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文档简介
1、设 X: X1,X2,Xn,1.,2.,若 XN(0,1),则,下页,第六章 统计量小结,Xi N(,2),(1),(2),(3),3.,若 XN(,2),,下页,1,2,3,4,Y N (2,2 2) : Y1,Y2,,Yn2 ,它们相互独立.,X N (1,12) : X1,X2,,Xn1,(1),(2),当12 =22 =2时,,4. 两个正态总体,当12 ,22 已知时,,下页,5,6,Y N (2,2 2) : Y1,Y2,,Yn2 ,它们相互独立.,X N (1,12) : X1,X2,,Xn1,(4),4. 两个正态总体,下页,7,8,当1 、2 已知时,(3),当1 、2 未知
2、时,第七章 参数估计,问题:若总体X的分布函数F(x)的类型已知,但它的一个或多个参数未知,如何估计总体的未知参数? 想法:用X的一组样本观察值(x1,x2,xn)来估计总体中未知参数的值,即用样本统计量的值估计总体中未知参数的值.,估计量:设为总体X的未知参数,用样本(X1,X2,Xn)构成的一个统计量 来估计的真值,称 为的估计量.,参数的点估计(方法):指用样本统计量的值估计未知参数的值.,估计值:对应于样本的一组观测值(x1,x2,xn),估计量 的值 ( x1,x2,xn)称为的估计值,仍记作 .,本章介绍 :1)矩估计法;2)极大似然估计法.,7.1参数的点估计,下页,mk= E(
3、Xk),ck= EX-E(X)k,总体矩 总体矩的估计值 样本矩,=,=,显然,通常取:,理论根据:格利文科定理. Fn(x) 以概率1收敛于F(x),可以证明, 只要总体的l阶矩存在,样本的l阶矩依概率1收敛于总体的l阶矩.,一、矩估计法,矩估计法:是用样本矩估计相应的总体矩,用样本矩函数估计总体矩的同一函数的一种估计方法。,下页,解得1,2的矩估计量为,据矩估计法有,例1设总体XN(,2 ),试求,2的矩估计量.,解得,2 的矩估计量分别为,即,,即,,例2设总体XU1,2 ,试求1,2的矩估计量.,下页,解:设X1,Xn为X的一个样本,,E(X)= , D(X)= 2,,据矩估计法有,解
4、:设X1,Xn为X的一个样本,,试求的矩估计量.,由于E(X)=,根据矩估计法有,(k=0,1,2;0+),又由于 D(X)=,,故可得的另一个矩估计量为,由此可见一个参数的矩估计量是不唯一的.,例3设总体X服从参数为的泊松分布,即,问题:选哪一个作为估计量更好呢?,下页,解:设X1,Xn为X的一个样本,,二、 极大似然估计法(Fisher),极大似然估计法是求估计值的另一种方法,最早由高斯(R.A,Gauss) 提出,后来为费史(Fisher)在1912年重新提出,并证明该方法的一些性质 它是建立在极大似然原理基础上的一个统计方法 极大似然原理:一个随机试验有若干种可能的结果A,B, C,若
5、在一次试验中,结果A出现,则一般认为试验条件对 A出现有利,也即A出现的概率很大,引例设有外形完全相同的两个箱子,甲箱有99个白球1个黑球, 乙箱有1个白球99个黑球,今随机地取出一箱,再从取出的一箱中 抽取一球,结果取得白球,问这球是从哪一个箱子中取出的?,解:甲箱中抽得白球的概率P(白|甲)99/100,乙箱中抽得白球的概率P(白|乙)=1/100,白球从甲箱中抽出的概率比从乙箱中抽出的概率大得多,根据极大似然原理,既然在一次抽样中抽得白球,当然可以认为是从抽取概率大的箱子中抽出的,所以,可作出统计推断:白球是从甲箱中抽出的.,下页,设总体X的概率密度函数为 f(x;),若X是离散型, f
6、(x;) 是分布律为未知参数(也可以是向量),则下列函数:,2、求极大似然估计步骤,(1) 写出似然函数;,称为样本的似然函数。使似然函数取得最大值的 称为的极大似然估计量. 这种方法称为极大似然估计法.,1、极大似然估计法,下页,(2) 取对数;,(3) 求导数;,(4) 由导数=0,解得估计值.,例4XP(),求极大似然估计.,解:设x1,xn为样本的一组观测值,于是似然函数为,两边取对数得,,对求导数,并使其等于0得,,解这一方程得的极大似然估计为,比如,样本观测值为:10,13,65,18,79,42,65,77,88,123,n=10。则,,下页,例5X服从参数为的指数分布,求的极大
7、似然估计.,下页,解:设x1,xn为样本的一组观测值,于是似然函数为,例6设XN(,2),求,2的极大似然估计.,解得,2的极大似然估计值为,L(x1,,xn;,2),下页,解:设x1,xn为样本的一组观测值,于是似然函数为,例7设总体具有均匀分布,密度函数为,求未知参数的极大似然估计.,显然L是的一个单值递减函数.,每一个xi ( i=1,2,3 ,n),所以的极大似然估计量为,下页,解:设x1,xn为样本的一组观测值,于是似然函数为,设 = (X1,X2,Xn)为未知参数的估计量序列,,三、估计量的评选标准,1 . 一致性,2 . 无偏性,,则称 为的一致估计量.,若 , 则称 较 有效.
8、,设 为未知参数的估计量,若E( ) =,,则称 为的无偏估计量.,设 , 是的两个无偏估计量,,若在的一切无偏估计中, 的方差最小,则称 为的最小方差无偏估计量.,若 依概率收敛于,即 对于任意0,有,3. 有效性,下页,例8设X1, X2, X3是来自均值为 的指数分布总体的样本. 其中 未知,设有估计量,解:,因为,,下页,问哪个是 的无偏估计量?,例9试证样本均值 及样本方差S2分别是总体均值及总体方差2的无偏估计.,即样本的二阶中心距,不是总体方差的无偏估计,故 为的无偏估计量.,证明:,,即S2为2的无偏估计量.,下页,作业: 122页 3, 4(2),7,结束,7.2 参数的区间
9、估计,区间估计:就是用样本来确定一个区间,使这个区间以很大的概率 包含所估计的未知参数,这样的区间称为置信区间.,置信区间与置信概率:设总体X的分布中含有未知参数,若由来自 总体X的一个样本确定的两个统计量:,对给定的(01),,则称随机区间( , )是的置信概率为1的置信区间,,及 分别称为置信下限和上限,1-称为置信水平.,满足 P 1- (1),说明:(1)式表示( , )包含未知参数的真值概率为1,如=0.05时,若从总体中抽得容量相同的100个样本,则在确定的100个置信区间中将有95个包含的真值,不包含真值的区间只有5个. 绝不能理解为的真值落在( , )内的概率为1-!,下页,求
10、置信区间的方法:,选取统计量 找样本( 1,2,n)的一个函数 U( 1,2,n;) 只含所求置信区间的未知参数,不含其它未知参数且分布与 无关,此函数一般可从的某个点估计经过变换得到 确定分位点 对于给出的置信水平1-,确定U的分位点 注意,在确定函数U时,确保U的分布有表可查 变换不等式 利用不等式变形得到未知参数的置信区间,下页,1.,2.,若 XN(,2): X1,X2,Xn,附:常用统计量及分位点的确定方法,下页,U统计量,一、单个正态总体均值与方差2的区间估计,1 、 2 已知的1- 置信区间,若 XN(,2): X1,X2,Xn,有,故对给定的置信概率1,有,由此可得总体均值的1
11、置信区间为:,下页,2 、 2未知的 1-置信区间,故对给定的置信概率1-,有,由此可得总体均值的1置信区间为:,例1.为估计36亩大豆的产量,以200米2面积上的大豆作为总体的一个个体,从中任意抽得24个个体,分别测得大豆的产量如下(单位:千克/200米2):,2未知,算得: = 41.125,s = 6.04,n-1= 23,,故200米2面积平均产量的0.95置信区间为:,50 , 42 , 32, 46, 35, 44, 45, 38, 35, 54, 42, 36, 41, 34, 39, 50, 43, 36, 34, 49, 35, 46, 38, 43,试估计大豆产量的范围(假
12、定大豆产量按正态分布),置信概率1=0.95,查表得:,解:,= 0.05,下页,3 .已知2 的1-置信区间,4 .未知2 的1-置信区间,2 的1-置信区间为,下页,2 的1-置信区间为,例2. 从车床加工的一批零件中随机抽取16个进行试验,测得零件长度如下(单位:cm),2.15 2.10 2.12 2.10 2.14 2.11 2.15 2.13 2.13 2.11 2.14 2.13 2.12 2.13 2.10 2.14,试求零件长度标准差的置信水平为0.95置信区间(设总体为正态),2的0.95置信区间为,查表得:,=0.05,n=16,的0.95置信区间为,=(0.0127,
13、0.0265),解:此题未知,算得 =2.15,s 2 =0.000293,,下页,单个正态总体期望与方差的1-置信区间(小结),条件 统计量 置信区间,2,2已知,已知,未知,2未知,下页,设 X N (1,12) Y N (2,2 2) 它们相互独立,则,二、两个正态总体均值差及方差比的1-置信区间(1/2),记,(1),(2),下页,1. 12、22已知时1-2 的1- 置信区间,2. 12=22 = 2,2未知时1-2的1- 置信区间,由,由,得,得,下页,例3.在甲、乙两地抽取同一品种小麦籽粒的样本,测得蛋白质含量为:,查表得,该蛋白质含量满足正态、等方差条件,试估计12所在的范围(
14、取=0.05),甲: 12.6, 13.4, 11.9, 12.8, 13.0;,乙:13.1, 13.4, 12.8, 13.5, 13.3, 12.7, 12.4,解:,算得,=12.74,s12 =0.308;,=13.029,s22 =0.166。,12的0.95置信区间为,下页,设 X N (1,12) Y N (2,2 2) 它们相互独立,则,记,二、两个正态总体均值差及方差比的1-置信区间(2/2),下页,3. 1、2均已知时,方差比 的1-置信区间,4. 1、2均未知时,方差比 的1-置信区间,由,由,及PF1- /2 FF/2=1-,及PF1- /2 FF/2=1-,得,得,下页,例4.有两位化验员A、B,他们独立地对某种聚合物的含氯量用相同的方法各作了10次测定.,= 0.5419, = 0.6065,得 / 的0.95置信区间为,求方差比 / 的
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