高三数学上 15.1《多面体概念、性质及其应用》学案 沪教版

1、多面体的概念、性质及应用【点评亮点】:系统梳理和实现多面体的相关概念和性质，并利用概念性质分析和处理基于多面体的立体几何的基本问题。审查难点:面积和体积计算中角度和方向的转换；“等体积法”和“割补法”的灵活运用；锥台关系和截面问题的分析与处理示例分析:例1。立方体的每三个顶点可以定义一个平面，有多少个不同的平面可以和立方体的12条边形成相同的角度？分析：根据立方体的概率，十二条边可以分成三组，每组的四条边相互平行。要找出与十二条边有相同角度的平面，只需找出与三条边有相同角度的平面。解决方法：(方法1)立方体的每个顶点对应于一个正三棱锥，其对角线与面的对角线一致，例如，点A对应于正三棱锥A-A1

2、BD。该正三棱锥的底面A1BD为条件平面，八个顶点对应八个平面，即八个平面满足设计要求。(方法2)一个立方体有8个顶点，每三个点可以确定一个平面，总共=56。六个对角面每三点确定的平面和每个面每三点确定的平面不满足条件，因此合格平面数为：-6=8(件)【点评】:理解多面体的概念不仅意味着了解这些概念，还意味着能够灵活运用这些概念所包含的属性进行正确的推理，尤其是更加关注立方体和三角金字塔的概率。例如，本主题的关键发展在于利用立方体的性质将12边等角问题的研究简化为三边共点的等角问题。例2。如图所示，在三棱锥P-ABC中，pa=a，ab=AC=2a，PAB=PAC=BAC=60，计算这个三棱锥的

3、体积。分析：AB=AC，BAC=60 ,ABC为正三角形，且PAB=PBC，点P在ABC平面上的投影必须在BAC的平分线上。解决方案(方法1)(直接使用公式):使BC中点为d，连接AD和PD；p在o中用作PO飞机ABC，pab=pac,ab=ac,pabpac,adbc， PB=PC，PDBC， BC飞机停机坪，飞机ABC飞机停机坪， O点一定在广告上。如果o在e中用作OEAB，并且PE是连接的，那么PEAB，在室温下，邻苯二甲酸酯邻苯二甲酸酯=60， PE=a，AE=，OE=AEtan30，在rt Poe中，PO=，很容易知道s ABC=a2。副总裁-ABC=sABC po=a3 .解(方法

4、2)(使用等积变换法):在 PAB中，PA=a，AB=2a，PAB=60。 PB2=a2 (2a)2-2a(2a)cos60=3a2，PAB是一个直角三角形，papc papb也可以用同样的方法证明，并且PbPC=p， PA平面PBC，在 PBC中，Pb=PC=a，BC=2a， s PBC=a2，副总裁-ABC=va-PBC=spbcpa=a3 .解(方法3)(用分区求积法求解):通过方法一，BC平面垫，VP-ABC=VB-pad VC-pad=2vb-pad=spadbd=a3 .解答(方法4)(用补码法解答):通过将AP推广到Q，使PQ=a，连接QB和QC，可以得到边长为2a的正四面体。副

5、总裁-ABC=VQ-ABC=(2a)3=a3 .【点评】:10这样的图形，(三条线共用两个或两个相等的角度)，分析处理要熟练。由于是正棱锥，正棱锥的局部就是这样一个图形，这个标题1也可以看作是右图，它证明了AO被等分成BAC，这正是在正棱锥的性质中提到的四个RT 。切补法和三角锥视角变换是体积计算的基本方法，应掌握和应用。例3。已知规则三角形平台的上下底面的面积分别是S1和s(s1ab2和ab3ab2。虽然ab1和ab3具有不确定的大小关系，可以知道，a、b和c之间的关系是2a2bc和2ab2bc，2bc和2ab是不确定的。那是ab，ac，b和c之间的关系是不确定的。【点评】:多面体的边展开图

6、是研究多面体表面积的基础，也是将空间问题转化为平面问题的基本方法，是研究多面体相关问题的基本思路。关键是要掌握空间图形中各元素的对应关系(包括位置关系和数量关系)甲、1B、丙、丁、2.假定三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V，而P是侧边B1B上的一个点，则四角锥P-ACC1A1的体积为()甲、乙、丙、丁、3.三棱锥的边相互垂直，所有边的总和为3，则三棱锥的最大体积为()甲、乙、丙、丁、4.正三棱锥P-ABC的底侧长度为A，垂直于侧边PC穿过底边AB的截面在D处与PC相交，截面DAB与底面的夹角为，则截面下方部分的体积为()甲、乙、丙、丁、5.如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为v，p

7、和q分别为AA1和CC1上的点，且满足AP=C1Q，则四角锥B-APQC的体积为()甲、VB、VC、VD、V6.众所周知，正四棱镜的上下底面面积分别为S和Q，所以将棱镜的侧面按其中间部分分成两部分的侧面面积之比是()。甲、乙、丙、丁、7.众所周知，圆锥的母线长度是L，底面的半径是r。如果通过圆锥顶点的最大横截面积是l2，那么()甲、乙、丙、丁、8.如果被圆锥体包围的球体的高度是球体直径的两倍，则圆锥体的总面积与球体表面积之比是()a、21B、31C、32D、949.当球与平截头体的上下底面和母线相切时，球的体积与平截头体的体积之比为()，平截头体的球面面积与侧面面积之比为34a、34B、79C

8、、514D、61310.半径为1的球面上有三个点。众所周知，A和B，A和C之间的球面距离是，B和C之间的球面距离是，那么从穿过A，B和C的横截面到球体中心的距离是()甲、乙、丙、丁、回答和分析答：1，B 2，C 3，D 4，C 5，B 6，B 7，C 8，A 9，D 10，C解析：1.取PB的中点m，连接EM和MF，然后ME=MF=1和MEMF.2.将两个相同的三棱镜放在一起形成四棱柱ABDC-A1B1D1C1，那么3.如果三条边的长度是x，y和z，那么3=x y z 33=3，体积V=xyz的最大值很容易找到。4.取AB中点M，连接DM和CM，则DMC=，MCD为RT ，V=S Abdcd，

9、容易找到。5.以特殊点为例，其中P和Q是边的中点，结合上面的第二个问题求解。6.取一个特殊的值，如果S=Q，它应该是1: 1，d应该去掉。如果S=0(成为金字塔)，且比率为1: 3，则用验证代替。答案是B，注意：永远不要计算，做选择题的禁忌。7.因为l2=l2sin90，圆锥轴截面的顶角大于或等于90，这可以相应地求解。8.绘制轴的截面图。如果球体的半径为r，SO1=3R，OB=BM，OB=r，则可以求解RTSO1M和RTSOB中的方程。9.画出轴的横截面。如果底部的半径是平截头体上方的半径，那么母线长度就是半径，球的半径用半径表示，然后表面积和体积就可以表示出来。注意8，9。对于这种组合问题

10、，应画出轴向截面。10.如果取出OABC，OA面BOC,BOC=,所需距离为o面至ABC面，该距离可按等体积计算。空间图形的分解和组合空间想象是高考要求的能力之一，也是处理空间图形的必备能力。一种表达方式是在你的头脑中分解和组合空间图形。也就是说，复杂的图形被分解成简单的图形；将简单图形组合成复杂图形；将空间图形分割成平面图形，并将平面图形合并成空间图形。当解决一些复杂的立体几何问题时，这种处理图形的能力更加突出。这里有两个例子来说明。例1。假设三棱锥S-ABC，ABC=90，AB=BC，SA=SB=SC=m，当要求二面角-SB-C时，其体积最大。解：sa=sb=sc，底表面上顶点s的投影o是

11、ABC的外中心，ABC是一个等腰直角三角形，o是AC的中点，所以像AHSB一样，h是垂足，偶数CH，sabSBC， CHSB，SB飞机AHC，AHC是二面角-SB-C的平面角，设AHC=，假设AB=BC=2a，那么AC=2 a在室温下， Aho，AH=，OH=2，在SAB中，标准差=，AHSB=离差， m=2a，结果vs-ABC=vs-ahc VB-ahc=sahc sh sahc BH=sahc sb。其中sahc=acoh=2 a2 cot=m2(1-cot 2)cotV=m3(1-cot2 )cot V2=m6(1-cot2 )2cot2=m6(1-cot2 )(1-cot2 )2cot

12、2 m6 3=m6，当且仅当1-cot2=2cot2，即cot=，=120时，等号成立。因此，当二面角为120时，三棱锥的体积最大。备注：考虑到通过建立V与之间的函数关系，更容易表达V并求出，本课题将三棱锥分为两个小金字塔，并使用“两个小金字塔的体积之和等于原三棱锥的体积”。事实上，它是重新匹配要处理的问题的关键结构，并在新的关系结构中寻找解决问题的方法。随着 ahc面积的增加，出现了平面角面积 ahc 二面角体积v之间的新关系，并建立了v与之间的函数关系。当我们认为给定问题的关系结构不适合解决问题时，我们应该将其分解并重组为一个我们可以解决的问题。这也是一种意识形态的转变方法。例2。正三棱柱ABC-A1B1C1，e是BB1的中点。(1)验证：A1EC飞机AC1飞机；(2)如果AA1=AB=a，求CE和AC1形成的角度；(3)在(2)的条件下，计算平面A1EC与平面A1B1C1形成的二面角以及平面CE与平面A1B1C1形成的角。(1)设d为交流中点，f为A1C中点，连接BD、EF和d f， DF DF BE，四边形DFEB是平行四边形，三棱镜是一个正三棱镜， BDAC平面，ABC平面AC1。 BD飞机AC1， EF飞机AC1，英孚飞机A1EC，飞机A1E