第三章dsfsdf.ppt

1、Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,在间接测量中，待求量通过间接测量的方程式 获得。通过测量获得量 的数值后，即可由上面的函数关系计算出待求量y 的数值。 测量数据的误差怎样作用于间接量y，即给定测量数据的测量误差，怎样求出所得间接量y 的误差值?,Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,一般地，测量结果的误差是测量方法各环节的诸误差因素共同作用的结果。这些误差因素通过一定的关系作用于测量结果。 研究测量误差的传递规律有重要意义，它不仅可直接用于已知系统误差的传递计算，并且是建立不确定度合成规则的依

2、据，因而是精度分析的基础。,Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,3.1 按定义计算测量误差 若对量Y用某种方法测得结果y，则按测量误差的定义，该数据的测量误差应为 设有如下测量方程 式中:y 间接测量结果； 分别为各直接测得值。,Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,直接量的测量数据的测量误差分别为 式中，X1，X2，Xn分别为相应量的实际值(真值)。,Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,则间接测量结果的误差可写为式(3-2) 上式给出了由测量数据

3、的误差计算间接量y的误差的传递关系式，这一误差关系是准确无误的。,Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,使用范围及优点 在误差传递计算中经常使用,特别是在单独 分析某项误差因素对测量结果的影响时。 在这一影响关系不便或不能化成简单的线 性关系时,这一方法更常使用。,Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,举例 例3-1 设矩形长度为x，宽度为y，则矩形面积s=xy。现通过测量获得x和y的测得值，分别为和，其测量误差分别为和，如图3-1所示，求由此引起的面积误差。,Harbin Institute of

4、 Technology,第三章 测量误差的传递,解 这是间接测量的情形,按测量误差的定义,面积误差应为 该误差为三项之和,这三项分别相应于图中划有阴影的三块小面积。,Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,例3-2 测量工件平行端面间的距离L，若工件在测量时，安置歪斜角，则测量线与被测线方向不一致，分析由此引起的测量误差。,Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,解 由图的三角形abc，被测量的实际值L与测得值l间有如下关系 按定义，测量误差为 将 按级数展开，略去三次以上的高次项可得 备注:此例不能按

5、下面所述的线性化的方法计算.,Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,例3-3 为求得某物体在给定时间间隔内的平均速度,测得时间间隔t和物体相应移过的距离s,若测量误差分别为和,求所给速度的误差表达式。 解 给出的速度应按下式计算 而排除测量误差的速度表达式则为,Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,按误差的定义，所给出速度的误差应为 经整理并略去微小量可得,Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,例3-4 如图3-3所示电路，设电阻R1、R2的误差分别为

6、 、 ，分析V0的误差。 解 由图示关系，得,Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,由 与 引入V0的误差为 由于R1, R2，故上式可简化为,Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,小结 由例3-4可见，对于间接测量的函数 ；当测得值 时，若按由误差定义所给出的式(3-2)直接计算y 的误差，一般来说是较为繁杂的。,Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,改进 式(3-2)给出的误差计算关系是完全准确的,其中包括了若干微小因素。这些微小因素产生了非线性的

7、关系,造成误差表达式的复杂性。将这些微小量适当舍弃以后,可使误差表达式大为简化。,Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,3.2 函数误差传递计算的线性化 设有函数 若 分别含有误差 ， 则y的误差为 为获得简单的误差关系式，将函数 按泰勒级数展开，并略去二 次以上的高次项，则得,Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,式中: 分别为 的真值；,Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,分别为 的误差； 分别为函数 对 的偏导 数在 处的值。,Harbin I

8、nstitute of Technology,第三章 测量误差的传递,将展开式代人上面的误差式中，则有 或简单写成(式3-3),Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,式中:偏导数 可用真值Xi 代入求得，也可用测得值xi 代入求得。这是因为xi 与Xi 的差别甚小，相应的偏导数值十分接近。,Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,上式表明，函数y 的总误差应是各误差分量 与相应偏导数 之积的代数和,即函数y 的总误差是各误差分量 的线性和。,Harbin Institute of Technology

9、,第三章 测量误差的传递,优点 获得了线性的误差传递关系。既简明,又有规则。在函数关系较复杂时,更具有突出的优越性。 局限性 函数关系通常是非线性的,在作线性化处理时需要略去展开式中二次以上的高次项,保留的一次项部分(即线性部分)只是原来的函数y的近似表达式,因此,式3-3在一般情况下只是一个近似的关系式。只有在y是xi 的线性函数时,该式才是准确的。,Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,当展开式的高次项不可忽略(如例3-2)时,函数不能作线性化处理,此时只能直接按定义计算误差。 就一般情形看,由于测量误差相对来说通常是很微小的,所以函数线性化

10、处理时略去的高次项部分也常可忽略不计。可以说,一般按线性和求总误差在实用上具有足够的精度,因而式(3-3),具有普遍意义。,Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,对一些具有特殊函数关系的间接量的处理 对于线性函数 式中， 为系数。 间接量y 的总误差应为式(3-4) 当 时，则有式(3-5),Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,对于三角函数 由式(3-3)，得 为求角度的误差，对正弦函数微分 则有 以误差量代替微分量，得,Harbin Institute of Technology,第三章 测量误

11、差的传递,将式(3-6)代人上式，得角度误差的表达式 同样，也可给出具有其他三角函数关系的角度误差表达式。 对于函数 角度 的误差式为,Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,对于函数 角度 的误差式为 对于函数 角度 的误差式为 对于对数函数 y的误差式为,Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,对于对数函数 y的误差式为 当函数误差以相对误差的形式给出时，由式(3-3)，其传递关系为 或写成,Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,以相对误差表示各误差分

12、量时，其传递关系为 或 例3-5 利用线性化的方法给出例3-3中速度的误差表达式。,Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,解 由速度的函数式，求偏导数有 根据误差传递关系式(3-3)，由测量误差 和 引起的v 的误差为：,Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,小结 这一结果与例3-3中经简化处理(将 和 的系数的分母中的略去)后的结果相同，表明这一结果是v 的近似的、但却是十分简单的误差表达式。,Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,例3-6 利用函数

13、线性化的方法给出例3-4中输出V0的误差表达式。 解 对输出电压V0 的函数式 求偏导,有 则按式(3-3),V0的误差式为,Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,3.3 误差传递计算的线性叠加法则 公式(3-3)表明:函数的误差是自变量误差的线性和。若把函数y看作是间接测量的量，自变量xi看作是直接的测量结果，则间接量的误差应是直接测量数据误差的线性和。 把上述误差的线性叠加关系推广到一般的情形。不管能否写出如上所述的函数关系,一般可将测量结果y 的误差表示为,Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递

14、,式中: 测量结果的总误差； 原始误差,包括直接量 的误差和其他各种因素 造成的误差; 各原始误差相应的系数, 称为原始误差的传递系统; 局部误差或分量误差。,Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,式(3-17)表明:测量结果的总误差等于各原始误差分别乘以相应的传递系数后的代数和，即测量结果的总误差可表述为各原始误差的线性和(局部误差之和)，这就是误差传递的线性叠加法则。,Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,按绝对误差加以讨论的误差传递关系的基本表达形式。 误差作用具有独立性，即各原始误差对测量结

15、果的作用是独立的，一个误差因素对测量结果的影响与其他误差因素的大小无关，它们构成总误差的单独组成部分。,Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,误差的线性叠加法则给出了一个形式非常简单、使用非常方便的误差传递关系。 任何一个原始误差只要乘以相应的传递系数即可折合为最终结果的误差分量。传递系数可以通过求导数的方法得到，也可以通过其他方法求得。 严格地说,误差因素与总误差之间的这一线性关系只是近似的.在一般情况下,由于误差量相对于被测量来说总是很微小的,所以非线性的影响十分微小,可忽略不计,即可认为误差对最终结果是按线性关系独立作用的。 误差作用的线性

16、叠加法则可用于已知系统误差的分析计算,并且是建立不确定度合成法则的基本依据,因而是精度分析的基础。,Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,按相对误差加以讨论的误差传递关系的基本表达形式。 设测量结果y 有式(3-17)的误差传递关系, 则其相对误差可表示为,Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,或写成 即 式中: xi的相对误差， 的传递系数。,Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,式(3-20)即为相对误差的线性叠加关系，其传递系数 与绝对误差形式的

17、线性叠加传递系数 有如下关系,Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,例3-8 按线性叠加法则分析计算例3-1中面积s 的误差。 解 根据误差作用的线性叠加法则(式3-17),矩形面积s 的误差可写成 由间接测量的函数式s=xy，得 则面积s 的误差式可写成 将这一结果与例3-1所得结果作对比可见:,Harbin Institute of Technology,这一结果只包含二项线性的误差项。而例3-1的结果中还包含一项非线性的二次项 ,是准确的误差式。 由于误差量 相对于x与y是十分微小的，所以其非线性部分的值相对来说十分微小，可忽略不计。因此，

18、在按线性叠加法则计算时略去这一部分，对实际结果影响极小。,第三章 测量误差的传递,Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,例3-9 三块量块L1、L2、L3的中心长度误差分别为 -0.510-3mm， 0.210-3mm， 0.110-3mm,求三块量块组合后的尺寸误差. 解 三块量块组合尺寸为 由此可得 的传递系数都为1，则按式(3-17)，组合尺寸的误差应为 =(-0.510-3mm+0.210-3mm+0.1 10-3mm)=-0.210-3mm,Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,例3-10

19、 测量闸门时间T 与计数的脉冲数N，则频率可按式 求得，若已知N、T 的相对误差 、 ，给出f 的相对误差。 解 由测量方程 得误差传递关系式,其相对误差为,即,Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,例3-11 已知光在空气中的波长,空气折射率n 与光在真空中的波长如有下关系： 当空气温度改变 而引起的空气折射率变化为,按定义直接计算和用微分法分别给出由此引起的波长变化，并作对比。,Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,按定义直接计算 波长误差应为 而 代入误差式，得 微分法 对式 微分得波长误差

20、将 代入上式，得,Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,对比 1)按定义计算的结果应为准确的结果。 2)微分法线性化的结果是近似的。 3)二者差异十分微小。,Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,4)用微分法获得的线性化的结果具有足够高的近似程度。 代入空气折射率n=1.0002765，温度偏差1时的折射率偏差 =-9.310-7，则,Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,例3-12 分析杆秤的误差因素及其传递关系。,Harbin Institute

21、of Technology,第三章 测量误差的传递,解 杆秤是按杠杆原理设计的。设被称量的质量为M，秤砣质量为m，秤盘质量为 ,秤秆质量为u，秤秆上各作用点几何关系如图3-4所示。 当秤盘中不放任何物品，提起秤杆时，将秤砣置于O2处，秤杆平衡(O2为定盘星位置)，由杠杆原理，此时有如下关系,式中:g为重力加速度；c为秤杆重心至提手处的距离。上式可简化为,当称量质量为M 时，秤砣置于O3，秤杆平衡，则有如下关系,Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,考虑到式(2)，则有 因而,质量M 可由长度l按一定的刻度指示出来。对于确定的杆秤， 为一常数。 当

22、读取的l值有误差 ，则称得的质量M 的误差应为 误差 包括：各参数(m、w、u及a、b、c)误差引起的读数误差 ，刻度误差 ，秤的灵敏阈 引起的误差 ，及人的判读误差 等。,Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,按线性叠加法则，称量的总误差应是各分量的线性和 现进一步分析误差分量 。由式(3)，l可表示为,Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,当式(7)中各参数有误差时，读数误差为 则,将 及k=m/a代人(9)，则有,Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的

23、传递,例3-13 分析用量杯量取溶液时的误差，如图所示。,Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,解 用量杯量取溶液是按体积度量的，影响度量的误差因素是与体积有关的诸因素。 (1)量杯内径误差 设量杯内径为d，所量溶液相应刻度的高度为h，则相应的容积为,当有内径误差 时，对上式微分可得相应的容积误差分量 该项分量为系统误差。,Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,(2)量杯刻度误差 若量杯刻度误差为 ,对V 微分可得相应的容积误差为 也为系统误差。,(3)观测误差 观测度量时，液面应与刻度瞄准重合。但

24、因观察方式、习惯及人眼的判断能力等因素的影响，使液面与刻度瞄准有误差 ，产生的容积度量误差为 这一误差包括随机的与系统的两部分。,Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,(4)温度误差 由于量杯的体膨胀系数 与所量溶液的体膨胀系数 不同，当温度偏离标准温度 时，会使度量结果造成误差，约为 式中:V0为溶液的标称体积。 这一误差为系统误差。 将上列各项分量线性求和，可得总误差,Harbin Institute of Technology,生活的乐趣在于把简单的事情搞复杂！,Harbin Institute of Technology,Harbin I

25、nstitute of Technology,Harbin Institute of Technology,Harbin Institute of Technology,Harbin Institute of Technology,Harbin Institute of Technology,Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,3.4 传递系数的计算 在误差的线性传递关系中，传递系数是误差分量转换为总误差的比例系数，就如同误差的“传动比”一样，某项误差乘以这样一个“传动比”就可折合为最后结果的总误差。 传递系数可以通过对相应函数关系的分析、几何

26、关系的分析、测量传动关系的分析，以及实验分析等方法来确定。,Harbin Institute of Technology,若包含误差的量 与测量的最终结果y(直接或间接测量结果)之间有: 对它求导数，可得到相应于 的误差 的传递系数:,一、微分法求传递系数,Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,可简写为,Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,式中: 分别为函数y 对 的导数在其真值 处的值。 实际计算中，一般可用 的公称值或测得值代替真值 代人求得上述导数。这个方法也常称为微分法。,Harbin I

27、nstitute of Technology,第三章 测量误差的传递,对于线性函数 系数 即为相应于 的传递系数,优点 1、解析式明确,方法简便 2、不仅便于计算，也便于进行误差关系的分析 局限性 仅适用于能给出解析式的场合。,Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,例3-14 渐开线齿形的极坐标方程为 。式中, 为展开长度, 为展开角, 为基圆半径,如图3-6所示。试分析由基圆半径误差 (由刀具压力角误差造成)和展开角误差 (由机床传动误差造成)引起的齿形误差 (齿形坐标 的误差)。,Harbin Institute of Technology,

28、第三章 测量误差的传递,解 按线性叠加法则(式3-17)计算误差 。 先按微分法求出误差 与 的传递系数 则齿形误差可写为(系统误差 与 已知),Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,例3-15 若测得阻值R及电流I，则所耗功率可按式P=I2R求得，现测得阻值R=515；测量误差 10；电流I= 25.3mA，测量误差 mA，求电功率及修正值。 解 电功率P=I2R =(0.02532515)W0.330W 对函数式P=I2R求偏导数，得 与 的传递系数,Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,则功率

29、的误差为 =26.1V(-0.0015A)+6.4010-4A210 =-0.033W 修正测量结果 0.330W+0.033W =0.363W,Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,二、几何法求传递系数 使用范围 只要误差量的函数关系可通过几何关系(平面的或空间的)表示出来，就能使用几何法进行分析，特别是在机械机构的精度分析，几何光学系统的精度分析，及几何量、力、质量等方面测量误差的分析中更是常用。,Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,使用步骤 1 作出表示误差关系的几何图形。 2 利用诸如三角

30、形的边角关系、圆弧半径与中心角的对应关系、线段的投影关系、机构的几何传动关系及其他平面与空间的几何关系等找出误差的传递关系。 3 近似替代。 例如，微小角度对应的弧长可用相应的弦长代替；微小角度的正切可用其弧角代替；微小图形可用其极限状态代替等等。,Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,优点 简单、直观 局限性 当误差的传递关系不能或不便于反映在几何图形上时，就不能使用几何法。,Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,例3-16 如图3-7所示的机构,起瞄准定位作用的千分表有误差 ,求由此引起的角度误

31、差 。,Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,解 作如图3-7所示的误差三角形OAB,若以 代表 ,则AOB代表 。由于 很小,所以可把 近似看作角 所对应的弧长 。这样代替的结果一般是有足够精度的。于是,由误差图形有 则 的传递系数为1/l。,Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,小结 对于微小角度，以三角形直边代替中心角对应的弧长所带来的误差极其微小，在角度为2时，造成的误差还不到1.5。因此，在小角度时，这种代替一般是允许的。,Harbin Institute of Technology,第三

32、章 测量误差的传递,例3-17 图3-8所示的测量机构用于测量孔径D，若测杆后续环节沿测杆轴向有传动误差 。试将其折合至测量线(被测量D 的方向)上。 解 设测杆无轴向位置误差时，位于图中虚线的位置。若测杆有一轴向位置误差 ，则移至实线位置，其上a点移至b点，而测头上a点则产生孔径向偏移至c点。由此可作出误差三角形。由图示几何关系可得,Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,式中， 即为误差 折合至被测量D上的 传递系数。参数a为测杆端部锥角，设a=90，则 传递

33、系数,Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,三、按传动关系确定传递系数 原理 任何一个测量方法，被测量总是按照一定的传动关系传递的，经一系列环节的转换放大以后，通过一定的方式指示测量结果。 测量系统各环节上的误差因素，自然也应按相应的传动关系转换为最后测量结果的误差。,Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,若测量系统中由测量头至某环节的转换放大比为 ，则该环节上的误差 折合到测量头(即折合到被测量)上时，应除以转换放大比 ，为 。 即测量系统某环节的误差的传递系数 ，就是由感受被测量的测量头到该环节的转换放大比的倒数1/k，即 而,Harbin Institute of Technology,第三章 测量误差的传递,使用范围 1 要求能确切掌握测量系统中被测量转换放大的规律，并确知各误差因素在测量系统各环节的位置。 2 这类方法适合