换为“乘法”、将“乘法”转换为“求和”的比例曹征功能，经常用于比较数字(形式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特征，选择可以利用基本不等式的切入点。2.恒等变形：为了利用基本不等式，有时需要对给定的代数表达式进行适当的变

10、形。例如：(1) x2时x=(x-2)22=4。(2)00，即a，d错误，因此选择b。2.(2012福建)以下不等式必须成立A.lglg x (x0)B.sin x 2 (x k ，kz)c . x2 12 | x |(xr)d . 1(x-r)答案cX0时解析x2 2x=x。因此，选项a无效，因为它是lglg x(x0)。在x，kz时，选项b不正确，因为sin x的正负不恒定。根据基本不等式，可以看出选项c是正确的。如果X=0，则选项d不正确，因为=1牙齿。3.设定x、y、r、a1、B1。如果ax=by=3，a b=2，则的最大值为()A.2b.c.1d .答案c分析包括ax=by=3，结果

11、：x=loga3，y=logb3，a1，B1中的x0，y0，=log3a log3b=log3ablog B34.已知的00。x(3-3x)=3x(1-x)32=。X=1-x或X=时使用等号。第二，填空(每个小问题5分，共15分)5.如果x，y-r已知，并且满足=1牙齿，则xy的最大值为_ _ _ _ _ _ _ _ _。回答3分析x0，y0和1=2，xy3。并且仅当=时，才取等号。6.(2011湖南)如果设置x，y，r，设置xy，0，则最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ _。回答9解决方案=5 4x2y2 5 2=9或更高，并且只有当x2y2=时，“=”才成立。7.某公司一年要购买200

12、吨某些货物，平均分几次购买，每购买运费为2万韩元，一年的总储存费数值(单位：万韩元)是每购买吨数值，要将一年的总运费和总储存费的总和降至最低，每购买的吨数为_ _ _答案20分析设置每次购买这种商品X吨都要购买。一年的总运费为2=，一年的总储存成本为X，因此一年的总运费和总储存成本为X 2=40，只有=X，即X=20时等号才成立，因此必须创建一年三、回答问题(共22分)8.(10点)已知A0，B0，a b=1，验证：(1)8；(2) 9。证明(1)=2，a b=1，a0，b0，=222=4或更高版本， 8(并且仅当a=b=时等号才成立)。(2)方法1A0，B0，a b=1，1=1=2，同样，1=2=5 2 5 4=9。 9(仅当a=b=时等号才成立)。方法2=1。(1)根据 8，因此=1 9。9.(12分钟)为了处理含有某些杂质的污水，必须制作底面为2米(3英尺)的无盖长度方形沉淀池(见图)，污水从A孔流入，沉淀后从B孔流出，安装。箱子的底部长度为a m，高度为b m。已知流出的水中杂质的质量分别是a，B的乘积为反比，现有长方体材质60 m2。问：当A，B