第九章 微分方程.ppt

1、第九章 微分方程,第一节 微分方程的概念,引例：,解,微分方程,解微分方程,前言,变量与导数或微分 之间的关系,变量间的函数关系,微分方程,解微分方程,微分方程也是一个数学模型。许多实际问题可以抽象为微分方程问题。例如：物体的冷却、人口的增长、电磁波的传播等。 微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系。 本章主要介绍微分方程的一些基本概念，几种最简单的微分方程的求解方法。,9.1 微分方程的一般概念,一、微分方程的定义,凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.,例,实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.,微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最

2、 高阶导数的阶数.,例1、,解：,根据题意可得：,物体冷却的数学模型,微分方程,微分方程,分类1: 常微分方程, 偏常微分方程.,分类2:,一阶微分方程,高阶(n)微分方程,二、微分方程的分类,一元函数,一般形式,三、微分方程解的概念,1、微分方程的解:,代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.,可以验证函数下列函数为微分方程 的解,解为,2、微分方程的解的分类：,(1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同.,(2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解.,（3）初始条件: 用来确定任意常数的条件.,如：,（4）初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题

3、.,一阶:,过定点的积分曲线;,二阶:,归纳：,微分方程的解,通解,特解,初始条件,微分方程,初 值 问 题,3、微分方程解的几何意义,解的图象: 微分方程的积分曲线.,通解的图象: 积分曲线族.,一阶微分方程初值问题的几何意义：,求微分方程通过定点的积分曲线。,解,所求特解为,小结,微分方程;,微分方程的阶;,微分方程的解;,通解;,初始条件;,特解;,初值问题;,积分曲线;,思考题,思考题解答,中不含任意常数,故为微分方程的特解.,练 习 题,练习题答案,第九章 微分方程,第二节 一阶微分方程,复习：,一阶方程的一般形式为,初值问题：,这个方程虽然简单，但常常很难求出解的表达式,本节只讨论

4、几种特殊类型的一阶微分方程的解法。,9.2 一阶微分方程,教学任务,两边积分得,两边积分得,或,两边积分得,一、可分离变量的微分方程,可分离变量的微分方程,1、方程的特点及形式,已分离变量的微分方程,可分离变量的微分方程,注意方程右边,解法,分离变量法,为微分方程的解.,求解步骤：,（1）分离变量,（2）两边积分,（3）化简整理得通解,例1、,解：,分离变量得：,两边积分,微分方程的通解为：,例2、,解：,分离变量得：,两边积分,得,微分方程的通解为：,例3、,解：,变形方程得：,分离变量得：,两边积分,得,微分方程的通解为：,小结：,分离变量法,分离变量,两边积分,通解,注意：,特殊情形的求

5、解,例4、求解初值问题：,解：,分离变量得：,两边积分,复习：,分离变量法,分离变量,两边积分,通解,特殊情形：,解,分离变量,两边积分,微分方程的通解为：,二、齐次方程,1.定义,的微分方程称为齐次方程.,引例：求解微分方程,解：,变形方程得：,微分方程的通解为：,2.解法,作变量代换,代入原式,可分离变量的方程,3.步骤,例5、,解,令,则,代入化简,并分离变量,两边积分,换回原变量,或,例6 、 求解微分方程,解,微分方程的解为,二、齐次方程,步骤,变量代换法,例7、 求解微分方程,解,微分方程的解为,三、一阶线性微分方程,一阶线性微分方程的标准形式:,y和y是一次的,举例,线性方程,非

6、线性方程,一阶线性微分方程的解法:,1. 线性齐次方程,方程的通解为,例8、,解：,代入原方程得：,原方程的通解为：,解微分方程：,一阶线性微分方程的解法:,2. 线性非齐次方程,常数变易法,非齐次方程的通解为,常数变易法步骤：,例9、,解：,代入原方程得：,原方程的通解为：,解微分方程：,例10、,解：,代入原方程得：,原方程的通解为：,解微分方程：,一阶线性微分方程的解法:,1. 线性齐次方程,齐次方程的通解为,2. 线性非齐次方程,常数变易法,非齐次方程的通解为,一阶非齐次线性微分方程的通解为:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,非齐通解 = 齐通解 + 非齐特解,线性微分方程解的结构。,第九章 微分方程,第三节 可降阶的二阶微分方程,引入：,二阶微分方程的一般形式,两种特殊形式,一、,特点：,右端不含,仅是 x 的函数,解法：,两端积分,再积分,解法：,连续n次积分,例1、,解：,例2、,解：,二、 型,特点：,右端不含 y,解法：,令,一阶微分方程,积分,例3,解方程,解,令,分离变量得,由,由,故,返回,三、 型,特点：,右端不含 x,解法：,令,例4,解：,代入原方程得,原方程通解为,小结：,微分方程的基本概念,一阶微分方程的求解,几种二阶微分方程的解法,第九章