山东省冠县武训高级中学2020高二数学 2-2 三角形中的几何计算复习导学案 新人教A版（通用）

1、山东冠县吴迅中学2020年高中数学2-2三角形几何计算复习辅导案例新人教版解读认识能量的目标1.通常探索任意三角形的边长与角的关系，掌握正弦定理和余弦定理，并解决一些简单的测量问题。2.能够运用正弦定理和余弦定理的知识和方法解决一些与三角形的边和角以及三角形面积有关的问题。3.深刻理解三角知识在实践中的应用，增强应用数学建模意识，培养分析和解决实际问题的能力。重点和难点重点：应用正弦和余弦定理求解三角形。难点：灵活应用正弦和余弦定理以及三角恒等式变换来解决三角形中的几何计算。学习方法指南一、三角形中的几何计算问题正弦定理和余弦定理揭示了任意三角形的角之间的关系，是求解三角形的重要工具。余弦定理

2、与平面几何知识、向量和三角形密切相关。求解三角形广泛用于各种平面图形，如菱形、梯形、平行四边形、扇形和一些不规则图形。在处理问题时，可以通过添加适当的辅助线并将其合并到三角形中来解决问题，这就是将复杂转化为简单，将未知转化为已知。注意：三角形中的几何计算问题主要包括长度、角度、面积等。常用的方法是构造三角形，将问题转化为三角形，然后选择正弦定理和余弦定理来求解。有些问题与三角函数密切相关，因此有必要熟练运用三角函数的相关公式。二、正弦和余弦定理在几何计算问题中的应用规律1.对于平面图形的计算，首先要将所需的量转换成三角形，然后选择正弦定理和余弦定理来求解。在构造三角形时，要注意使三角形包含尽可

3、能多的已知量，这样可以简化运算。2.对于在平面图形中求最大值的问题，我们必须首先选择合适的变量，然后选择正弦定理或余弦定理来建立变量与变量之间的函数关系，并借助三角函数的相关知识来求最大值，有时还会用到不等式的中值定理(待以后学习)。3.正弦和余弦定理传达了三角形中边和角之间的定量关系。改变三角形中的任何元素都会导致三角形的形状和大小发生变化，但是三角形的边和角仍然符合正弦和余弦定理。因此，无论主题如何变化，转换条件和结论都是好的。即使是立体几何中的计算问题，我们也只需要牢牢掌握正弦和余弦定理，依靠三角恒等式变换和代数恒等式变换。知道如何独立梳理三解面积公式(1)S=；(2)S=AbsInc=

4、；(3)S=r (r是内切圆的半径)。回答 (1)底部高度(2)空调空调空调(3)(空调)思维、方法和技能命题方向利用正弦和余弦定理计算边长例1如图所示，在四边形ABCD中，ADCD,AD=10,AB=14,BDA=60、BCD=135，求BC的长度。【解析】这个物体的形状是由两个三角形组成的四边形。在ABD中，两条边和其中一条边的相对角度是已知的，BD的长度可以用余弦定理来计算。在BCD中，BC的长度可以用正弦定理计算。解析在ABD中，通过余弦定理，获取ab2=ad2 BD 2-2 adbcosADB，如果BD=x，则有142=102 x2-210 cos60，x2-10x-96=0,bd=

5、16. x1=16,x2=-6(废弃)在BCD中，由正弦定理可知BC=sin30=8.【说明】解决这类问题的关键是将已知条件转化为三角形的角关系，然后用正弦和余弦定理来求解。变体应用1如图所示，在ABC中，BC=15，AB: AC=7是已知的；8，sinB=，求BC侧高AD的长度。分析如果需要高模数的长度，我们可以先求出模数的长度，然后求出模数的长度，单位为RtADB。在ABC中，AB=7x，AC=8x，x0是已知的，是由正弦定理得到的sinC=.C=60或120。如果C=120，从8x7x可知B也是钝角，而不是s根据余弦定理，(7x)2=(8x) 2 152-28x15cos60，x2-8x

6、 15=0，解是x=3或x=5。AB=21或AB=35。在RtADB中，AD=ABsinB=AD=12或者20岁。命题方向使用正弦和余弦定理来解决角度问题例2在ABC中，中线BD=在AB=AC的边缘上是已知的，并且计算sinA的值。分析要要求司南的值，根据“D为交流中点”的条件，取交流中点E，接交流中点DE，再接交流中点DEAB，这样ABEBED=180，根据题目中的条件COSABC=即可，然后得到COSBED=-。解析如图所示，取BC的中点e，连接DE，然后DEAB，和DE=AB=。* cosABC=，cosBED=-.设be=x，在BDE中，用余弦定理，可用BD2=BE2 ED2-2Bee

7、dCosBED，即，5=x2解是x=1或x=-，所以BC=2。ABC中，利用余弦定理，ac2=ab2 bc2-2 bccosABC=，可获得那是交流电。和罪恶ABC=，【说明】用正弦和余弦定理解决相关问题时，需要用辅助线构造三角形，然后用这些定理在三角形中求解。变体应用2在ABC中，A、B和C分别与A、B和C配对。让A、b和c满足条件b2 c2-bc=a2，并计算A和tanB的值。解析解1:从余弦定理，cosA=。因此A=60。在ABC中，C=180-A-B=120-B从正弦定理，得到=解决方案是cotB=2，因此Tanb=1。解决方案2:从余弦定理，cosA=。因此，=60。从b2 c2-b

8、c=a2，()2=1 () 2-=1 3-=。=.根据正弦定理，sinb=.。根据公式，a b，所以B B A，所以B是锐角，所以cosB=，所以tanB=。探索、延伸和创新命题方向利用正弦和余弦定理解决平面几何中的面积问题实施例3已知ABC的角a、b和c的边分别是a、b和c。让向量m=(a，b)，n=(sinb，Sina)，p=(b-2，a-2)。(1)如果mn，验证ABC是等腰三角形。(2)如果mp，边长c=2，角c=，求ABC的面积。【分析】(1)正弦定理中的mnasina=bsinba=bABC是一个等腰三角形(2)mpa b=ab abSABC通过余弦定理分辨率(1)mn， asina=bsinb，A=b，其中r是ABC三角形外接圆的半径a2=b2,a=b,ABC是一个等腰三角形。(2)根据问题的含义，mp=0，即a(b-2) b(a-2)=0。a b=ab。根据余弦定理，4=a2 b2-ab=(a b) 2-3ab，即，(ab) 2-3ab-4=0，ab=4 (ab=-1)。S=absinC=4sin=.【说明】解决这个问题的关键是灵活运用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式，并熟练运用这些公式进行求值。变体应用3(1)在A