通用版2019版高考数学一轮复习第八章立体几何课时达标检测三十九利用空间向量求空间角理

1、用上课时间达成检查(三十九)空间向量求空间角一般难度问题全体一定要做已知直三角柱ABCA1B1C1、ACB=90、CA=CB=CC1、d是B1C1的中点，求出异面直线BD和A1C所成的角的侑弦值。解：如图所示，以c为坐标原点，以CA、CB、CC1所处的直线分别为x轴、y轴、z轴作成空间直角坐标系。假设CA=CB=CC1=2，则a1(2，0，2 )、c (0，0 )、b (0，2，0 )、d (0，1 )=(0，- 1，2 )、=(-2，0，-2)，cos是=-.异面直线BD和A1C所成的角的侑弦值是。2 .可知(2018河南洛阳模拟)三棱锥A BCD，AD平面BCD，BDCD，AD=BD=2，

2、CD=2，e，f分别是AC，BC的中点，p(一)寻求证据： AP；(2)求出直线AC与平面DEF所成的角的正弦值。解： (1)证明：制作PGBD交CD并在点g .上连接AG。=2，GD=光盘=。ad平面BCD，ADDC，在adg中，tanGAD=、在RtADC中，AC2=AD2 CD2=4 12=16、AC=4或者e是AC的中点，de=。另外，AD=2、ADE=60、AGDE。ad平面BCD，ADBD，再有，BDCD、ADCD=D、BD平面ADC，pg平面ADC，PGDE。另外，AGPG=G、de平面AGP、还有ap平面AGP，APDE。(2)以d为坐标原点，以直线DB、DC、DA所处的直线分

3、别为x轴、y轴、z轴来制作空间直角坐标系D xyz，d (0，0，0 )，a (0，0，2 )，b (2，0，0 )，c (0，2，0 )，e (0，1 )=(1，0 )、=(0，1 )、=(0，2，-2)。设平面DEF的法向量为n=(x，y，z )，即假设x=3，则n=(3，-，3 )。将直线AC与平面DEF所成的角设为，sin=|cosn|=，因此，AC与平面DEF所成角的正弦值为.3 .如图所示，四边形ABCD位于正方形，PD平面ABCD，DPC=30，AFPC位于点f，FECD，交点PD位于点e。(1)证明： CF平面ADF；(2)求二面角D AFE的侑弦值解： (1)证明： PD平面

4、ABCD、ad平面ABCD、PDAD。再有，CDAD、PDCD=D、AD平面PCD。pc平面PCD，ADPC。另外，AFPC、ADAF=A，PC平面ADF，即CF平面ADF。假设AB=1，则在RtPDC中，CD=1，并且DPC=30，PC=2、PD=、PCD=60。(CFDF，DF=CDsin 60=，cf=光盘操作系统60=。另外，FECD，=，DE=。同理EF=CD=.如图所示，若以d为原点建立关空间直角坐标系字，则成为a (0，0，1 )、e、f、p (、0，0 )、c (0，1，0 )。假设m=(x，y，z )是平面AEF的法向量另外=、=、如果x=4，则获得了m=(4，0， )。(1

5、)中已知的平面ADF的法向量为=(-，1，0 )，当设二面角D AFE的平面角为时，可知为锐角。cos =|cosm，|=。对二面角D AF E的佚弦值中级难度问题学优生作1.(2018郑州质量预测)如图所示，在三角柱ABC A1B1C1中，各棱长都相等. d、e、f分别是棱AB、BC、A1C1的中点。(1)证明： EF平面A1CD；(2)三角柱ABC A1B1C1为垂直角柱，求出直线BC与平面A1CD所成的角的正弦值.解： (1)在三角柱ABC A1B1C1中，ACA1C1、AC=A1C1，连接ED (省略图示)在ABC中，由于d、e分别是棱AB、BC的中点，因此deAC、DE=AC。此外，

6、由于f是A1C1的中点，所以可获得A1F=A1C1，从而可获得A1FDE、A1F=DE、因此，由于四边形A1FED是平行四边形，所以EFA1D，此外，ef平面A1CD、a1d平面A1CD，所以EF平面A1CD。(2)方法1 :因为底面ABC是正三角形，d是AB的中点，所以CDAB、AA1CD、AA1AB=A，且是CD平面A1ABB1。如图所示，在平面A1ABB1内，如果把通过点b的点b作为BGA1D，把交直线A1D作为点g，并把CG连接起来，则成为BG平面A1CD，BCG是直线BC和平面A1CD所成的角。设三角柱棱的长度为a，则A1D=、a1adbgd、BG=、在RtBCG中，sinBCG=。

7、因此，直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为.如果把方法A1B1的中点设为o，并连结OC1、OD，由于三角柱ABC A1B1C1是垂直角定柱，因此OD平面A1B1C1，所以ODOC1、ODOA1.再有a1b1c1将o设为坐标原点、的方向分别设为x轴、y轴、z轴的正方向，制作图所示那样的空间直角坐标系O xyz .设三角柱的角锥长度为a，则为o (0，0，0 )、b、c、A1、D(0，a，0 )。设平面A1CD的法向量为n=(x，y，z )，由得假设x=2，则n=(2，1，0 )。设直线BC与平面A1CD所成角为，sin =。因此，直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为.2 .如图所示，正方形A

8、BCD的边的长度为4，AB=AE=BF=EF，ABEF，通过沿着AB折叠正方形ABCD，使AD平面AEFB、g成为EF的中点。(1)求证： AG平面BCE；(2)求出二面角CAEF的佟弦值解： (1)证明：连接BG，因为BCAD、AD底面AEFB，在BC底面AEFB、还有ag底面AEFB，BCAG，由于AB图像EG、AB=AE，所以四边形ABGE是菱形，AGBE，另外，bcBE=B、be平面BCE、BC平面BCE，所以AG平面BCE。由(2)式(1)得知的四边形ABGE是菱形、AGBE、AE=EG=BG=AB=4，设AGBE=O、OE=OB=2、OA=OG=2，以o为坐标原点，制作如图所示的空

9、间直角坐标系o (0，0，0 )，a (-2，0，0 )，E(0，- 2，0 )，f (4，2，0 )，c(0，)因此=(2，2，4 )、=(2，- 2，0 )，设平面ACE的法向量为n=(x，y，z )，所以假设y=1，则x=、z=-，即，平面ACE的法向量为n=(，1，- )，易懂的平面AEF的法向量为=(0，0，4 )，如果将二面角CAEF的大小设为，则从图中容易理解-，所以cos =。难易度高的问题学霸作品1.(2018安徽省百所重点高中模拟)图所示的几何由平面PECF截面棱长为2的立方形得到，其中，p、c是原立方形的顶点，e、f是原立方形的棱长的中点，正方形ABCD是原立方形的底面，

10、g是棱BC上的动点。(1)求证：平面美国电力转换公司平面PECF；(2)=(01 )，为什么值时，平面EFG和平面ABCD所成的角是？解： (1)证明：由已知可知，EBFD、EB=FD，如该图所示，连接BD时，四边形EFDB是平行四边形，EFBD。底面ABCD为正方形，BDAC。AP底面ABCD，BDAP。另外，ACAP=A，BD平面美国电力转换公司，ef平面美国电力转换公司。ef平面PECF，平面美国电力转换公司平面PECF。(2)以d为原点制作图所示的空间直角坐标系D xyz，b (2，2，0 )、f (0，0，1 )、e (2，2，1 )、g (2，2-2，0 )、=(2，)将m=(x，

11、y，z )设为平面EFG的法向量，故即假设y=-1，则m=(1，- 1，2)可以是平面EFG的法向量。平面ABCD的法向量是n=(0，0，1 )。cos=|cosm，n|=、又是01，=。如图a所示，在平面六边形ABFCDE中，四边形ABCD是矩形，AB=4、BC=2、AE=DE=、BF=CF=、点m、n(1)利用以下结论或结论，证明e、f、m、n四点平齐结论:跨空间构成已知直线的垂直面，且只有一个结论:通过平面内的一条直线构成该平面的垂直面，且仅有一个(2)如果二面角E ADB和二面角F BC A都为60则求出二面角A BEF的校正弦值。解： (1)如图所示，连接MN，ME，NF，四边形ABCD为矩形，点m，n分别为AD，BC的中点，AMBN，AM=BN，从(2)(1)了解平面EMNF平面ABCD，通过点e作为EOMN，把脚垂下作为o，作为EO平面ABCD。以与MN垂直的直线为x轴，以ON、OE所处的直线分别为y轴、z轴，制作如图所示的空间直角坐标系O xyz。AD=2，AE=DE=，点m是AD的中点，AEDE、EM=1，电子二面角为60，电子邮件为60