高三数学第一轮复习 7.5数列的前n项和学案（老师版）

1、7.5数列的前n项和一、学习目的：1.熟练掌握等差数列和等比数列的修正公式2 .可以使用重要的数学方法来执行加法运算，如逆顺加法、位移减法和分解项抵消3 .记住常用数列之和的公式二、自主学习：【课前检查】1.(09年东城一模理15 )已知满足增加的等比数列，并且是等差中项(ii )，如果是数列的前项和，则求出成立的最小值解：()作为等比数列的公比，根据题意，是(1)另外，代入(1)所以我能理解或者因为又在增加.所以.(ii )，所以可以从题意中得到，可以解开，也可以满足条件的最小值为132 .在数列an中，求an= 、另外bn=、数列bn的前n项之和。解： an=(1 2 3 n)=、bn=8

2、(-) )，数列bn的前n项之和sn=8(1- ) (-) (-) )=8(1- )=。3 .以各项非零数列着称。(1)求数列的通项(2)如果满足数列，则求数列前项之和解： (1)根据题意，所以可以整理所以，也就是说上式也成立(2)【积分卡】(1)前n项和公式Sn的定义： Sn=a1 a2 an。(2)数列的合订方法(合订8种)1 .式法：1)等差数列的修正式2 )等比数列的修正式3 )可变换为等差、等比数列数列； 4 )常用式：(一)；(2)；(三)；(4)。2 .分组加法：将数列各项目分成多个项目，或重新组合数列的项目，先变换为等差数列和等比数列，然后用等差、等比数列的加法公式求解。3 .

3、反相相加：如果一个数列an等于开头两端等“距离”的两项之和，或者等于相同常数，则只要求出该数列的前n项之和，就能够进行反相相加。 例如，等差数列的前n项之和就是用此方法导出的。4 .裂项相消法：即将各项分解为正负两项，使正负相抵，只有几项，才能求和。适用于各项不为0的等差数列、c为常数一部分的勉强数列、包含阶乘的数列等。 例：1)和(其中等差)可裂项如下： 2 )。 (根式在分母时，可以考虑利用分母有理化，公式缓和一般裂纹式：(一)；(2)；(三)；(4)(5)常见的缩约式：5 .偏差相减：适用于差比数列(等差、等比则称为差比数列)。 即，将与各个项相乘的公比向后移位一个，以对应于同次项进行减

4、法运算，并转换为等比数列的和。例如，等比数列的前n项的和是用这种方法推导出的解读：6 .累积(乘法)法7 .并项加法：在一个数列的前n项和中，如果能用两结合求解，则称为并项加法形状像an=(-1)nf(n )类型，可以用两个合并来求出。8 .其他方法：归纳、猜测、证明周期数列的修订等解读：三、合作探索：问题型一式法例1 (2005年春季北京牌17改编)数列bn的通项公式为bn=3n-1。(1)求数列bn的前n项和Sn的公式设定为Pn=b1 b4 b7 b3n-2、Qn=b10 b12 b14 b2n 8，在其中试着比较n=1、2、Pn和Qn的大小，证明你的结论。解：(1)Sn=n2 n。(2)

5、b1、b4、b7、b3n-2组成以3d为公差的等差数列，Pn=nb1 3d=n2-n。b10、b12、b14、b2n 8构成以2d为公差的等差数列，b10=29，Qn=nb10 2d=3n2 26n。Pn-Qn=(n2-n)-(3n2 26n)=n(n-19 )。因此，对于正整数n，当n20时，PnQn；在n=19的情况下，Pn=Qn； 当n18时，PnQn。变形训练1如果是等比数列的前n项和Sn=2n-p，则为解：1)在1)n=1的情况下，2 )当时。数列是等比数列，所以因此，以等比数列为首的项是1，公比是2的等比数列。因此以等比数列为首的项是1、公比的等比数列。总结和展开：1)等差数列的修

6、正式2 )等比数列的修正式3 )可变换为等差、等比数列的数列4 )公式： (参照知识点部分)。 5 )等比数列的性质：如果数列是等比数列的话则数列及也是等比数列，最初项分别为、公比分别为、问题型2组加法在例2数列中，已知a1=2，an 1=4an-3n 1，n -。(1)假设求数列的通式(2)将数列的前n项的和设为Sn，求出Sn。解： (1)然后以1为首，4为公比的等比数列(2)在变体训练2 (2010年丰台期末18 )的数列中，在函数的图像上有点的(ii )数列中，依次提取第3、4、6、项，构成新的数列，求出数列的通项及前项和解： (I )点在函数的图像上。即以数列为首，以2为公差等差数列我

7、是。(ii )以标题的意义而知=。总结和扩展：将数列各项分成多个项目，将数列项目重新组合，变换为等差数列或等比数列，用等差、等比数列的修正公式求解。问题型三裂项相消法例3 (武汉市2008年高三调查测试文科)数列前n项和。 (1)求数列的公式(2)求记、数列前的n项和解： (1)数列前n项之和当n=1时，有时候另外一方面，在n=1情况下满足所以求数列通项是(2)所以数列的前n项和变化训练3 (2010年东城二型19改编)已知数列的前项和， (I )证明数列是等比数列(ii )数列得到满足和求得。证明： (I )为当时，所以得到另外，所以所以，然后，所以。所以.故数列是第一项，是公比的等比数列由

8、(ii)(I )可知，()。就是这样小结节和扩张：裂项相消法分别分解为正负二项使正负相抵，只有很少的几项，可以求和。 其中适用于各项不为0的等差数列，c为常数的一部分不合理的数列、包含阶乘的数列等。 例：1)和(其中等差)可裂项如下： 2 )。 (根式在分母时，可以考虑利用分母有理化，公式缓和问题型4偏差相减求例4数列前的n项之和解：从问题中了解到的通项是等差数列2n的通项和等比数列的通项的积设置(不合格)-获得(位置偏差减法)变化训练4 (2010昌平模拟)设定为数列an满足a1 3a2 32a3 3n-1an=、nN*。(1)求数列an的公式设定(2)bn=，求出数列bn的最初的n项和Sn

9、。解： (1)a1 3a2 32a3 3n-1an=，当n2时，a1 3a2 32a3 3n-2an-1=. -表示3n-1an=、an=。中，设n=1，得到a1=，适合于an=、an=。bn=，bn=n3n。Sn=3 232 333 n3n，3Sn=32 233 334 n3n 1. 得到-2sn=n3n 1-(3 32 33 3n )，即，2Sn=n3n 1-，Sn=.问题型五并项加法例5求得=1002-992 982-972 22-12解：=1002-992 982-97222-12=(10099 ) (9897 )(21 )=。变形训练2数列(-1)nn的前2010项的和S2 010是

10、(d )A.-2010 B.-1005 C.2010 D.1005解： s2010=-1 2-3 4-5 2008-2009 2010=(2-1) (4-3) (6-5)(2010-2009 )=1005。问题类型5累计(乘法)法及其方法：归纳、预想、证明周期数列的修订等求例6 (1)的和(2)各项全部为正数的数列an的前n项的积等于Tn=(nN* )，则数列bn的前n项和Sn中最大的一项为(d )A.S6 B.S5 C.S4 D.S3解： (1)原因(查找项和特征)(组合订正)=(2)D变形训练6 (1)(2009福州八中)已知数列规则。 回答： 100. 5000。(2)数列中，前2010项之和等于(a )A.1005 B.2010 C.1 D.0总结和扩展：四、课程总结：八种这些个方法各有特点，原则上善于改变原数列的形式结构它可以进行消除处理，或者用等差数列、等比数列的总和式和其它已知的基本总和式来解决，如果充分把握该法则，数列的总和化就不容易，可以容易地解决。五、加强检查：1 .求下列数列的前项和(1)五、五、五、五、五、五、。 (2)；(三)； (四)；(五)； (6)。解： (1)就是这样(2)，。是(3)就是这样(4)、当时，当时，减去两式，。(五